位運(yùn)算

• 記得大學(xué)編譯原理剛開始面對(duì)的就是機(jī)器語言，而位運(yùn)算就是講數(shù)字用二進(jìn)制標(biāo)識(shí)后，對(duì)每一位上的0， 或者1 進(jìn)行運(yùn)算。二進(jìn)制以及位運(yùn)算都是計(jì)算機(jī)學(xué)科的基礎(chǔ)，很多底層技術(shù)都離不開位運(yùn)算，因此我們?cè)趯?shí)際開發(fā)過程中可能會(huì)遇到。由于我們?nèi)祟愂煜さ氖鞘M(jìn)制，因此接觸到二進(jìn)制的時(shí)候可能難以適應(yīng)。
• 除了二進(jìn)制，我們還可以將數(shù)字表示成其他的進(jìn)制，比如，表示分秒的六十進(jìn)制等。針對(duì)不太熟悉的進(jìn)制，可能會(huì)有一些奇奇怪怪的問題，比如下面這種：

/**在Excel中，用A表示第一列，B表示第二列......Z表示第26 列，AA表示27 列，AB表示28列......以此類推那么我們用一個(gè)函數(shù)，輸入字母，輸出列的編碼是多少號(hào)*/ /*** @author liaojiamin* @Date:Created in 16:30 2021/3/17*/ public class NumberOfBit {//字母轉(zhuǎn)數(shù)字 A-Z ：1-26public static int letterToNumber(char letter) {int num = (int)(letter - 'A' + 1) ;return num;}public static Long base26(String baseStr){if(baseStr == null){return -1L;}char[] charArray = baseStr.toCharArray();Long baseNumber = 26L;Long resultNum = 0L;double position = 0;for (int i = charArray.length -1; i >=0; i--) {Double temp = Math.pow(baseNumber, position) * letterToNumber(charArray[i]);resultNum += temp.longValue();position++;}return resultNum;}public static void main(String[] args) {System.out.println(base26("AA"));System.out.println(base26("AB"));System.out.println(base26("AZ"));System.out.println(base26("ZZ"));System.out.println(base26("AAA"));} }

• 如上其實(shí)就是講A~Z理解成一個(gè)26進(jìn)制，只要理解了二進(jìn)制的計(jì)算規(guī)則，26進(jìn)制也是同樣的算法。
• 二進(jìn)制中位運(yùn)算也就只有五種與， 或，異或，左移，右移。前三種用如下規(guī)則

與（&）：0&0 = 0， 1&0 = 0， 0&1 = 0， 1&1=1 或（|）：0|0 = 0， 1|0 = 1. 0|1=1， 1|1 = 1 異或（^）：0^0 = 0， 1^0=1， 0^1=1， 1^1 = 0

-左移運(yùn)算符m << n表示吧m左移n位，左移n位的時(shí)候，最左邊的n位將被丟棄，同時(shí)最右邊補(bǔ)充n個(gè)0，例如：

0000 1010 << 2 = 0010 1000 1000 1010 << 3 = 0101 0000

• 右移運(yùn)算符m >> 表示把m右移n位， 右移n為的時(shí)候，最右邊的n為將被丟棄，當(dāng)右移時(shí)候，處理最左邊為的情形要稍微復(fù)雜一點(diǎn)
  • 如果是無符號(hào)數(shù)值，則用0 填補(bǔ)最左邊的n為。
  • 如果是有符號(hào)數(shù)值，則用數(shù)字的符號(hào)位補(bǔ)充最左邊的n位，也就是說如果數(shù)字是一個(gè)正數(shù)，右移后補(bǔ)充n個(gè)0 在左邊，如果原數(shù)字是負(fù)數(shù)，則右移后最左邊補(bǔ)充n個(gè)1.
  • 如下對(duì)兩個(gè)8 為有符號(hào)數(shù)值做右移操作

0000 1010 >>2 == 0000 0010 1000 1010 >>3 = 1111 0001

具體案例分析

• 題目：實(shí)現(xiàn)一個(gè)函數(shù)，輸入一個(gè)整數(shù)，輸出該整數(shù)二進(jìn)制標(biāo)識(shí)中1 的個(gè)數(shù)。例如把 9 標(biāo)識(shí)成二進(jìn)制后四位1001，有2位是1，因此如果輸入9 ，函數(shù)輸出2

分析

• 上題中考察二進(jìn)制的知識(shí)，基本思路也就是利用那五種運(yùn)算規(guī)則的組合來解答，可以先判斷二進(jìn)制數(shù)的最低位是不是1 ，將數(shù)值右移一位，接著判斷最低位是否是1 ，繼續(xù)如此直到數(shù)值為0 為止，
• 現(xiàn)在需要確定怎么確定首位是1,：將整數(shù)與1 做 與操作，看結(jié)果是否是0 ，如果是0 則表示最低位是0 ，否則是1
• 用9 為案例如下：

1001 & 1 = 1 1001 >> 1 = 0100 0100 & 1 = 0 0100 >> 1 = 0010 0010 & 1 = 0 0010 >> 1 = 0001 0001 & 1 = 1 0001 >> 1 = 0000

• 以上我們可以得到如下代碼：

/*** 正整數(shù)n 二進(jìn)制表示中 1 的個(gè)數(shù)* */public static int numberOf1(int n){int count = 0;while (n > 0){int andOne = n & 1;if(andOne == 1){count ++;}n = n>>1;}return count;}

• 問題，以上代碼都只考慮正數(shù)情況，正數(shù)右移是補(bǔ)充0 在最高位，所以能得出正常的解。我們用一個(gè)負(fù)數(shù)來舉例，例如 -9 。
• 首先必須要明確的是：***負(fù)數(shù)在計(jì)算機(jī)中都是以補(bǔ)碼來表示的。 負(fù)數(shù)的位運(yùn)算也是在補(bǔ)碼上進(jìn)行的。***這一點(diǎn)很重要
  • 我們用int類型為案例分析，int 32位有符號(hào)整型（-9） 的二進(jìn)制標(biāo)識(shí)：
  • 原碼：1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001
  • 反碼：1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0110
  • 補(bǔ)碼：1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0111
• 用以上算法對(duì)-9 進(jìn)行右移的時(shí)候，在最左邊補(bǔ)充的是1 ，因此不可能為0 ，因此會(huì)有死循環(huán)。

正確解法

• 上面的算法中我們思路是通過對(duì)求解的數(shù)進(jìn)行右移來判斷首位是否是1 ，既然不能通用，那么我們是否可能逐一判斷數(shù)值的每一位二進(jìn)制位上是否是1 。我們用flag表示 甄別是否是1 的數(shù)值 ，首先取flag = 1
• 首先將數(shù)值與flag進(jìn)行與操作，判斷最低位是否是1 ，
• 將flag 左移一位，繼續(xù)與數(shù)值與操作，判斷第二位是否為1
• 繼續(xù)如上操作，直到 flag的值為 0 ，（此時(shí)移動(dòng)了32 位，超出int界限，所有位置都為0 ）
• 我們可以得到如下算法實(shí)現(xiàn)：

/*** 通用二進(jìn)制表示中 1 個(gè)數(shù)* */public static int numberOf1_1(int n){int count = 0;int flag = 1;while (flag > 0){if((n & flag) > 0){count ++;}flag = flag << 1;}return count;}

• 以上算法能統(tǒng)一解決帶符號(hào)，和不帶符號(hào)的數(shù)值的問題，并且對(duì)所有數(shù)值的計(jì)算都需要循環(huán)32 次，但是其實(shí)其中只有幾次是有效的判斷，比如1001 只有2 次，我們是否有更精簡的方法。有幾個(gè)1 就幾次判斷？

最優(yōu)解

• 分析將一個(gè)數(shù)減1 ， 如果是不為0 的數(shù)，那么二進(jìn)制表示中必然有1 ，假設(shè)這個(gè)數(shù)最右邊一位是1，那么減1 的時(shí)候，最右邊（低位）就會(huì)1 變0，而其他所有位不變。相當(dāng)于最后一位取反。例子：

0000 1000 0010 0000 0110 0000 0000 0001 - 1 = 0000 1000 0010 0000 0110 0000 0000 0000

• 此時(shí)我們只能判斷出第一位是不是1，此時(shí)我們還繼續(xù)減1 ，那么假設(shè)第m位是1 ，這個(gè)時(shí)候，第m位 變?yōu)? ，第m位以后的位都從0 變1 ，如下

0000 1000 0010 0000 0110 0000 0000 0000 - 1 = 0000 1000 0010 0000 0101 1111 1111 1111

• 這個(gè)時(shí)候1 變多了，如果繼續(xù)減，顯然不能達(dá)到我們目的，我們需要將后面多出來的1 都變成0 ，如下

0000 1000 0010 0000 0101 1111 1111 1111 --> 0000 1000 0010 0000 0100 0000 0000 0000

• 要達(dá)到如上目的，我們想到可以用與，或操作，兩個(gè)都試試，如下：

//或操作 0000 1000 0010 0000 0101 1111 1111 1111 | 0000 1000 0010 0000 0100 0000 0000 0000 = 0000 1000 0010 0000 0100 0000 0000 0000 //與操作 0000 1000 0010 0000 0101 1111 1111 1111 & 0000 1000 0010 0000 0110 0000 0000 0000 = 0000 1000 0010 0000 0100 0000 0000 0000

• 如上與，或，操作都能得到對(duì)應(yīng)的值，但是與原值操作的對(duì)象，我們?cè)趺吹玫侥?#xff0c;我們可以觀察到，與操作中的操作對(duì)象的二進(jìn)制值正好是原數(shù)據(jù)進(jìn)行 -1 操作之前的二進(jìn)制，那么問題就變的很簡單了。
• 我們將以上分析總結(jié)：
  • 將整數(shù)減去1，在和原整數(shù)做與操作，
  • 此時(shí)能將該整數(shù)最右邊一個(gè)1 變成0 ，
  • 那么二進(jìn)制表示中有多少個(gè)1 ，就可以進(jìn)行多少次這種操作
  • 因此有如下算法

public static int numberOf1_2(int n){int count = 0;while (n != 0){n = n&(n-1);if(n != 0){count ++;}}return count;}

相關(guān)問題

• 用一條語句判斷一個(gè)整數(shù)是不是2 的整數(shù)次方
  • 一個(gè)整數(shù)是2 的整數(shù)次方，那么二進(jìn)制表示中必然只有一個(gè)2，而其他所有位都是0
  • 同樣依據(jù)解法三，將原數(shù)減1 后得到結(jié)果 ，將結(jié)果與原數(shù)進(jìn)行與操作必然會(huì)變成0
• 輸入兩個(gè)整數(shù)m，n。計(jì)算要改變m的二進(jìn)制表中的多少位才能得到0,。例如10 的二進(jìn)制 1010，與13的二進(jìn)制1101
  • 此問題同樣考察位操作，如上案例10， 和13，有三位二進(jìn)制是不同的，我們?nèi)绾瓮ㄟ^二進(jìn)制位操作甄別
  • 查看五種位操作，與，或，異或，左右移位，其中異或操作中兩個(gè)二進(jìn)制相同位數(shù)的值為0 ，不同的值為1
  • 利用這個(gè)特性， m ^ n 得到一個(gè)值x，我們只需要求解x 中1 的個(gè)數(shù)，就得到m與n中不同位數(shù)個(gè)數(shù)。

上一篇：數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法–再談遞歸與循環(huán)（斐波那契數(shù)列）
下一篇：數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法–代碼完整性案例分析

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构与算法--位运算的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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