P2231 [HNOI2002]跳蚤

給定一個長度為n+1的一列數，第n+1位為m，前n位小于m
求解使得他n+1個數的加減可以湊出1的方案數

首先可以湊出1，這顯然是裴蜀定理，推一推就發現他要求所有數的gcd為1
那么對于要求gcd恰為x的計數問題，我們常見套路就是欽定所有數是x的倍數，然后利用莫比烏斯反演來求解。

但是注意這里指定了一個元素m，那么可以發現當x不是m的因子時，f[x]=0,所以我們可以改寫一下這個式子。得到：
$$g(1)=\sum _{d|m}(\frac{m}{d}{)}^n\mu (d)$$
然后我們發現它是一個卷積的形式，我們考慮怎么求解，如果暴力求就是O(m)的，但是我們巧妙地轉化一下，就可以發現對于μ來說如果有平方因子就是0，所以我們只需要枚舉質因子的子集即可。$O(\sqrt{m}+2^{w(m)}\log n)$

這啟示我們遇到含μ和一個容易計算的式子的時候應該暴力,這告訴我們對于特殊的卷積，有不同的求解方法。

然后其實這個式子還可以推一推，然后得到一個類似φ的形式。

總結

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