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人工智能数学基础之线性代数(二)

發布時間：2023/12/4 综合教程 47 生活家

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了人工智能数学基础之线性代数(二) 小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

前言

本文只會記錄人工智能中所用到的線性代數知識，并不會記錄大學線性代數教材中的所有知識。

現在CSDN不能發超長的文章了，只能分成多篇發布。

人工智能數學基礎之線性代數(一)
人工智能數學基礎之線性代數(二)
人工智能數學基礎之線性代數(三)

行列式的性質

記
D=∣a11a12?a1na21a22?a2n???an1an2?ann∣,DT=∣a11a21?an1a12a22?an2???a1na2n?ann∣D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots &\vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}, \quad D^T = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1}\\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2}\\ \vdots &\vdots & & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix} D=∣∣?a11?a21??an1??a12?a22??an2??????a1n?a2n??ann??∣∣?,DT=∣∣?a11?a12??a1n??a21?a22??a2n??????an1?an2??ann??∣∣?
行列式DTD^TDT稱為行列式DDD的轉置行列式。

性質1 行列式與它的轉置行列式相等

性質2 互換行列式的兩行(列)，行列式變號

推論如果行列式有兩行(列)完全相同，則此行列式等于零

性質3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數kkk，等于用數kkk乘此行列式

推論行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式記號的外面

性質4 行列式中如果有兩行(列)元素成比例，則此行列式等于零

性質5 若行列式的某一列(行)的元素都是兩數之和，例如第iii列的元素都是兩數之和：
D=∣a11a12?(a1i+a1i′)?a1na21a22?(a2i+a2i′)?a2n????an1an2?(ani+ani′)?ann∣,D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & (a_{1i} + a_{1i}^\prime)& \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & (a_{2i} + a_{2i}^\prime)& \cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots && \vdots& &\vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & (a_{ni} + a_{ni}^\prime)& \cdots &a_{nn}\\ \end{vmatrix}, D=∣∣?a11?a21??an1??a12?a22??an2??????(a1i?+a1i′?)(a2i?+a2i′?)?(ani?+ani′?)?????a1n?a2n??ann??∣∣?,
則DDD等于下列兩個行列式之和：
D=∣a11a12?a1i?a1na21a22?a2i?a2n????an1an2?ani?ann∣+∣a11a12?a1i′?a1na21a22?a2i′?a2n????an1an2?ani′?ann∣.D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1i}& \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2i} & \cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots && \vdots& &\vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{ni}& \cdots &a_{nn}\\ \end{vmatrix} + \\ \qquad \qquad \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1i}^\prime& \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2i}^\prime& \cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots && \vdots& &\vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{ni}^\prime& \cdots &a_{nn}\\ \end{vmatrix}. D=∣∣?a11?a21??an1??a12?a22??an2??????a1i?a2i??ani??????a1n?a2n??ann??∣∣?+∣∣?a11?a21??an1??a12?a22??an2??????a1i′?a2i′??ani′??????a1n?a2n??ann??∣∣?.
性質6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一數然后加到另一列(行)對應的元素上去，行列式不變。

例如以數kkk乘第jjj列加到第iii列上(記作ci+kcjc_i + kc_jci?+kcj?)，有
∣a11?a1i?a1j?a1na21?a2i?a2j?a2n????an1?ani?anj?ann∣=ci+kcj∣a11?(a1i+ka1j)?a1j?a1na21?(a2i+ka2j)?a2j?a2n????an1?(ani+kanj)?anj?ann∣(i≠j)\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots& a_{1i} & \cdots & a_{1j}& \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & \cdots& a_{2i} & \cdots & a_{2j}& \cdots &a_{2n}\\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & \cdots& a_{ni} & \cdots & a_{nj}& \cdots &a_{nn}\\ \end{vmatrix} \\ \overset{c_i + kc_j}{=} \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots& (a_{1i} + ka_{1j}) & \cdots & a_{1j}& \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & \cdots& (a_{2i} + ka_{2j})& \cdots & a_{2j}& \cdots &a_{2n}\\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & \cdots& (a_{ni} + ka_{nj})& \cdots & a_{nj}& \cdots &a_{nn}\\ \end{vmatrix} (i \neq j) ∣∣?a11?a21??an1??????a1i?a2i??ani??????a1j?a2j??anj??????a1n?a2n??ann??∣∣?=ci?+kcj?∣∣?a11?a21??an1??????(a1i?+ka1j?)(a2i?+ka2j?)?(ani?+kanj?)?????a1j?a2j??anj??????a1n?a2n??ann??∣∣?(i=j)
(以數kkk乘第jjj行加到第iii行上，記作ri+krjr_i + kr_jri?+krj?)

行列式按行(列)展開

一般來說，低階行列式的計算比高階行列式的計算要簡便，于是，我們自然地考慮用低階行列式來表示高階行列式的問題。為此，先引入余子式和代數余子式的概念。

在nnn階行列式中，把(i,j)(i,j)(i,j)元aija_{ij}aij?所在的第iii行和第jjj列劃去后，留下來的n?1n-1n?1階行列式叫作(i,j)(i,j)(i,j)元aija_{ij}aij?的余子式，記作MijM_{ij}Mij?；記
Aij=(?1)i+jMij,A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}, Aij?=(?1)i+jMij?,
AijA_{ij}Aij?叫做(i,j)(i,j)(i,j)元aija_{ij}aij?的代數余子式。

例如四階行列式
D=∣a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44∣D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix} D=∣∣?a11?a21?a31?a41??a12?a22?a32?a42??a13?a23?a33?a43??a14?a24?a34?a44??∣∣?
中(3,2)(3,2)(3,2)元a32a_{32}a32?的余子式和代數余子式分別為
M32=∣a11a13a14a21a23a24a41a43a44∣,A32=(?1)3+2M32=?M32.M_{32} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{14}\\ a_{21} & a_{23} & a_{24}\\ a_{41} & a_{43} & a_{44}\\ \end{vmatrix}, \\ A_{32} = (-1)^{3+2} M_{32} = -M_{32}. M32?=∣∣?a11?a21?a41??a13?a23?a43??a14?a24?a44??∣∣?,A32?=(?1)3+2M32?=?M32?.
引理一個nnn階行列式，如果其中第iii行所有元素除(i,j)(i,j)(i,j)元aija_{ij}aij?外都為零，那么這行列式等于aija_{ij}aij?與它的代數余子式的乘積，即
D=aijAij.D = a_{ij}A_{ij}. D=aij?Aij?.
定理3 行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應的代數余子式乘積之和，即
D=ai1Ai1+ai2Ai2+?+ainAin(i=1,2,?,n),D=a1jA1j+a2jA2j+?+anjAnj(j=1,2,?,n)D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots +a_{in}A_{in} \quad (i=1,2,\cdots,n),\\ D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \cdots +a_{nj}A_{nj} \quad (j=1,2,\cdots,n) D=ai1?Ai1?+ai2?Ai2?+?+ain?Ain?(i=1,2,?,n),D=a1j?A1j?+a2j?A2j?+?+anj?Anj?(j=1,2,?,n)
證
D=∣a11a12?a1n???ai1+0+?+00+ai2+?+0?0+?+0+ain???an1an2?ann∣=∣a11a12?a1n???ai10?0???an1an2?ann∣+∣a11a12?a1n???0ai2?0???an1an2?ann∣+?+∣a11a12?a1n???00?ain???an1an2?ann∣,D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{i1} + 0 + \cdots + 0& 0 + a_{i2} + \cdots + 0 &\cdots & 0 + \cdots +0 + a_{in}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix} \\ = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & 0 &\cdots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & a_{i2} &\cdots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} + \cdots + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 &\cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}, D=∣∣?a11??ai1?+0+?+0?an1??a12??0+ai2?+?+0?an2??????a1n??0+?+0+ain??ann??∣∣?=∣∣?a11??ai1??an1??a12??0?an2??????a1n??0?ann??∣∣?+∣∣?a11??0?an1??a12??ai2??an2??????a1n??0?ann??∣∣?+?+∣∣?a11??0?an1??a12??0?an2??????a1n??ain??ann??∣∣?,
根據引理，即得
D=ai1Ai1+ai2Ai2+?+ainAin(i=1,2,?,n)D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots +a_{in}A_{in} \quad (i=1,2,\cdots,n) D=ai1?Ai1?+ai2?Ai2?+?+ain?Ain?(i=1,2,?,n)
類似地，若按列證明，可得
D=a1jA1j+a2jA2j+?+anjAnj(j=1,2,?,n).D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \cdots +a_{nj}A_{nj} \quad (j=1,2,\cdots,n). D=a1j?A1j?+a2j?A2j?+?+anj?Anj?(j=1,2,?,n).
這個定理叫做行列式按行(列)展開法則。利用這一法則并結合行列式的性質，可以簡化行列式的計算。

推論行列式的某一行(列)的元素與另一行(列)的對應元素的代數余子式乘積之和等于零。即
ai1Aj1+ai2Aj2+?+ainAjn=0,i≠j,a1iA1j+a2iA2j+?+aniAnj=0,i≠j.a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + \cdots+ a_{in}A_{jn} = 0,\quad i\neq j,\\ a_{1i}A_{1j} + a_{2i}A_{2j} + \cdots+ a_{ni}A_{nj} = 0,\quad i\neq j. ai1?Aj1?+ai2?Aj2?+?+ain?Ajn?=0,i=j,a1i?A1j?+a2i?A2j?+?+ani?Anj?=0,i=j.
證把行列式D=det(aij)D=det(a_{ij})D=det(aij?)按第jjj行展開，有
aj1Aj1+aj2Aj2+?+ajnAjn=∣a11?a1n??ai1?ain??aj1?ajn??an1?ann∣,a_{j1}A_{j1} + a_{j2}A_{j2} + \cdots+ a_{jn}A_{jn} =\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{in}\\ \vdots & & \vdots \\ a_{j1} & \cdots & a_{jn}\\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}, aj1?Aj1?+aj2?Aj2?+?+ajn?Ajn?=∣∣?a11??ai1??aj1??an1???????a1n??ain??ajn??ann??∣∣?,
在上式中把ajka_{jk}ajk?換成aik(k=1,?,n)a_{ik}(k=1,\cdots,n)aik?(k=1,?,n)，可得
ai1Aj1+ai2Aj2+?+ainAjn=∣a11?a1n??ai1?ain(i行)??ai1?ain(j行)??an1?ann∣a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + \cdots+ a_{in}A_{jn} =\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{in} (i\text{行})\\ \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{in}(j\text{行})\\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix} ai1?Aj1?+ai2?Aj2?+?+ain?Ajn?=∣∣?a11??ai1??ai1??an1???????a1n??ain?(i行)?ain?(j行)?ann??∣∣?
當i≠ji\neq ji=j時，上式右端行列式中有兩行對應元素相同，故行列式為零，即得
ai1Aj1+ai2Aj2+?+ainAjn=0,i≠j.a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + \cdots+ a_{in}A_{jn} = 0,\quad i\neq j. ai1?Aj1?+ai2?Aj2?+?+ain?Ajn?=0,i=j.
上述證法如按列進行，可得
a1iA1j+a2iA2j+?+aniAnj=0,i≠j.a_{1i}A_{1j} + a_{2i}A_{2j} + \cdots+ a_{ni}A_{nj} = 0,\quad i\neq j. a1i?A1j?+a2i?A2j?+?+ani?Anj?=0,i=j.

克拉默法則

又譯為克萊姆法則。

含有nnn個未知數x1,x2,?,xnx_1,x_2,\cdots,x_nx1?,x2?,?,xn?的nnn個線性方程的方程組
{a11x1+a12x2+?+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+?+a2nxn=b2,?an1x1+an2x2+?+annxn=bn,(8)\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n= b_1, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n= b_2, \\ \cdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n= b_n, \\ \end{cases} \tag{8} ????a11?x1?+a12?x2?+?+a1n?xn?=b1?,a21?x1?+a22?x2?+?+a2n?xn?=b2?,?an1?x1?+an2?x2?+?+ann?xn?=bn?,?(8)
與二、三元線性方程組類似，它的解可以用nnn階行列式表示，即有

克拉默法則 如果線性方程組(8)(8)(8)的系數行列式不等于零，即
D=∣a11?a1n??an1?ann∣≠0,D =\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix} \neq 0, D=∣∣?a11??an1?????a1n??ann??∣∣?=0,
那么，方程組(11)(11)(11)有唯一解
x1=D1D,x2=D2D,xn=DnD,(9)x_1 = \frac{D_1}{D}, \quad x_2 = \frac{D_2}{D}, \quad x_n = \frac{D_n}{D}, \tag{9} x1?=DD1??,x2?=DD2??,xn?=DDn??,(9)
其中Dj(j=1,2,?,n)D_j(j=1,2,\cdots,n)Dj?(j=1,2,?,n)是把系數行列式DDD中第jjj列的元素用方程組右端的常數項代替后得到的nnn階行列式，即
Dj=∣a11?a1,j?1b1a1,j+1?a1n?????an1?an,j?1bnan,j+1?ann∣.D_j =\begin{vmatrix} a_{11} &\cdots &a_{1,j-1}& b_1 & a_{1,j+1}&\cdots & a_{1n}\\ \vdots & &\vdots& \vdots & \vdots& & \vdots\\ a_{n1} &\cdots &a_{n,j-1}& b_n & a_{n,j+1}&\cdots & a_{nn} \end{vmatrix}. Dj?=∣∣?a11??an1?????a1,j?1??an,j?1??b1??bn??a1,j+1??an,j+1?????a1n??ann??∣∣?.
定理4 如果線性方程組(8)(8)(8)的系數行列式D≠0D \neq 0D=0，則(8)(8)(8)一定有解，且解是唯一的。

該定理的逆否定理為
定理4’ 如果線性方程組(8)(8)(8)無解或有兩個不同的解，則它的系數行列式比為零。

線性方程組(8)(8)(8)右端的常數項b1,b2,?,bnb_1,b_2,\cdots,b_nb1?,b2?,?,bn?全為零時，線性方程組(8)(8)(8)叫做齊次線性方程組。

對于齊次線性方程組
{a11x1+a12x2+?+a1nxn=0,a21x1+a22x2+?+a2nxn=0,?an1x1+an2x2+?+annxn=0,(10)\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n= 0, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n= 0, \\ \cdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n= 0, \\ \end{cases} \tag{10} ????a11?x1?+a12?x2?+?+a1n?xn?=0,a21?x1?+a22?x2?+?+a2n?xn?=0,?an1?x1?+an2?x2?+?+ann?xn?=0,?(10)
x1=x2=?=xn=0x_1=x_2=\cdots = x_n =0x1?=x2?=?=xn?=0一定是它的解，這個解叫做齊次線性方程組的零解。

如果一組不全為零的數是(10)(10)(10)的解，則它叫做齊次線性方程組(10)(10)(10)的非零解。

矩陣

矩陣是一個按照長方陣列排列的復數或實數集合。
由m×nm × nm×n個數組成的一個mmm行nnn列的矩形表格。如圖所示：

A=[a11a12?a1na21a22?a2n????am1am2?amn]A = \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{matrix} \right]A=???a11?a21??am1??a12?a22??am2???????a1n?a2n??amn?????

稱為mmm行nnn列矩陣，簡稱m×nm \times nm×n矩陣。

這個m×nm \times nm×n個數稱為矩陣AAA的元素，簡稱為元，數aija_{ij}aij?位于矩陣AAA的第iii行第jjj列，稱為矩陣AAA的(i,j)(i,j)(i,j)元。

以數aija_{ij}aij?為(i,j)(i,j)(i,j)元的矩陣可簡記作(aij)(a_{ij})(aij?)或(aij)m×n(a_{ij})_{m \times n}(aij?)m×n?，m×nm \times nm×n矩陣AAA也記作Am×nA_{m \times n}Am×n?。

行數與列數都等于nnn的矩陣稱為nnn階矩陣或nnn階方陣。

元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記作OOO。

nnn個變量x1,x2,?,xnx_1,x_2,\cdots,x_nx1?,x2?,?,xn?與mmm個變量y1,y2,?,ymy_1,y_2,\cdots,y_my1?,y2?,?,ym?之間的關系式
{y1=a11x1+a12x2+?+a1nxn,y2=a21x1+a22x2+?+a2nxn,?ym=am1x1+am2x2+?+amnxn(2)\begin{cases} y_1= a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n, \\ y_2= a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n, \\ \cdots \\ y_m= a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n \\ \end{cases} \tag{2} ????y1?=a11?x1?+a12?x2?+?+a1n?xn?,y2?=a21?x1?+a22?x2?+?+a2n?xn?,?ym?=am1?x1?+am2?x2?+?+amn?xn??(2)
表示從一個變量x1,x2,?,xnx_1,x_2,\cdots,x_nx1?,x2?,?,xn?與到變量y1,y2,?,ymy_1,y_2,\cdots,y_my1?,y2?,?,ym?的線性變換，其中aija_{ij}aij?為常數。線性變換(2)(2)(2)的系數aija_{ij}aij?構成矩陣A=(aij)m×nA = (a_{ij})_{m \times n}A=(aij?)m×n?，稱為系數矩陣。

矩陣的基本運算

兩個矩陣的行數和列數分別相等，稱它們為同型矩陣。

加法

矩陣的加法只能在兩個同型矩陣之間進行，兩個矩陣相加時，對應元素進行相加。

如：

[123457]+[002213]=[1256610]\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 7 \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 2\\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 5\\ 6 & 6 & 10 \end{matrix} \right] [14?25?37?]+[02?01?23?]=[16?26?510?]

數乘

數λ\lambdaλ與矩陣AAA的乘積記作λA\lambda AλA或AλA\lambdaAλ，規定為

λA=Aλ=[λa11λa12?λa1nλa21λa22?λa2n????λam1λam2?λamn]\lambda A = A\lambda = \left[ \begin{matrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n}\\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn} \end{matrix} \right]λA=Aλ=???λa11?λa21??λam1??λa12?λa22??λam2???????λa1n?λa2n??λamn?????

乘法

必須滿足矩陣AAA的列數與矩陣BBB的行數相等，或者矩陣AAA的行數與矩陣BBB的列數相等。

記C=ABC=ABC=AB，矩陣CCC的第iii行第jjj列的元素等于矩陣AAA的第iii行的所有元素與矩陣BBB的第jjj列的對應元素的乘積之和，即：
Cij=∑k=1naikbkjC_{ij} = \sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj} Cij?=k=1∑n?aik?bkj?
如：

[123]1×3[456]3×1=1×4+2×5+3×6=32\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \end{matrix} \right] _{1×3} \left[ \begin{matrix} 4 \\ 5 \\6 \end{matrix} \right]_{3×1} = 1×4 + 2×5 + 3×6 =32[1?2?3?]1×3????456????3×1?=1×4+2×5+3×6=32

[123]3×1[456]1×3=[45681012121518]3×3\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\3 \end{matrix} \right]_{3×1} \left[ \begin{matrix} 4 & 5 & 6 \end{matrix} \right] _{1×3} = \left[ \begin{matrix} 4 & 5 & 6\\ 8 & 10 & 12\\12 & 15 & 18 \end{matrix} \right]_{3×3}???123????3×1?[4?5?6?]1×3?=???4812?51015?61218????3×3?

矩陣的乘法不滿足交換律，但仍然滿足結合律和分配律：

(AB)C=A(BC)(AB)C = A(BC)(AB)C=A(BC)
λ(AB)=(λA)B=A(λB)(其中λ為實數)\lambda (AB) = (\lambda A)B = A(\lambda B) \quad (其中\lambda為實數)λ(AB)=(λA)B=A(λB)(其中λ為實數)
A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CAA(B+C) = AB + AC,\quad (B+C)A = BA +CAA(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA

轉置

矩陣AAA的轉置矩陣，記作ATA^TAT，是將AAA的行列互換后所得矩陣，如果AAA是一個m×nm ×nm×n階矩陣，ATA^TAT是一個n×mn×mn×m階矩陣。

A=[142536]AT=[123456]A = \left[ \begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{matrix} \right] A^T = \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} \right]A=???123?456????AT=[14?25?36?]

矩陣的轉置的性質：

(AT)T=A(A^T)^T = A(AT)T=A
(A+B)T=AT+BT(A+B)^T = A^T +B^T(A+B)T=AT+BT
(λA)T=λAT(\lambda A)^T=\lambda A^T(λA)T=λAT
(AB)T=BTAT(AB)^T = B^TA^T(AB)T=BTAT

對稱矩陣

定義一個n×nn \times nn×n的矩陣AAA，若滿足AT=AA^T =AAT=A，則稱AAA為對稱矩陣(symmetric matrix)，簡稱對稱陣。其特點為：它的元素以對角線為對稱軸對應相等。

例設列矩陣X=(x1,x2,?,xn)TX=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^TX=(x1?,x2?,?,xn?)T滿足XTX=1X^TX=1XTX=1，EEE為nnn階單位陣，H=E?2XXTH = E - 2XX^TH=E?2XXT，證明HHH是對稱陣，且HHT=EHH^T=EHHT=E。

注意：XTXX^TXXTX = x12+x22+?+xn2x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2x12?+x22?+?+xn2?是一階方陣，也就是一個數，而XXTXX^TXXT是nnn階方陣。

證
HT=(E?2XXT)T=ET?2(XXT)T=E?2XXT=H\begin{aligned} H^T &= (E - 2XX^T)^T \\ &=E^T -2(XX^T)^T \\ &= E - 2XX^T = H \end{aligned} HT?=(E?2XXT)T=ET?2(XXT)T=E?2XXT=H?
所以HHH是對稱陣。
HHT=H2=(E?2XXT)2=E?4XXT+4(XXT)(XXT)=E?4XXT+4X(XTX)XT=E?4XXT+4XXT=E\begin{aligned} HH^T &= H^2 = (E -2XX^T)^2 \\ &= E - 4XX^T + 4(XX^T)(XX^T) \\ &= E - 4XX^T + 4X(X^TX)X^T \\ &= E - 4XX^T + 4XX^T = E \end{aligned} HHT?=H2=(E?2XXT)2=E?4XXT+4(XXT)(XXT)=E?4XXT+4X(XTX)XT=E?4XXT+4XXT=E?

實對稱矩陣

如果有nnn階矩陣AAA，其矩陣的元素都為實數，且矩陣AAA的轉置等于其本身，則稱AAA為實對稱矩陣。

主要性質：

實對稱矩陣AAA的不同特征值對應的特征向量是正交的。
實對稱矩陣AAA的特征值都是實數。
nnn階實對稱矩陣AAA必可相似對角化，且相似對角陣上的元素即為矩陣本身特征值。
若AAA具有kkk重特征值λ0\lambda_0λ0?，必有kkk個線性無關的特征向量，或者說秩r(λ0E?A)r(\lambda_0 E-A)r(λ0?E?A)必為n?kn-kn?k，其中EEE為單位矩陣。
實對稱矩陣AAA一定可正交相似對角化。

單位矩陣

如同數1位實數乘法中的單位元一樣，也存在一個特殊矩陣EEE是矩陣乘法中的單位元，即
EA=AE=AEA = AE = A EA=AE=A
對任意n×nn \times nn×n的矩陣AAA都成立。

定義 n×nn \times nn×n的單位矩陣為矩陣E=(δij)E = (\delta_{ij})E=(δij?)，其中
δij={1當i=j0當i≠j\delta_{ij} = \left\{ \begin{array}{lr} 1 & 當 \,\, i =j\\ 0 & 當 \,\, i \neq j \end{array} \right. δij?={10?當i=j當i=j?

即主對角元素均為111，其他元素均為000的n×nn \times nn×n矩陣。

一般地，若BBB為任一m×nm \times nm×n矩陣，且CCC為任一n×rn \times rn×r矩陣，則
BE=B且EC=CBE = B \,\,\,\, \text{且} \,\,\,\, EC = C BE=B且EC=C

n×nn \times nn×n單位矩陣EEE的列向量為用于定義nnn維歐幾里得坐標空間的標準向量。EEE的第jjj列向量的標準記號為eje_jej?。因此，n×nn \times nn×n單位矩陣可寫為
E=(e1,e2,?,en)E = (e_1,e_2,\cdots,e_n) E=(e1?,e2?,?,en?)

矩陣的跡

nnn階方陣AAA的跡(trace)記作tr(A)tr(A)tr(A)，是對角元素之和：
tr(A)=a11+a22+?+ann=∑i=1naiitr(A) = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn} = \sum_{i=1}^n a_{ii} tr(A)=a11?+a22?+?+ann?=i=1∑n?aii?

性質：：

跡是所有特征值的和
tr(AB)=tr(BA)tr(AB)=tr(BA)tr(AB)=tr(BA)
若矩陣AAA與矩陣BBB相似，則tr(A)=tr(B)tr(A)=tr(B)tr(A)=tr(B)

共軛矩陣

首先回顧下復數的概念，復數是實數的延伸，它使任意多項式方程都有跟。復數當中有個虛數單位iii，它是?1-1?1的一個平方根，即i2=?1i^2=-1i2=?1。

任一復數都可以表達為a+bia+bia+bi，其中aaa及bbb皆為實數，分別稱為復數的實部和虛部。

復數z=a+biz = a+biz=a+bi的模為∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^2 +b^2}∣z∣=a2+b2?。

z=a+biz = a+biz=a+bi的共軛復數定義為z=a?biz = a-biz=a?bi，即兩個實部相等，虛部互為相反數。記作z￣\overline{z}z。有

z+w￣=z￣+w￣\overline{z+w} = \overline{z} + \overline{w}z+w?=z+w
zw￣=z￣?w￣\overline{zw}=\overline{z}\cdot \overline{w}zw=z?w
(zw)￣=z￣w￣\overline{\left( \frac{z}{w} \right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{w}}(wz?)?=wz?
z￣￣=z\overline{\overline{z}}=zz=z
z￣=z當且僅當z是實數\overline{z} =z \quad 當且僅當z是實數z=z當且僅當z是實數
∣z∣2=zz￣|z|^2 = z \overline{z}∣z∣2=zz

當虛部不為零時，共軛復數就是實部相等，虛部相反；

如果虛部為零，其共軛復數就是自身。即實數的共軛復數就是自身。

當A=(aij)A=(a_{ij})A=(aij?)為復矩陣時，用a￣ij\overline{a}_{ij}aij?表示aija_{ij}aij?的共軛復數，記
A￣=(a￣ij),\overline{A} = (\overline{a}_{ij}), A=(aij?),
A￣\overline{A}A稱為AAA的共軛矩陣。

共軛矩陣滿足下述運算規律(A,BA,BA,B為復矩陣，λ\lambdaλ為復數)：

A+B￣=A￣+B￣\overline{A+B}=\overline{A} + \overline{B}A+B?=A+B
λA￣=λ￣A￣\overline{\lambda A} = \overline{\lambda} \overline{A}λA=λA
AB￣=A￣B￣\overline{AB}=\overline{A}\overline{B}AB=AB

埃爾米特矩陣

AAA的共軛矩陣A￣\overline{A}A的轉置記為AHA^HAH。

定義若一個矩陣AAA滿足A=AHA =A^HA=AH，則稱它為埃爾米特矩陣(Hermitian)。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的人工智能数学基础之线性代数(二)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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