[2021.1.27多校省選模擬10]染色

突然發現我對概率期望的理解不是很好。。。

部分分1：可以直接進行狀壓dp，然后按照題意模擬即可。

部分分2：首先可以發現這個問題是min_max容斥形式，然后對于min(T)的問題，我們將問題轉化為有p的概率獲得某個物品，然后問第一次獲得物品的時間期望。但是我考場上推導的等比數列是錯誤的，主要是因為沒有處理選擇的那一次貢獻，這樣就會少加1.

然后我想到一個比較好理解的模型，就是考慮一個寬度為1的矩形，然后每次一定比例p是選擇，1-p的比例是不選擇，然后不選擇的這一段會在下一天繼續分割。這樣相當于我們要求解的就是這些東西的總面積。
具體證明方法：

根據遞歸式列出方程證明S=(p-1)S+1

利用等比數列求和證明 求解${\sum }_{i=1}^{\infty }P?(1?P{)}^i?i$

感性認為每一天期望獲得p個物品，那么總天數就是用1來除，但是實際上不能算是證明

具體求解方法，現在我們得到了這個式子和沒有包含T中點的區間個數有關，并且這個東西在分母上沒法快速求和，所以我們考慮dp，統計區間個數一定的T集合個數，這顯然是一個線性dp了，那么我們可以考慮$d{p}_{i,j}$表示前i個中有j個區間的方案數。

部分分3：
kth min-max容斥本質上就是需要一個容斥系數$f(x)$使得對于每一項的貢獻可以通過加和然后抵消，然后正好這個式子是可以二項式反演推導出$f(x)$的具體值的，這樣就可以推導出真正的容斥系數，這個尋找容斥系數的思路很巧妙。

https://blog.csdn.net/ez_2016gdgzoi471/article/details/81416333

然后所以現在我們不僅需要知道區間個數，還要求出集合大小所以將dp修改一下就可以得到方案數了。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[2021.1.27多校省选模拟10]染色（min-max容斥/二项式反演)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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