K. Easy Sigma

$$\sum _{i=1}^n(?1{)}^{?i\times \sqrt{k}?},(n\le 10^9,k\le 10^4)$$
考慮$(?1{)}^x=1?2\times (x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)=1?2(x?2\times \frac{x}{2})=1?2x+4\times ?\frac{x}{2}?$。
$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^n(?1{)}^{?i\times \sqrt{k}?} \\ n?2\times \sum _{i=1}^n?i\times \sqrt{k}?+4\times \sum _{i=1}^n?\frac{i\times \sqrt{k}}{2}? \end{gathered}$$
我么假設$f(a,b,c,n)=\sum _{i=1}^n?\frac{\left(a\times \sqrt{r}+b\right)\times i}{c}?$，

如果$\frac{a\times \sqrt{r}+b}{c}\ge 1,d=?\frac{a\times \sqrt{r}+b}{c}?$：
$$\begin{gathered} d\times \frac{n\times (n+1)}{2}+\sum _{i=1}^n?\frac{\left(a\times \sqrt{r}+b?d\times c\right)\times i}{c}? \\ f(a,b,c,n)=d\times \frac{n\times (n+1)}{2}+f(a,b?d\times c,c,n) \end{gathered}$$

否則$\frac{a\times \sqrt{r}+b}{c}<1$：

由類歐的一般套路，我們設$m=?n\times \frac{a\sqrt{r}+b}{c}?,t=\frac{a\times \sqrt{r}+b}{c}$，這里的$d$沒有向下取整，是一個實數。
$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[j<t\times i] \\ \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[i>\frac{j}{t}] \\ \sum _{j=1}^{m}n??\frac{j}{t}? \\ \sum _{i=1}^{m}n??\frac{i\times c}{a\times \sqrt{r}+b}? \\ n\times m?\sum _{i=1}^m?\frac{i\times c}{a\times \sqrt{r}+b}? \end{gathered}$$
考慮將分母有理化，也就是乘上一個$a\times \sqrt{r}?b$。
$$n\times m?\sum _{i=1}^m?\frac{ca\sqrt{r}?cb}{a^{2}r?b^2}i?$$
綜上，可以通過類歐來解決，遞歸出口就是$n=0$。

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;double x;int r;long long f(long long a, long long b, long long c, long long n) {if (!n) {return 0;}long long t = (a * x + b) / c;if (t) {return n * (n + 1) / 2 * t + f(a, b - t * c, c, n);}long long A = c * a, B = -c * b, C = a * a * r - b * b;long long d = __gcd(A, __gcd(B, C)), m = n * (a * x + b) / c;A /= d, B /= d, C /= d;return n * m - f(A, B, C, m); }int main() {// freopen("in.txt", "r", stdin);// freopen("ou.txt", "w", stdout);int T, n;scanf("%d", &T);while (T--) {scanf("%d %d", &n, &r);x = sqrt(r);int s = sqrt(r);if (s * s == r) {if (s % 2 == 0) {printf("%d\n", n);}else if (n % 2 == 0) {puts("0");}else {puts("-1");}}else {printf("%lld\n", n - 2 * f(1, 0, 1, n) + 4 * f(1, 0, 2, n));}}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的K. Easy Sigma（类欧几里得）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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