這不是一篇介紹數(shù)位$dp$的文章，只是我思考后的一些記錄，怕以后就忘記了。
由于博主太菜不會組合數(shù)學(xué)，以下數(shù)位$dp$均采用記憶化搜索的方式。
首先最重要的就是狀態(tài)設(shè)計了，正常來說數(shù)位$dp$的狀態(tài)設(shè)計需要包含數(shù)的結(jié)構(gòu)和狀態(tài)。
數(shù)位$dp$的復(fù)雜度可以簡單理解為開的數(shù)組的大小。
對于數(shù)位$dp$有兩種理解：
第一種： $dp$的狀態(tài)只與當前數(shù)的位數(shù)以及要維護的狀態(tài)有關(guān)。在這種理解方式下，$dp$狀態(tài)設(shè)計通常為$f[pos][state]$，由于狀態(tài)中并未規(guī)定上下界，所以對于每次查詢操作，并不需要將其$dp$數(shù)組清成$?1$，這樣在應(yīng)對多組查詢的時候可能會快一點。在記憶化的時候需要加上$flag1...$等限制上界的變量是否為$1$，即當前位是否可以選任意數(shù)，在多組測試情況下這個方法跑的還可以。當然這個只跑的快只能在維護一個數(shù)的時候跑的快，如果你要維護一對數(shù)，那么記憶化的時候$flag1\&\&flag2$才能記憶化，這樣的話就會慢很多，導(dǎo)致$TLE$，所以當維護兩個數(shù)及以上的時候最好不要用這種記憶化方式。
寫成的代碼大概是這樣的：

if(f[pos][state]!=-1&&flag) return f[pos][state]; if(flag) f[pos][state]=ans; return ans;

第二種： 在狀態(tài)中加入$0/1$表示是否達到上界，即上文中的$flag1,flag2...$，這樣的話由于每次詢問的數(shù)都不同，所以每次都需要將$f$數(shù)組置為$?1$才能記憶化，這樣的優(yōu)點和缺點相比于上面的方式很明顯，優(yōu)點就是這個狀態(tài)設(shè)計能記錄$f[pos][state][0]$的信息，即如果當前位不能自由選也可以記憶化，而上面的只能記錄下來$f[pos][state][1]$的信息，只不過我們將最后一維省略了。缺點也比較明顯，每次都需要初始化$f$數(shù)組，讓后重新$dp$一次，不過也不會太慢。
寫成代碼大概是這樣的：

if(f[pos][state][flag]!=-1) return f[pos][state][flag]; return f[pos][state]=ans;

對于前導(dǎo)零：
當涉及到對數(shù)的結(jié)構(gòu)特點進行維護的時候就有可能需要維護一個前導(dǎo)零了。比如說求$[l,r]$內(nèi)有多少個數(shù)的位數(shù)中含$k$個$0$，這個時候如果不維護一個前導(dǎo)零的話會將如$0010$中前面兩個$0$也算入答案，這顯然是不正確的。

數(shù)位$dp$很多題目求貢獻的話都是按位或者按照數(shù)來求的。

做過的例題：
2020 ICPC 上海 Sum of Log 數(shù)位dp + 優(yōu)化狀態(tài)
hdu 6899 Xor 數(shù)位dp
FZU - 2042 The Mad Mathematician 數(shù)位dp + 算貢獻

暫時先更這些，后面有更好的理解會補充。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的对数位dp的一些拙见的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。