NUMTRYE - Number Theory (Easy)

Hard 版本就是用 pollard_rho 分解質因子。

$f(n)=\prod (p_i^{2e_i+1}+1)$，$g(n)=\sum _{i=1}^n\frac{n}{\gcd (n,i)}$，$p_i$是$n$的質因子，$e_i$是$p_i$的次冪，求$\frac{f(n)}{g(n)}$。
$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^n\frac{n}{gcd(n,i)} \\ \sum _{d\mid n}\frac{n}{d}\sum _{i=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(\frac{n}{d},i)=1] \\ \sum _{d\mid n}d?(d) \\ 由于f(n)是質數次冪形式，g(n)是一個積性函數，也考慮寫出次冪形式 \\ g(p)=1+p(p?1),g(p^k)=\sum _{i=0}^k{p}^i?(p^i)=\sum _{i=1}^k{p}^i{p}^{i?1}(p?1)+1 \\ 等比數列求和，再化簡可得g(p^k)=\frac{p^{2k+1}+1}{p+1} \\ 有\frac{f(n)}{g(n)}=\prod (p_i+1) \end{gathered}$$

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const int N = 1e6 + 10, mod = 1000000007;int prime[N], cnt;bool st[N];void init() {for (int i = 2; i < N; i++) {if (!st[i]) {prime[++cnt] = i;}for (int j = 1; j <= cnt && 1ll * i * prime[j] < N; j++) {st[i * prime[j]] = 1;if (i % prime[j] == 0) {break;}}} }int main() {// freopen("in.txt", "r", stdin);// freopen("out.txt", "w", stdout);// ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);int T;init();scanf("%d", &T);while (T--) {ll n, ans = 1;scanf("%lld", &n);for (int i = 1; i <= cnt && 1ll * prime[i] * prime[i] <= n; i++) {if (n % prime[i] == 0) {while (n % prime[i] == 0) {n /= prime[i];}ans = (prime[i] + 1) * ans % mod;}}if (n != 1) {ans = (n + 1) % mod * ans % mod;}printf("%lld\n", ans);}return 0; }

總結

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