題意：有 $n$ 個學校隸屬于 $c$ 個城市，每個學校有 $s_i$ 個人。把它們放入一個 $2\times 2$ 的格子中，要求同一學校的必須放在同一個格子，同一城市的必須放在同一行，并給出兩行兩列分別最多能放的人數$C_0,C_1,D_0,D_1$。此外還有 $k$ 條限制，形如某個學校的人不能放入某個特定的格子中，每個學校最多只有一種限制。求方案數 模 $998244353$。

$n,c\le 10^3,C_0,C_1,D_0,D_1\le 2500,k\le 30,s_i\le 10$，數據組數 $T=5$

首先考慮暴力 dp，發現確定第一行、第一列后完整方案就確定了。所以可以設 $f(x,y)$ 表示第一行放了 $x$ 個數，第一列放了 $y$ 個數，直接轉移即可。計算答案時 $x$ 和 $y$ 的上下界都可以確定出來，這樣就有 50pts 的好成績。

然后發現對于沒有限制的情況，行和列是分別獨立的，所以分別設 $A(x),B(x)$ 為第一行、第一列選了 $x$ 個的方案數，前者用城市總人數轉移，后者用學校人數轉移，然后乘起來就可以了。單獨寫就有 50pts，結合前面可以拿到 70pts。

考慮這個方法不好擴展，但發現有限制的城市不超過 $k$ 個，所以可以從“降低了數據范圍的方向”來考慮。

開始想的是 dp 的時候記錄兩列受限制的人數，然而狀態數爆炸。

發現城市數很少并沒什么用，因為一個城市里面即使只有一個受限制的學校，你整個城市都只能大暴力，

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智商分割線

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我們稱一個城市受限當且僅當至少一個該城市的學校受限。考慮繼續挖掘受限的城市中不受限的學校的性質。

冷靜分析可以發現，對于一個受限的城市，確定了受限的學校選擇了哪一行后，不受限的學校選哪一行就確定了，只需要決定選哪一列然后根據最終方案隨機應變就可以了。也就是說這部分拿去更新 $B(x)$ 就可以不管了。

對于最終受限的學校只有 $30$ 個，直接用第一個方法大暴力就可以了。要注意的是需要先決定每一個城市選了哪一行，可以對每個城市把狀態分為兩部分，分別為選擇第一行和第二行的 dp 值。然后把兩部分直接加起來，在這里把第一行該城市的人數減掉。

注意 dp 順序，必須依次枚舉城市更新所有信息，否則會算重。

然后把這個暴力 dp 求二維前綴和，枚舉前面的 $A(x),B(x)$ 算貢獻即可。

顯然復雜度瓶頸在第三步，復雜度為 $O(k{M}^2)$，非常卡。

注意到這個 dp 是從頭開始算的，第二維不會超過 $k{s}_i$,就可以優化到 $O(k^2{s}_{i}M)$

總復雜度 $O(TM(N+k^2{s}_i))$

有點卡常，不過不用 memset 應該問題不大

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> #include <vector> #define re register using namespace std; typedef long long ll; const int MOD=998244353; inline int mod(int x){return x+=(x>>31)&MOD;} inline int add(const int& x,const int& y){return mod(x+y-MOD);} inline int dec(const int& x,const int& y){return mod(x-y);} inline int read() {int ans=0;char c=getchar();while (!isdigit(c)) c=getchar();while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();return ans; } vector<int> lis[1005],fr,hfr; int n,c,k,C[2],D[2],b[1005],s[1005],p[1005],cnt[1005],M; int A[2505],B[2505],g[2505],f[2505][2505],t0[2505][2505],t1[2505][2505],tmp0[2505][2505],tmp1[2505][2505],siz[1005]; inline void clear() {for (int i=1;i<=c;i++) lis[i].clear();memset(p,-1,sizeof(p));memset(cnt,0,sizeof(cnt));fr.clear(),hfr.clear();memset(A,0,sizeof(A));memset(B,0,sizeof(B));memset(g,0,sizeof(g));memset(f,0,sizeof(f));memset(siz,0,sizeof(siz));A[0]=B[0]=g[0]=f[0][0]=1; } int main() {freopen("test.in","r",stdin);for (int T=read();T;T--){n=read(),c=read(),C[0]=read(),C[1]=read(),D[0]=read(),D[1]=read();M=max(max(C[0],C[1]),max(D[0],D[1]));clear();int tot=0;for (int i=1;i<=n;i++) b[i]=read(),s[i]=read(),siz[b[i]]+=s[i],tot+=s[i];k=read();int MAX=min(M,k*10);while (k--){int i=read();p[i]=read();++cnt[b[i]];}if (C[0]+C[1]<tot||D[0]+D[1]<tot) {puts("0");continue;}for (int i=1;i<=n;i++)if (!cnt[b[i]]) fr.push_back(i);else if (p[i]==-1) hfr.push_back(i);else lis[b[i]].push_back(i);for (int i=1;i<=c;i++)if (!cnt[i]&&siz[i])for (int j=M;j>=siz[i];j--)A[j]=add(A[j],A[j-siz[i]]);for (int i=0;i<(int)fr.size();i++){int v=s[fr[i]];for (int j=M;j>=v;j--) B[j]=add(B[j],B[j-v]);}for (int i=0;i<(int)hfr.size();i++){int v=s[hfr[i]];for (int j=M;j>=v;j--) B[j]=add(B[j],B[j-v]);}for (re int i=1;i<=c;i++){if (!cnt[i]) continue;for (re int j=0;j<=M;j++)for (re int k=0;k<=MAX;k++)t0[j][k]=t1[j][k]=f[j][k];for (re int l=0;l<cnt[i];l++){re int v=s[lis[i][l]],lim=p[lis[i][l]];for (re int j=0;j<=M;j++)for (re int k=0;k<=MAX;k++)tmp0[j][k]=tmp1[j][k]=0;for (re int j=0;j<=M;j++)for (re int k=0;k<=MAX;k++){if (lim!=0&&k>=v) tmp0[j][k]=add(tmp0[j][k],t0[j][k-v]);if (lim!=1) tmp0[j][k]=add(tmp0[j][k],t0[j][k]);if (lim!=2&&k>=v) tmp1[j][k]=add(tmp1[j][k],t1[j][k-v]);if (lim!=3) tmp1[j][k]=add(tmp1[j][k],t1[j][k]);}for (re int j=0;j<=M;j++)for (re int k=0;k<=MAX;k++)t0[j][k]=tmp0[j][k],t1[j][k]=tmp1[j][k]; }for (int j=0;j<=M;j++)for (int k=0;k<=MAX;k++)f[j][k]=add(j>=siz[i]? t0[j-siz[i]][k]:0,t1[j][k]);}for (int i=0;i<=M;i++)for (int j=0;j<=M;j++){if (i) f[i][j]=add(f[i][j],f[i-1][j]);if (j) f[i][j]=add(f[i][j],f[i][j-1]);if (i&&j) f[i][j]=dec(f[i][j],f[i-1][j-1]);}int res=0;for (int i=0;i<=C[0];i++)for (int j=0;j<=D[0];j++){if (!A[i]||!B[j]) continue;int xl=max(0,tot-C[1]-i),xr=C[0]-i;int yl=max(0,tot-D[1]-j),yr=D[0]-j;int ans=f[xr][yr];if (xl) ans=dec(ans,f[xl-1][yr]);if (yl) ans=dec(ans,f[xr][yl-1]);if (xl&&yl) ans=add(ans,f[xl-1][yl-1]);res=(res+(ll)ans*A[i]%MOD*B[j])%MOD;}printf("%d\n",res);}return 0; }

總結

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