小波变换基础
http://blog.csdn.net/GarfieldEr007/article/details/50151845
第十二章 小波變換
目錄
1?????????引言
2?????????連續小波變換
3?????????二進小波變換
3.1??????Haar變換
4?????????離散小波變換
4.1??????多分辨率分析
4.2??????快速小波變換算法
4.3??????離散小波變換的設計
4.4??????二維離散小波變換
4.5??????雙正交小波變換
5?????????Gabor變換
作業
1.? 引言
?? 小波變換是近年來在圖象處理中受到十分重視的新技術，面向圖象壓縮、特征檢測以及紋理分析的許多新方法，如多分辨率分析、時頻域分析、金字塔算法等，都最終歸于小波變換（wavelet transforms）的范疇中。
?? 線性系統理論中的傅立葉變換是以在兩個方向上都無限伸展的正弦曲線波作為正交基函數的。對于瞬態信號或高度局部化的信號（例如邊緣），由于這些成分并不類似于任何一個傅立葉基函數，它們的變換系數（頻譜）不是緊湊的，頻譜上呈現出一幅相當混亂的構成。這種情況下，傅立葉變換是通過復雜的安排，以抵消一些正弦波的方式構造出在大部分區間都為零的函數而實現的。
?? 為了克服上述缺陷，使用有限寬度基函數的變換方法逐步發展起來了。這些基函數不僅在頻率上而且在位置上是變化的，它們是有限寬度的波并被稱為小波（wavelet）。基于它們的變換就是小波變換。
2.? 連續小波變換（CWT）
?? 所有小波是通過對基本小波進行尺度伸縮和位移得到的?；拘〔ㄊ且痪哂刑厥庑再|的實值函數，它是震蕩衰減的，而且通常衰減得很快，在數學上滿足積分為零的條件：
| ? | |
| ? |
即基本小波在頻域也具有好的衰減性質。有些基本小波實際上在某個區間外是零，這是一類衰減最快的小波。
一組小波基函數是通過尺度因子和位移因子由基本小波來產生：
| ? | |
| ? |
連續小波變換定義為：
| ? | |
| ? |
連續小波變換也稱為積分小波變換。
連續小波逆變換為：
| ? | |
| ? |
二維連續小波定義為：
| ? | |
| ? |
二維連續小波變換是：
| ? | |
| ? |
二維連續小波逆變換為：
| ? | |
| ? |
2.1 濾波器族解釋
??? 這里將小波變換與一族帶通線性（卷積）濾波器相聯系，作為小波變換的一種解釋。
首先定義尺度a上的一般小波基函數為
| ? | |
| ? |
這是用a做尺度因子，并用a-1/2將模規范了的基本小波。若記其翻轉共軛為
| ? | |
| ? |
小波變換就可以表示成濾波器族
?
而且每個濾波器的輸出分量再次濾波并適當伸縮后組合在一起可重構f(x)。
?
2.2 二維濾波器族
??? 在二維情況下，每一濾波器都是一個二維沖激響應，輸入是圖象上的帶通濾波器，濾波后的圖象的疊層組成了小波變換。
3.? 二進小波變換
??? 通常在數值計算中，采用離散化的尺度及位移因子，特別地當取二進伸縮（以2的因子伸縮）和二進位移（每次移動k/2j）時，就形成二進小波。
正交小波定義為滿足下列條件的小波：
| ? | |
| ? |
| ? | |
| ? |
上式是小波級數展開公式。
當進一步把f(x)和基本小波限制為在[0，1]區間外為零的函數時，上述正交小波函數族就成為緊致二進小波函數族，它可以用單一的索引n來確定：
3.1 Haar變換
? Haar基本小波函數定義在區間[0，1]上，如圖所示：
?
| ? | |
| ? |
??????????????????????????????????????????????
| ? | |
| ? |
該基本小波定義的小波變換稱為Haar小波變換，是常用的小波變換中最簡單的一種。
4.? 離散小波變換（DWT）
??? 在數值計算中，需要對小波變換的尺度因子、位移因子進行離散化，一般采用如下的離散化方式：
| ? | |
| ? |
4.1 多分辨率分析
??? 基本小波通過伸縮構成一組基函數，在大尺度上，膨脹的基函數搜索大的特征，而在較小的尺度上，它們則尋找細節信息。
4.1.1. 金字塔算法
??? 對于數字圖象（以512x512為例），通過連續平均2x2的象素塊并丟掉隔行隔列的象素，將得到縮小四倍的圖象（256x256）（行列各縮小2倍）。這樣迭代進行，直到得到1x1的圖象為止。如果利用同樣尺寸的邊緣檢測算子（如3x3的Sobel），在原始圖象上則會得到小邊緣，在256x256及更小的圖象上會得到稍大及更大的邊緣。
4.1.2. 拉普拉斯金字塔編碼
??? 對原始圖象f0(i,j)（NxN, N=2n）做高斯濾波，將圖象分解為半分辨率的低頻分量和整分辨率的高頻分量。
| ? | |
| ? |
這一過程在間隔抽樣后的圖象上迭代進行，經過n次迭代得到一組hk(i,j)和最終的低頻圖象fn(i,j)(一個點)組成一個編碼圖象金字塔。
??? 圖象的解碼過程以相反的次序進行。從最后一幅fn(i,j)開始，對每一幅抽樣圖象fk(i,j)都進行一個增頻采樣并與g(i,j)卷積進行內插。增頻采樣是在采樣點之間插入零的過程，所得結果被添加到下一幅（前一幅）圖象fk-1(i,j)上，再對所得圖象重復執行這一過程。這個過程能無誤差地重建出原始圖象。
??? 由于hk(i,j)圖象在很大程度上降低了相關性和動態范圍，因此可以使用較粗的量化等級，因而可以實現一個很大程度的圖象壓縮。
4.1.3. 子帶編碼和解碼
??? 對于有限帶寬信號，若將其分解為窄帶分量，特別地當采用雙通道子帶時，對應帶寬劃分為兩個分量（子帶），例如低半帶和高半帶，構造子帶編碼，是一種時頻域技術。
??? 雙通道子帶編碼和解碼具有如下形式：
| ? | |
| ? |
4.2 快速小波變換算法（FWT,?Mallat算法）
??? 利用雙帶子帶編碼迭代地自底向上建立小波變換。
??? 首先按照低半帶和高半帶進行子帶編碼后，對低半帶再一次進行子帶編碼，得到一個N/2點的高半帶信號和對應于區間[0,]的第一和第二個1/4區域的兩個N/4點的子帶信號。
??? 然后，連續進行上述過程，每一步都保留高半帶信號并進一步編碼低半帶信號直到得到了一個僅有一個點的低半帶信號為止。這樣，小波變換系數就是這個低半帶點再加上全部用子帶編碼的高半帶信號。如下圖所示。最前面的N/2個系數來自于F(s)的高半帶，接下來的N/4個點來自于第二個四分之一帶，依次類推。
? 上述算法被稱為快速小波變換（FastWavelet Transform），也因其形狀而被稱為Mallat的“魚骨型算法”。其逆變換如下圖所示。
4.3 離散小波變換的設計
??? 根據4.1節的子帶編碼重構公式，在頻率域上有：
???
可見，設計一個離散小波變換的任務就是精心挑選低通濾波器。我們稱符合這一條件的離散低通濾波器脈沖響應h0(k)為尺度向量，由它產生一個有關的函數稱為尺度函數。尺度向量和尺度函數彼此互相確定。
例如，由尺度向量h0(k)到尺度函數的定義如下：
即它可以通過自身半尺度復制后的加權和來構造。另外它也能用帶尺度的矩形脈沖函數卷積h0(k)利用數值計算方法得到：
| ? | |
| ? |
??? 相反，由尺度函數開始，在它滿足單位平移下正交歸一條件時，尺度向量的計算方法如下：
| ? | |
| ? |
?
4.4 二維離散小波變換
??? 為了將一維離散小波變換推廣到二維，只考慮尺度函數是可分離的情況，即
| ? | |
| ? |
4.4.1 正變換
??? 從一幅NxN的圖象f1(x,y)開始，其中上標指示尺度并且N是2的冪。對于j=0, 尺度2j=20=1，也就是原圖象的尺度。j值的每一次增大都使尺度加倍，而使分辨率減半。
??? 在變換的每一層次，圖象都被分解為四個四分之一大小的圖象，它們都是由原圖與一個小波基圖象的內積后，再經過在行和列方向進行2倍的間隔抽樣而生成的。對于第一個層次(j=1)，可寫成
| ? | |
| ? |
后續的層次(j>1)，依次類推，形成如圖所示的形式。
??? 若將內積改寫成卷積形式則有：
| ? | |
| ? |
??? 因為尺度函數和小波函數都是可分離的，所以每個卷積都可分解成行和列的一維卷積。例如，在第一層，首先用h0(-x)和h1(-x)分別與圖象f1(x,y)的每行作卷積并丟棄奇數列（以最左列為第0列）。接著這個NxN/2陣列的每列再和h0(-x)和h1(-x)相卷積，丟棄奇數行（以最上行為第0行）。結果就是該層變換所要求的四個(N/2)x(N/2)的數組。
如下圖所示：
4.4.2 逆變換
??? 逆變換與上述過程相似，在每一層，通過在每一列的左邊插入一列零來增頻采樣前一層的四個陣列；接著用h0(x)和h1(x)來卷積各行，再成對地把這幾個N/2xN的陣列加起來；然后通過在每行上面插入一行零來將剛才所得的兩個陣列的增頻采樣為NxN；再用h0(x)和h1(x)與這兩個陣列的每列卷積。這兩個陣列的和就是這一層重建的結果。
4.5 雙正交小波變換
??? 使用兩個不同的小波基，一個用來分解（分析），另一個用來重建（合成），構成彼此對偶的雙正交的小波基：
| ? | |
| ? |
一維雙正交小波變換通過四個離散濾波器實現，需要選擇兩個低通濾波器即尺度向量，使它們的傳遞函數滿足
| ? | |
| ? |
雙正交小波變換的一個分解步驟和一個重建步驟如下圖所示。
雙正交小波為：
| ? | |
| ? |
二維雙正交小波變換由對應的小波基確定：
| ? | |
| ? |
（演示：Matlab -->Examples and demos -->toolboxes-->Wavelets-->Wavelet2-D and GUI Wavlet2-D）
(圖片來自Matlabdemo)
5.Gabor變換
（本節摘自GaborFilters.htm）
??? Gabor濾波在圖象處理中的特征提取、紋理分析和立體視差估計等方面有許多應用。它對應的沖激響應是將復指數振蕩函數乘以高斯包絡函數所得的結果。有研究說明神經細胞的感受野可以用Gabor 函數來表示。
??? 設圖象坐標為?x=[x1?x2]T，則Gabor濾波的沖激響應為.
其中矩陣?A?確定該濾波器的帶寬和方向選擇性。
當調制頻率向量?k0與包絡的軸同方向時，則沖激響應的實部和虛部有如下的形狀：
Gabor濾波的傳遞函數?G(k) 為：
其中?k?= [k1k2]T?是空間頻率。為了建立多分辨率分析框架，圖象可以用一組N個不同帶寬和調制頻率的Gabor 濾波來處理。假設調制頻率為
且相應的所有濾波器取相同的帶寬，圖象被分解為8部分
Magnitude of a Gabor filter set for?N=4 in direction of themodulation frequency
在上圖中，濾波器的傳遞函數被選擇在0.5處重疊。在這樣的條件下，圖象的直流分量（DCcomponent）和頻域分量（frequency components）在兩倍于調制頻率外至少衰減-54dB。因此濾波輸出信號可以按如下的比例重采樣（sub-sampled），其走樣影響（aliasing effects）可以忽略不計。
進一步，圖象可以用調制成不同角度的Gabor濾波器分解為M通道的不同方向的分量。
Half-value plot ofthe Gabor filters in the frequency plane tuned todifferent frequencies and orientations (30 degree resolution)
??? 下圖給出原始圖片Lenna 和Gabor 濾波在不同采樣因子下的結果。圖片的左側是原圖（sub）和所有方向濾波的重疊結果，右側是每個方向重采樣的結果。
s = 4
s = 2
s = 1
Subimages of the Lenna-picture and magnitudes of thecorresponding filter results
其它參考資料：
1.???網上小波資料：鏈接目錄
Introductionto wavelets,
Wavelets,
DiscreteWavelet Transform
Gabor filtering
MathLab小波工具Wavlab
2.???[美]崔錦泰 （程正興 譯），小波分析導論，西安交通大學出版社，1995。
?
最新推薦的書籍：StéphaneMallat, Wavelet Tour of Signal Processing, 2nd Edition, Academic Press,1998
ASHORT PRESENTATION BY F. CHAPLAIS
Stéphane Mallat著 (楊力華?等譯),?信號處理的小波導引（原書第２版）,2003, 機械工業出版社
本書以十分直觀的近于談話式的方法講述了小波理論的問題和方法以及相關的數學證明及理論，使讀者可以透過復雜的數學公式樣來了解小波的精髓，又不會將小波帶入純數學的迷宮。本書是按研究生教材的要求編寫的。對于應用數學系的的學生，本書可以讓他們了解數學公式的工程意義，而對于電子工程系的學生，本書又會讓他們了解工程問題的數學描述。
作業
1.???閱讀并使用Matlab小波變換工具，觀察小波變換的效果。
2.???用MS-VC編寫圖象的小波變換程序。
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清華大學計算機系 艾海舟
最近修改時間：2003年7月31日
出處：http://media.cs.tsinghua.edu.cn/~ahz/digitalimageprocess/CourseImageProcess.html
總結
