題意：有 $n$ 個(gè)柱子，每個(gè)柱子有高度 $h_i$。你需要在柱子間修橋，在 $i,j$ 間修橋代價(jià)為 $(h_i?h_j{)}^2$,橋梁只能在柱子處相交，未安裝橋的柱子需要拆除，代價(jià)為 $w_i$（可能為負(fù)數(shù)）。求讓 $1$ 和 $n$ 連接的最小代價(jià)。

$n\le 10^5,h_i,|w_i|\le 10^6$

顯然是斜率優(yōu)化

設(shè) $f_i$ 表示從 $1$ 修到 $i$ 的最小代價(jià),$s$ 為 $w$ 前綴和。

$$f_i=\underset{1\le j<i}{\min }\{f_j+(h_i?h_j{)}^2+s_{i?1}?s_j\}$$

$$f_i=\underset{1\le j<i}{\min }\{f_j+h_i^2?2h_i{h}_j+h_j^2+s_{i?1}?s_j\}$$

$$f_i=h_i^2+s_{i?1}+\underset{1\le j<i}{\min }\{?2h_j?h_i+f_j+h_j^2?s_j\}$$

每個(gè)決策 $j$ 看成斜率為 $?2h_j$,截距為 $f_j+h_j^2?s_j$ 的直線， $h_i$ 看成自變量，李超線段樹求最小值即可。

復(fù)雜度 $O(n\log n)$

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> using namespace std; const int N=1e6,MAXN=N+5; typedef long long ll; inline int read() {int ans=0,f=1;char c=getchar();while (!isdigit(c)) (c=='-')&&(f=-1),c=getchar();while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();return f*ans; } ll k[MAXN],b[MAXN]; inline ll calc(int i,int x){return k[i]*x+b[i];} #define lc p<<1 #define rc p<<1|1 int mn[MAXN<<2]; void modify(int p,int l,int r,int v) {int mid=(l+r)>>1;if (!mn[p]) return (void)(mn[p]=v);if (calc(mn[p],l)<=calc(v,l)&&calc(mn[p],r)<=calc(v,r)) return;if (calc(mn[p],l)>=calc(v,l)&&calc(mn[p],r)>=calc(v,r)) return (void)(mn[p]=v);if (calc(mn[p],mid)>calc(v,mid)) swap(mn[p],v);if (calc(mn[p],l)>calc(v,l)) modify(lc,l,mid,v);else modify(rc,mid+1,r,v); } void query(int p,int l,int r,int k,ll& ans) {if (mn[p]) ans=min(ans,calc(mn[p],k));if (l==r) return;int mid=(l+r)>>1;if (k<=mid) query(lc,l,mid,k,ans);else query(rc,mid+1,r,k,ans); } ll h[MAXN],s[MAXN],f[MAXN]; int main() {int n=read();for (int i=1;i<=n;i++) h[i]=read();for (int i=1;i<=n;i++) s[i]=s[i-1]+read();k[1]=-2*h[1],b[1]=h[1]*h[1]-s[1];modify(1,0,N,1);for (int i=2;i<=n;i++){query(1,0,N,h[i],f[i]=1e18);f[i]+=h[i]*h[i]+s[i-1];k[i]=-2*h[i],b[i]=h[i]*h[i]+f[i]-s[i];modify(1,0,N,i);}cout<<f[n];return 0; }

總結(jié)

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