題意： $n\times m$ 的網格圖，每個點有兩個權值 $va{l}_{i,j},bu{f}_{i,j}$，從 $(1,1)$ 開始只能向下或向右走到 $(n,m)$ ，在某個位置時可以選擇觸發該位置的事件（也可不觸發），將獲得 $va{l}_{i,j}$ 的得分和 $bu{f}_{i,j}$ 的 buff，該 buff 會在之后每一步產生對應的分數直到觸發下一個事件。求最大分數。

$nm\le 10^5$，保證 $va{l}_{1,1}=va{l}_{n,m}=bu{f}_{1,1}=bu{f}_{n,m}=0$

顯然可以 dp，設 $f(x,y)$ 為走到 $(x,y)$ 并觸發事件的最大分數。

轉移枚舉上一個事件

$$f(x,y)=\underset{i\le x,j\le y}{\max }\{f(i,j)+buf(i,j)(x+y?i?j)\}+val(i,j)$$

顯然可以斜率優化

這個狀態有兩維，發現枚舉的位置是滿足二維偏序，所以可以 cdq 分治搞掉一維，另一維上李超線段樹即可。

注意 $0$ 和 $?\infty$ 的不同。

復雜度 $O(nm{\log }^{2}n)$

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> #include <vector> using namespace std; inline int read() {int ans=0,f=1;char c=getchar();while (!isdigit(c)) (c=='-')&&(f=-1),c=getchar();while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();return f*ans; } const int N=2e5,MAXN=N+5,INF=2e9; int n,m; vector<int> val[MAXN],buf[MAXN],f[MAXN]; int k[MAXN],b[MAXN],tot; inline int calc(const int& i,const int& x){return k[i]*x+b[i];} int ch[MAXN][2],mx[MAXN],rt,cnt; inline void clear(){tot=0,rt=cnt=1,ch[1][0]=ch[1][1]=mx[1]=0;} void modify(int& p,int l,int r,int v) {if (!p) p=++cnt,ch[p][0]=ch[p][1]=mx[p]=0;if (!mx[p]) return (void)(mx[p]=v);if (calc(mx[p],l)>=calc(v,l)&&calc(mx[p],r)>=calc(v,r)) return;if (calc(mx[p],l)<=calc(v,l)&&calc(mx[p],r)<=calc(v,r)) return (void)(mx[p]=v);int mid=(l+r)>>1;if (calc(v,mid)>calc(mx[p],mid)) swap(v,mx[p]);if (calc(v,l)>calc(mx[p],l)) modify(ch[p][0],l,mid,v);if (calc(v,r)>calc(mx[p],r)) modify(ch[p][1],mid+1,r,v); } int query(int p,int l,int r,int k) {if (!p) return -INF;int ans=(mx[p]? calc(mx[p],k):-INF);int mid=(l+r)>>1;if (k<=mid) ans=max(ans,query(ch[p][0],l,mid,k));else ans=max(ans,query(ch[p][1],mid+1,r,k));return ans; } void solve(int l,int r) {if (l==r){clear();f[l][1]+=val[l][1];for (int i=1;i<=m;i++){if (i>1) f[l][i]=max(f[l][i],query(rt,1,N,i))+val[l][i];++tot,k[tot]=buf[l][i],b[tot]=f[l][i]-i*k[tot];modify(rt,1,N,tot);}return;}int mid=(l+r)>>1;solve(l,mid);clear();for (int j=1;j<=m;j++){for (int i=l;i<=mid;i++){++tot,k[tot]=buf[i][j],b[tot]=f[i][j]-(i+j)*k[tot];modify(rt,1,N,tot);}for (int i=mid+1;i<=r;i++) f[i][j]=max(f[i][j],query(rt,1,N,i+j));}solve(mid+1,r); } int main() {n=read(),m=read();for (int i=1;i<=n;i++){buf[i].resize(m+1);for (int j=1;j<=m;j++) buf[i][j]=read();}for (int i=1;i<=n;i++){val[i].resize(m+1),f[i].resize(m+1,-INF);for (int j=1;j<=m;j++) val[i][j]=read();}f[1][1]=0;solve(1,n);printf("%d\n",f[n][m]);return 0; }

總結

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