Tarjan缩点/边双/点双
文章目錄
- 代碼實(shí)現(xiàn)
- 實(shí)際應(yīng)用
- 1.有向圖
- 另外：對于縮點(diǎn)之后的DAG的處理
- 2.無向圖
- 求法
- 細(xì)節(jié)
- 細(xì)節(jié)：
- 目錄：
- 1.「POJ 3694」Network
- 2.「2019 ICPC 橫濱站」
- 3. P3225 [HNOI2012]礦場搭建
- 4. 一本通 分離的路徑
代碼實(shí)現(xiàn)
所以其實(shí)就三個(gè)玩意 1.dfn[],low[],indx 2.stack<int>s,bool pd[] 3.scc[],scnt，col[]等我們要求的信息變量名 用處 dfn 記錄當(dāng)前已經(jīng)訪問了幾個(gè)節(jié)點(diǎn) scc 記錄當(dāng)前已經(jīng)有了幾個(gè)強(qiáng)連通分量 dfn[ maxn ] 當(dāng)前節(jié)點(diǎn)是第幾個(gè)被訪問到的 low[ maxn ] 當(dāng)前節(jié)點(diǎn)所能訪問到的最小的 dfn[ ] scc[ maxn ] 記錄各個(gè)節(jié)點(diǎn)所屬于的強(qiáng)連通分量編號 s[ maxn ] 存儲可能構(gòu)成強(qiáng)連通分量的節(jié)點(diǎn)的棧 top 存儲棧頂那么我們?nèi)绻髎cc這樣一個(gè)東西,應(yīng)該是用什么結(jié)構(gòu)呢？
思想其實(shí)并不是很難，就是我們要求SCC，將它放入dfs序中，發(fā)現(xiàn)它有一定的特點(diǎn)，那就是在搜索樹中的點(diǎn)，一定可以通向祖先，那他們就是一個(gè)scc，因?yàn)樗麄兛梢员舜说竭_(dá)。
所以我們要找最大的scc，那么就是要求出最小的祖先。
所以每個(gè)節(jié)點(diǎn)不用存下所有祖先，而只用存這一個(gè)就夠了。
所以有了low[]來存x的搜索樹內(nèi)邊和最小的點(diǎn)。
那么肯定是要dfs的。
發(fā)現(xiàn)low[]=min(low[son]),min(dfn[to]）;
所以dfs回溯遞歸處理，該問題具有自相似性。
實(shí)際應(yīng)用
可以分為兩類
1.有向圖
縮點(diǎn)之后變成了一個(gè)DAG，那么什么時(shí)候應(yīng)該縮點(diǎn)呢，
例子：
“喜歡”是可以傳遞的——如果A喜歡B，B喜歡C，那么A也喜歡C
一旦我們逮捕了一個(gè)間諜，他手中掌握的情報(bào)都將歸我們所有，這樣就有可能逮捕新的間諜，掌握新的情報(bào)。
給定一個(gè) n 個(gè)點(diǎn) m 條邊有向圖，每個(gè)點(diǎn)有一個(gè)權(quán)值，求一條路徑，使路徑經(jīng)過的點(diǎn)權(quán)值之和最大，允許多次通過同一個(gè)點(diǎn)和邊。
從S到T，可以重復(fù)走，求所有路徑中點(diǎn)權(quán)最大值與最小值的差。
P1407 我們已知n對夫妻的婚姻狀況，稱第i對夫妻的男方為Bi，女方為Gi。若某男Bi與某女Gj曾經(jīng)交往過（無論是大學(xué)，高中，亦或是幼兒園階段，i≠j），則當(dāng)某方與其配偶（即Bi與Gi或Bj與Gj）感情出現(xiàn)問題時(shí)，他們有私奔的可能性。不妨設(shè)Bi和其配偶Gi感情不和，于是Bi和Gj舊情復(fù)燃，進(jìn)而Bj因被戴綠帽而感到不爽，聯(lián)系上了他的初戀情人Gk……一串串的離婚事件像多米諾骨牌一般接踵而至。若在Bi和Gi離婚的前提下，這2n個(gè)人最終依然能夠結(jié)合成n對情侶，那么我們稱婚姻i為不安全的，否則婚姻i就是安全的。
給定所需信息，你的任務(wù)是判斷每對婚姻是否安全。
總結(jié) ：可以重復(fù)走，有傳遞性（即一個(gè)接一個(gè)）
另外：對于縮點(diǎn)之后的DAG的處理
1.DAG 一定存在一個(gè)或多個(gè)入度為0或出度為0的點(diǎn)。
2.可以進(jìn)行拓?fù)渑判?#xff0c;排序靠后的點(diǎn)不可能到達(dá)靠前的點(diǎn)。
3.DAG上的DP(期望等）
4.把入度為0的點(diǎn)與出度為0的點(diǎn)之間連邊，會變成一個(gè)SCC
2.無向圖
點(diǎn)雙連通：刪去任何一個(gè)點(diǎn)仍然連通邊雙連通：刪去任何一條邊仍然連通（下面會簡稱為“點(diǎn)雙和邊雙”）
另一種定義是，任何兩點(diǎn)之間至少存在兩條不經(jīng)過相同中間點(diǎn)（邊）的路徑如果不滿足雙連通性
割點(diǎn)（割頂）：刪去后原圖不連通的頂點(diǎn)集合點(diǎn)雙連通：刪去任何一個(gè)點(diǎn)仍然連通邊雙連通：刪去任何一條邊仍然連通割邊（橋）：刪去后原圖不連通的邊集合求法
- 不需要用到棧，因?yàn)椴挥么鎯?qiáng)連通分量。
- 割邊一定存在于樹邊上，否則存在另一條路徑。
- 注意low的定義有所變化，有向圖中l(wèi)ow只代表能到達(dá)的在棧中的節(jié)點(diǎn)的最小值。但在無向圖中，沒有棧的限制。
- dfn[u]<low[v]那么（u，v）即為割邊
細(xì)節(jié)
- 注意這里變成了嚴(yán)格小于，因?yàn)槲覀兿拗屏酥赶蚋赣H的邊，那么若low等于dfn的話相當(dāng)于存在一條回路。
- 但是要進(jìn)行特判不能讓出去的點(diǎn)再次走同一個(gè)無向邊，否則low[to]必定等于dfn[x],沒有意義了，但是還要允許重邊訪問，所以我們應(yīng)該記錄邊的編號。
- 對于搜索樹中的根節(jié)點(diǎn)，兒子數(shù)大于等于2即為割點(diǎn)。
- 對于一般點(diǎn)：dfn[u]<=low[v]那么u就是割點(diǎn)
- 但是注意割邊兩邊一般是割點(diǎn)，但是特殊情況下一邊只有一個(gè)點(diǎn)，那就不是割點(diǎn)了。
細(xì)節(jié)：
- 引入了rt，son每次tarjan都要重新賦值。
- 小心pd[]=true,cnt++;這樣的語句，因?yàn)閎ool值本來可能已賦值過了。
- 分類討論！！！不要忘了。
目錄：
- 邊雙縮點(diǎn)變成樹，在線查詢兩點(diǎn)之間邊的個(gè)數(shù)，然后再一次縮點(diǎn)。
- 邊雙在指定無向邊的方向之后一定可以變成強(qiáng)連通分量。
1.「POJ 3694」Network
在線查詢一個(gè)無向圖，加入一條邊后減少了多少條橋。
2.「2019 ICPC 橫濱站」
給出一些起點(diǎn)和終點(diǎn)，判定把無向邊確定方向之后能否滿足每一個(gè)起點(diǎn)都可以走到對應(yīng)的終點(diǎn)。
3. P3225 [HNOI2012]礦場搭建
題意：對于一個(gè)礦場可視作無向圖，現(xiàn)在已知任意礦場塌陷后，每一個(gè)點(diǎn)可以從出口逃出，那么最少在圖上建立幾個(gè)出口及方案數(shù)。
那么可以發(fā)現(xiàn)刪去一個(gè)點(diǎn)對于點(diǎn)雙仍然聯(lián)通，所以dfs每一個(gè)點(diǎn)雙，統(tǒng)計(jì)點(diǎn)雙中有多少割點(diǎn)。
可以發(fā)現(xiàn)，如果將點(diǎn)雙視為點(diǎn)，那么圖會變成一個(gè)樹，如果斷掉一個(gè)割點(diǎn)，相當(dāng)于斷裂一條邊，所以只要在葉子節(jié)點(diǎn)上建立就可以了。
- 若沒有割點(diǎn)則建立一個(gè)，方案數(shù)為節(jié)點(diǎn)數(shù)。
- 若有一個(gè)割點(diǎn)則需要建立一個(gè)在非割點(diǎn)上，方案數(shù)為非割點(diǎn)的數(shù)目。
- 若有兩個(gè)割點(diǎn)則不需要建立。
4. 一本通 分離的路徑
給出一個(gè)無向連通圖，現(xiàn)在求出使每個(gè)點(diǎn)到其他點(diǎn)都有兩條完全不同的路徑最少還需要添加幾條邊。
可以發(fā)現(xiàn)這就是一個(gè)邊雙，那么對邊雙縮點(diǎn)，圖會變成一個(gè)樹，那么只要給兩個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)連邊再縮點(diǎn)，就可以使新的樹葉子數(shù)減少二，所以共用(sum-1)/2。
注意各個(gè)題解都沒有注意到的是，如果兩個(gè)普通兩個(gè)葉子相連只能減少一個(gè)葉子，因?yàn)槿绻麄兊膌ca有兩個(gè)兒子就會在他們的lca處新增一個(gè)葉子。所對葉子節(jié)點(diǎn)的選取是有要求的。
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的Tarjan缩点/边双/点双的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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