P2303 [SDOI2012] Longge

一道看似非常基礎的數論題，但是蘊含了非常多的知識，求解
$$\sum _{i=1}^{n}gcd(i,n)$$
這個東西我們輕松地就能化簡成$id?\phi$的形式，然后考慮如何快速求解，那么可以枚舉n的所有因數然后對因數$O(\sqrt{n})$求解$\phi (n)$然后考慮這樣子的復雜度和因數個數有關，那么有這樣一個表告訴我們因數個數是很少的，所以這道題的復雜度是正確的。

然后進一步優化復雜度的思路就是將$\phi$展開
$$\begin{gathered} \sum _{d|n}\phi (d)\frac{n}{d}=\sum _{d|n}d(\prod _{x|d}\frac{x?1}{x})\frac{n}{d} \\ =n\prod (1+p_i\frac{a_i?1}{a_i}) \\ =n\prod \frac{p_i{a}_i?p_i+a_i}{a_i} \end{gathered}$$
這樣我們就可以$O(\sqrt{n})$解決這個問題了

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總結

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