歐拉函數(shù)

• $p$是素?cái)?shù)，則有$?(p)=p?1$

  證明：顯然。

• $p$是素?cái)?shù)，$n=p^k$，則$?(n)=p^k?p^{k?1}$

  證明：

  $[1,n]$內(nèi)，$p$的約數(shù)有$p,2p,3p,4p\dots \dots (p^{k?1}?1)p$個(gè)，所以$?(n)=p^k?1?(p^{k?1}?1)=p^k?p^{k?1}$

• $p,q$是素?cái)?shù)，$?(pq)=?(p)??(q)$

  證明：

  $pq?1$內(nèi)是$p$的倍數(shù)的有$q?1$個(gè)，是$q$的倍數(shù)的有$p?1$個(gè)，$?(pq)=pq?1?(q?1)?(p?1)=pq?p?q?1=(p?1)(q?1)=?(p)?(q)$

  拓展$p,q$互質(zhì)即可滿足條件。

• $a\%p==0,p是質(zhì)數(shù)$，則$?(ap)=?(a)p$

  證明：

  一定有$a=k{p}^n$，$k,p$互質(zhì)，

  $\therefore ?(a)=?(k)?(p^n)$

  $\therefore ?(k)=\frac{?(a)}{?(a^n)}$

  $\because ap=k{p}^{n+1}$

  $\therefore ?(ap)=?(k)?(p^{n+1})$

  $\therefore ?(ap)=?(a)\frac{?(p^{n+1})}{?(p^n)}$

  $\because ?(p^{n+1})=p^{n+1}?p^n,?(p^n)=p^n?p^{n?1}$

  $\therefore ?(ap)=?(a)\frac{?(p^{n+1})}{?(p^n)}=?(a)\frac{p^{n+1}?p^n}{p^n?p^{n?1}}$

  $\therefore ?(ap)=?(a)p$

• $n=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}\dots \dots p_n^{a_n}$則，$?(n)=n(1?\frac{1}{p_1})(1?\frac{1}{p_2})\dots \dots \frac{1}{p_n}$

  證明：

  $\because ?(n)=?(p_1^{a_1})?(p_2^{a_2})\dots \dots ?(p_n^{a_n})$

  $\therefore ?(n)=(p_1^{a_1}?p_1^{a_1?1})(p_2^{a_2}?p_2^{a_2?1})\dots \dots (p_n^{a_n}?p_n^{a_n?1})$

  每個(gè)括號(hào)里提出一個(gè)$p_i^{a_i}$得$?(n)=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}\dots \dots p_n^{a_n}(1?\frac{1}{p_1})(1?\frac{1}{p_2})\dots \dots \frac{1}{p_n}$

  即證得：$?(n)=n(1?\frac{1}{p_1})(1?\frac{1}{p_2})\dots \dots \frac{1}{p_n}$

• 關(guān)于歐拉函數(shù)得遞推求法

  顯然可以在歐拉素?cái)?shù)篩的同時(shí)得到歐拉函數(shù)值

  $prime[j]\mid i$時(shí)，有$?(i?prime[j])=?(i)?prime[j]$

  其次就是兩個(gè)互質(zhì)的情況了

  $?(i?prime[j])=?(i)?(prime[j]?1)$

  再最后就是$i$為質(zhì)數(shù)的情況了，$?(i)=i?1$

• $n$的所有約數(shù)的歐拉函數(shù)之和等于$n$

  證明：

• 對(duì)于給定$n$，${\sum }_{i=1}^{n?1}i(gcd(i,n)==1)=\frac{n?n}{2}$

  證明：

  顯然$gcd(i,n)=1$，則有$gcd(n?i,n)=1$，所以互質(zhì)數(shù)兩兩存在則有上面式子${\sum }_{i=1}^{n?1}i(gcd(i,n)==1)=\frac{n?n}{2}$成立。

• $d=gcd(a,b)$，$?(ab)=\frac{?(a)?(b)d}{?(d)}$

  證明：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的欧拉函数的性质及其证明的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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