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• 題意：
• 思路：

題意：

給你一個生成器，每次生成$1?n$其中的某個數的概率為$p_i$，生成的規則如下：
$(1)$隨機生成一個數加入集合。
$(2)$判斷生成的數是否是集合中的最大值，如果是返回第一步，否則進行下一步。
$(3)$如果集合中有$x$個數，那么將會得到$x^2$的分數。
現在讓你求期望得到多少分。
$n\le 100$

思路：

題解是生成函數的做法，需要推公式，之后可能會補上，要是忙的話就🕊了，這里介紹期望$dp$的做法。
眾嗦粥汁，期望$dp$大部分是需要倒著來的，倒著來比較好考慮，所以難點就在設計狀態上了。我感覺期望$dp$能清楚的設計出狀態的含義就成功一大半了，而不是對于狀態的含義模糊不清，這樣是很難設計初始狀態以及計算答案的。
考慮到生成的數是有可能無限的，且貢獻是$x^2$，這個$x^2$不能直接維護，考慮轉換。
$$E((x+1{)}^2)=E(x^2+2?x+1)=E(x^2)+2?E(x)+1$$
所以我們設計狀態$dp[i]$表示最大值為$i$的時候，還能生成數的期望個數，$f[i]$表示最大值為$i$的時候，還能生成數的期望個數的平方。
既然含義有了，那么轉移方式就是 概率×(貢獻+下一個狀態的期望)，轉移方程即：$$dp[i]=\sum _{j=i}^n{p}_j?(dp[j]+1)+\sum _{j=1}^{i?1}{p}_j$$$$f[i]=\sum _{j=i}^n{p}_j?(f[j]+2?dp[j]+1)+\sum _{j=1}^{i?1}{p}_j$$
說一下我對這個方程的理解吧，每個方程的前一半就是從后面的某個合法狀態轉移過來，注意需要加上相應的貢獻。后半部分就是從結束的狀態轉移過來，由于只能執行一步，所以貢獻是$1$和$1^2$。
還有這兩個方程不難發現，左右都有$dp[i],f[i]$，我們移一下項即可。
維護前綴和和后綴和可以做到$O(nlogn)$，但貌似沒必要？

// Problem: Sample Game // Contest: NowCoder // URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/11255/B // Memory Limit: 524288 MB // Time Limit: 2000 ms // // Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)//#pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector,unroll-loops,fast-math") //#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4.1,sse4.2,avx,avx2,popcnt,tune=native") //#pragma GCC optimize(2) #include<cstdio> #include<iostream> #include<string> #include<cstring> #include<map> #include<cmath> #include<cctype> #include<vector> #include<set> #include<queue> #include<algorithm> #include<sstream> #include<ctime> #include<cstdlib> #include<random> #include<cassert> #define X first #define Y second #define L (u<<1) #define R (u<<1|1) #define pb push_back #define mk make_pair #define Mid ((tr[u].l+tr[u].r)>>1) #define Len(u) (tr[u].r-tr[u].l+1) #define random(a,b) ((a)+rand()%((b)-(a)+1)) #define db puts("---") using namespace std;//void rd_cre() { freopen("d://dp//data.txt","w",stdout); srand(time(NULL)); } //void rd_ac() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//AC.txt","w",stdout); } //void rd_wa() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//WA.txt","w",stdout); }typedef long long LL; typedef unsigned long long ULL; typedef pair<int,int> PII;const int N=110,mod=998244353,INF=0x3f3f3f3f; const double eps=1e-6;int n; LL p[N]; LL f[N],dp[N],pre[N];LL qmi(LL a,LL b) {LL ans=1; a+=mod; a%=mod;while(b) {if(b&1) ans=ans*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;}return ans%mod; }int main() { // ios::sync_with_stdio(false); // cin.tie(0);cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>p[i];LL t=0; for(int i=1;i<=n;i++) t+=p[i]; t=qmi(t,mod-2);for(int i=1;i<=n;i++) (p[i]*=t)%=mod,pre[i]=pre[i-1]+p[i];LL suf=0,ans=0;for(int i=n;i>=1;i--) {dp[i]=(suf+pre[i])%mod;(dp[i]*=qmi(1-p[i],mod-2))%=mod;(suf+=p[i]*(dp[i]+1)%mod)%=mod;}suf=0;for(int i=n;i>=1;i--) {f[i]=suf+pre[i]+2*p[i]*dp[i]%mod; f[i]%=mod;(f[i]*=qmi(1-p[i],mod-2))%=mod;suf+=p[i]*(f[i]+2*dp[i]+1)%mod; suf%=mod;ans+=(f[i]+2*dp[i]+1)*p[i]%mod; ans%=mod;}printf("%lld\n",ans);return 0; } /**/

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2021牛客暑期多校训练营4 B - Sample Game 期望dp\生成函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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