題意：一棵 $n$ 個點的樹，每個點有兩個權值 $a_i,b_i$，有黑白兩種顏色。$m$ 次詢問，每次給定一個 $k$,求一條端點異色的路徑，使得 $k\sum a_i+\sum b_i$ 最大化。

$n\le 2\times 10^5$

就差把“請在邊分治的時候維護閔可夫斯基和”寫題面上了……

直觀來看是把 $(a_i,b_i)$ 看成直線，但是并不好維護。不過半平面交和凸包是對偶的，并且凸包合并有閔可夫斯基和這個東西，所以可以把每個結點直接看成點維護凸包，詢問的時候二分就可以了。

分治的時候對兩邊黑白分別求出凸殼，然后交叉合并，把點丟到答案集合里最后再做一個凸包就可以了。

然后就是三度化后處理答案的問題。把新建的虛點的參數從父親那里復制，然后如果路徑的 lca 是虛點強行給它加上去?？梢栽?dfs 的時候記一個當前走的方向，然后如果是往上走的可以進行一次換方向，并在這里統計當前點是否需要有貢獻。

復雜度 $\mathrm{O}(n\log n)$

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> #include <vector> #include <algorithm> #define MAXN 200005 #define MAXM 400005 using namespace std; const int INF=0x7fffffff; inline int read() {int ans=0,f=1;char c=getchar();while (!isdigit(c)) (c=='-')&&(f=-1),c=getchar();while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();return f*ans; } typedef long long ll; struct point{int x,y;inline point(const int& x=0,const int& y=0):x(x),y(y){}}; inline point operator +(const point& a,const point& b){return point(a.x+b.x,a.y+b.y);} inline point operator -(const point& a,const point& b){return point(a.x-b.x,a.y-b.y);} inline ll operator *(const point& a,const point& b){return (ll)a.x*b.y-(ll)a.y*b.x;} inline bool operator <(const point& a,const point& b){return a.x<b.x||(a.x==b.x&&a.y>b.y);} typedef vector<point> hull; #define s(t) ((int)(t).size()) void make_hull(hull& A) {hull t;sort(A.begin(),A.end());for (int i=0;i<(int)A.size();i++){if (i&&A[i].x==A[i-1].x) continue;while (s(t)>1&&(t[s(t)-1]-t[s(t)-2])*(A[i]-t[s(t)-1])>0) t.pop_back();t.push_back(A[i]);}A=t; } void merge(const hull& A,const hull& B,hull& C) {if (A.empty()||B.empty()) return;int i,j;hull ans;for (i=j=0;i<s(A)-1&&j<s(B)-1;){if ((A[i+1]-A[i])*(B[j+1]-B[j])>0) ans.push_back(B[j+1]-B[j]),++j;else ans.push_back(A[i+1]-A[i]),++i;}while (i<s(A)-1) ans.push_back(A[i+1]-A[i]),++i;while (j<s(B)-1) ans.push_back(B[j+1]-B[j]),++j;point las=A[0]+B[0];C.push_back(las);for (int i=0;i<s(ans);i++) C.push_back(las=las+ans[i]); } vector<int> E[MAXN]; struct edge{int u,v;}e[MAXM]; int head[MAXN],nxt[MAXM],cnt=1; inline void addnode(int u,int v) {e[++cnt]=(edge){u,v};nxt[cnt]=head[u];head[u]=cnt; } point val[MAXN]; int vis[MAXN],dep[MAXN],type[MAXN],n,tot; void dfs(int u) {vis[u]=1;if ((int)E[u].size()<=3){for (int i=0;i<(int)E[u].size();i++)if (!vis[E[u][i]])dep[E[u][i]]=dep[u]+1,dfs(E[u][i]),addnode(u,E[u][i]),addnode(E[u][i],u); return; }int cur[2]={++tot,++tot},pos=0;addnode(u,cur[0]),addnode(cur[0],u);addnode(u,cur[1]),addnode(cur[1],u);val[cur[0]]=val[cur[1]]=val[u];type[cur[0]]=type[cur[1]]=type[u];dep[cur[0]]=dep[cur[1]]=dep[u]+1;for (int i=0;i<(int)E[u].size();i++)if (!vis[E[u][i]])E[cur[pos^=1]].push_back(E[u][i]);dfs(cur[0]),dfs(cur[1]); } int tp; int rt,mn,siz[MAXN]; void findrt(int u,int f,int sum) {siz[u]=1;for (int i=head[u];i;i=nxt[i])if (!vis[i>>1]&&e[i].v!=f){findrt(e[i].v,u,sum);if (max(siz[e[i].v],sum-siz[e[i].v])<mn) mn=max(siz[e[i].v],sum-siz[e[i].v]),rt=i;siz[u]+=siz[e[i].v];} } hull A[2],B[2],lis; void dfs(int u,int f,point cur,hull* A,bool up) {if (u<=n) A[type[u]].push_back(cur=cur+val[u]);for (int i=head[u];i;i=nxt[i])if (!vis[i>>1]&&e[i].v!=f&&(up^(dep[e[i].v]>dep[u])))dfs(e[i].v,u,cur,A,up);if (up){if (u>n) A[type[u]].push_back(cur=cur+val[u]);for (int i=head[u];i;i=nxt[i])if (!vis[i>>1]&&e[i].v!=f&&dep[e[i].v]>dep[u])dfs(e[i].v,u,cur,A,0);} } void calc() {A[0].clear(),A[1].clear();B[0].clear(),B[1].clear();int u=e[rt].u,v=e[rt].v;if (dep[u]>dep[v]) swap(u,v);dfs(v,0,point(0,0),A,0);dfs(u,0,point(0,0),B,1);make_hull(A[0]),make_hull(A[1]);make_hull(B[0]),make_hull(B[1]);merge(A[0],B[1],lis);merge(A[1],B[0],lis); } void solve(int sum) {if (mn==INF) return;vis[rt>>1]=1;calc();int cur=rt,sz=siz[e[rt].v];mn=INF,findrt(e[cur].v,0,sz),solve(sz);mn=INF,findrt(e[cur].u,0,sum-sz),solve(sum-sz); } int main() {tot=n=read();int m=read();for (int i=1;i<=n;i++) val[i].x=read();for (int i=1;i<=n;i++) val[i].y=read();for (int i=1;i<=n;i++) type[i]=read();for (int i=1;i<n;i++){int u,v;u=read(),v=read();E[u].push_back(v),E[v].push_back(u);}dep[1]=1,dfs(1);memset(vis,0,sizeof(vis));mn=INF,findrt(1,0,tot),solve(tot);make_hull(lis); // for (int i=0;i<(int)lis.size();i++) printf("%d %d\n",lis[i].x,lis[i].y);lis.push_back(point(lis.back().x,-INF));while (m--){int k=read();int l=0,r=s(lis)-2,mid;while (l<r){mid=(l+r)>>1;if (point(1,-k)*(lis[mid+1]-lis[mid])>0) l=mid+1;else r=mid;}printf("%lld\n",(ll)k*lis[l].x+lis[l].y);}return 0; }

總結

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