我們來玩丟手絹

• 昨天我們打撲克，今天我們丟手絹
• 丟手絹我們都知道這個(gè)游戲，他的由來由約瑟夫 （Josephus）提出來的

據(jù)說著名猶太歷史學(xué)家Josephus有過以下的故事：在羅馬人占領(lǐng)喬塔帕特后，39 個(gè)猶太人與Josephus及他的朋友躲到一個(gè)洞中， 39個(gè)猶太人決定寧愿死也不要被敵人抓到，于是決定了一個(gè)自殺方式，41個(gè)人排成一個(gè)圓圈，由第1個(gè)人開始報(bào)數(shù)，每報(bào)數(shù)到第3人 該人就必須自殺，然后再由下一個(gè)重新報(bào)數(shù)，直到所有人都自殺身亡為止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵從。首先從一個(gè)人開始， 越過k-2個(gè)人（因?yàn)榈谝粋€(gè)人已經(jīng)被越過），并殺掉第k個(gè)人。接著，再越過k-1個(gè)人，并殺掉第k個(gè)人。這個(gè)過程沿著圓圈一直進(jìn)行， 直到最終只剩下一個(gè)人留下，這個(gè)人就可以繼續(xù)活著。問題是，給定了和，一開始要站在什么地方才能避免被處決。 Josephus要他的朋友先假裝遵從，他將朋友與自己安排在第16個(gè)與第31個(gè)位置，于是逃過了這場死亡游戲。

• 問題來了，我們就不殺呀殺了，還是丟手絹吧，讓n個(gè)人圍成一個(gè)環(huán)，編號(hào)從1 ~n，從1 開始數(shù)當(dāng)數(shù)到第m個(gè)人時(shí)候，他從圈中離開，接著從m+1 個(gè)人數(shù)，繼續(xù)m個(gè)，在出局，依次復(fù)制這個(gè)過程，求最后一個(gè)出局的人是幾號(hào)？

方案一，環(huán)形鏈表

• 題目明顯提到了數(shù)字的圓圈，自然我們可以構(gòu)造一個(gè)這樣類似的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)去模擬這種過程。在常用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中，n個(gè)階段的環(huán)形鏈表很好的重現(xiàn)了這種模式
  
• 我們先構(gòu)建n個(gè)節(jié)點(diǎn)的鏈表，每次刪除第m個(gè)元素，當(dāng)環(huán)形鏈表中元素只剩下一個(gè)時(shí)候得到解
• 算法分析：
  • 鏈表頭開始，指定位置position，鏈表尾指定位置before
  • 循環(huán)m次，分別將position與before都前移m-1次，得到指定位置
  • 刪除psition位置節(jié)點(diǎn)，讓position指向position.next，統(tǒng)計(jì)個(gè)數(shù)count = n-1
  • 繼續(xù)以上步驟
• 以上步驟中循環(huán)次數(shù) （n-1）*m次因此時(shí)間復(fù)雜度應(yīng)該是O(nm)，當(dāng)m特別大40000 ，時(shí)間復(fù)雜度會(huì)異常的大，非常慢
• 優(yōu)化：可以通過取余操作，直接計(jì)算出m次循環(huán)在 鏈表中實(shí)際的步驟，將 m % count -1得到實(shí)際步驟，當(dāng)m是大數(shù)時(shí)候，優(yōu)化效果明顯
• 如上分析有如下代碼：

/*** 約瑟夫環(huán)問題： 將0,1,2,3,4.....n 這n個(gè)數(shù)字排列成一個(gè)圈圈，從數(shù)字0 開始數(shù)m個(gè)數(shù)，刪掉他，* 接著從m+1 個(gè)開始數(shù)在來m個(gè)繼續(xù)刪除，一次類推，求出剩下的最后一個(gè)數(shù)據(jù)* @author liaojiamin* @Date:Created in 14:30 2021/7/7*/ public class JosephusForList {public static void main(String[] args) {System.out.println(delNodeForJosephus(40000,997));}/*** 環(huán)形鏈表方法* */public static Integer delNodeForJosephus(Integer n, Integer m){if(n <= 0|| m<=0){return null;}//構(gòu)造環(huán)形隊(duì)列ListNode head = new ListNode(0);ListNode last = null;ListNode position = head;for (Integer i = 1; i < n; i++) {last = new ListNode(i);position.setNext(last);position = position.getNext();}last.setNext(head);ListNode before = position;position = position.getNext();//當(dāng)需要移動(dòng)的位置小于當(dāng)前數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，直接移動(dòng)指針Integer count = n;while (m <= count){for (Integer i = 0; i < m-1; i++) {before = position;position = position.getNext();}before.setNext(position.getNext());position = position.getNext();count--;}//當(dāng)m 大于當(dāng)前需要移動(dòng)位置個(gè)數(shù)，取余計(jì)算最小移動(dòng)值while (m > count && count > 1){int move = Math.abs(m%count - 1);for (Integer i = 0; i< move;i++){before = position;position = position.getNext();}before.setNext(position.getNext());position = position.getNext();count--;}position.setNext(null);return position.getValue();}}

• 以上算法時(shí)間復(fù)雜度O(nm)， 空間復(fù)雜度O(n)

約瑟夫環(huán)問題

• 約瑟夫環(huán)問題最終還是一個(gè)數(shù)學(xué)問題（數(shù)學(xué)能救命），我們大概來推導(dǎo)一下

• 首先定義一個(gè)關(guān)于n 和 m的方法記為f(n, m)，表示每次在n個(gè)數(shù)字0~n-1中每次刪除第m個(gè)數(shù)字，最后剩下的數(shù)字

• 第一個(gè)刪除的數(shù)字用n，m表示：（m-1）% n , 當(dāng)且僅當(dāng) m>0 n>1的時(shí)候，我們記為k =（m-1）% n 如下圖
  

• 接著下一次遍歷是從k+1 開始的現(xiàn)有數(shù)字總共 n-2個(gè)，k+1排第一，也就有如下圖所示的順序

• 我們記錄第一個(gè)刪除后的值是 d(n-1, m)，與之前的 f(n, m)是同一個(gè)規(guī)則刪除，那么他們最終的結(jié)果肯定是一樣的，那么就有 d(n-1, m) = f(n, m)

• 也就是我們將k+1當(dāng)成是當(dāng)前的第0 位置，k-1是當(dāng)前最后的位置，也就是 n-2，那么我們依次推導(dǎo)出各個(gè)的位置，k+2是第一個(gè)位置

  • n-2之后有n-1，在加上k個(gè)數(shù) (n-2)-(k+2)+1=n-k-3
  • n-2 之后有k1個(gè)數(shù)，(n-2)-(k+1)+1 = n-k+2
  • 同理 0 則是 n-k+1
  • 1 是 n-k
  • k-1則是n-2
  • 用下圖對(duì)應(yīng)關(guān)系展示
    

• 如上圖，上部分是數(shù)據(jù)值，下部分是對(duì)應(yīng)的位置，我們可以定義兩個(gè)集合：

  • A集合是上部分?jǐn)?shù)據(jù)值
  • B集合是下部分位置值
  • A,B為非空集, 若存在對(duì)應(yīng)法則f(), 使得對(duì)每個(gè) x∈y 都有唯一確 y∈B與之對(duì)應(yīng), 則稱對(duì)應(yīng)法則f()為A到B的映射

• 如果我們找到了數(shù)據(jù)值與 位置值的映射關(guān)系函數(shù)，是不是可以直接通過計(jì)算得到下一步中需要?jiǎng)h除的數(shù)據(jù)

• 此處，我們定義映射為p，推導(dǎo)出p(x) = (x-k-1)%n,映射的逆映射就是p(x) = (x+k+1)%n

• 根據(jù)以上映射規(guī)則，映射之前的寫中最后剩下的數(shù)字 d(n-1, m) = p[f(n-1)+m] = [f(n-1,m) +k +1]%n，將k=（m-1）%n 得到f(n,m) = d(n-1,m)= [f(n-1,m) +k +1]%n

• 那么我們得到一個(gè)遞推公式

  • n =1 f(n, m) = 0
  • n>1 f(n, m) = [f(n-1, m)+m ]%n

• 有了如上公式我們很自然直接遞歸就能得到第n次的結(jié)果

• 如上分析有如下代碼：

/*** 約瑟夫環(huán)問題： 將0,1,2,3,4.....n 這n個(gè)數(shù)字排列成一個(gè)圈圈，從數(shù)字0 開始數(shù)m個(gè)數(shù)，刪掉他，* 接著從m+1 個(gè)開始數(shù)在來m個(gè)繼續(xù)刪除，一次類推，求出剩下的最后一個(gè)數(shù)據(jù)* @author liaojiamin* @Date:Created in 14:30 2021/7/7*/ public class JosephusForList {public static void main(String[] args) {System.out.println(fixJosephusForMath(40000, 997));}/*** 數(shù)學(xué)方案：通過計(jì)算得出發(fā)f(n,m)* n=0 f(n,m) = 1* n>1 f(n,m) = [f(n-1,m)+m]%n** */public static Integer fixJosephusForMath(Integer n, Integer m){if(n <= 0|| m<=0){return null;}if(n == 1){return 0;}if(n > 1){return (fixJosephusForMath(n-1, m)+m)%n;}return null;} }

• 以上遞歸實(shí)現(xiàn)當(dāng)n， m值非常大時(shí)候幾乎不可用，情況通之前文章斐波那契數(shù)量原因一樣

優(yōu)化方案三

• 動(dòng)態(tài)規(guī)劃解法：在以上推導(dǎo)基礎(chǔ)上用一個(gè)循環(huán)解決

package com.ljm.resource.math.myList;/*** 約瑟夫環(huán)問題： 將0,1,2,3,4.....n 這n個(gè)數(shù)字排列成一個(gè)圈圈，從數(shù)字0 開始數(shù)m個(gè)數(shù)，刪掉他，* 接著從m+1 個(gè)開始數(shù)在來m個(gè)繼續(xù)刪除，一次類推，求出剩下的最后一個(gè)數(shù)據(jù)* @author liaojiamin* @Date:Created in 14:30 2021/7/7*/ public class JosephusForList {public static void main(String[] args) {System.out.println(fixJosephusForMath2(40000,997));}/*** 動(dòng)態(tài)規(guī)劃實(shí)現(xiàn)* 數(shù)學(xué)方案：通過計(jì)算得出發(fā)f(n,m)* n=0 f(n,m) = 1* n>1 f(n,m) = [f(n-1,m)+m]%n** */public static Integer fixJosephusForMath2(Integer n, Integer m){if(n <= 0|| m<=0){return null;}int last = 0;for(int i=2;i<=n;i++){last = (last+m)%i;}return last;}}

• 可以看出，以上實(shí)現(xiàn)思路分析非常復(fù)雜，但是代碼簡單時(shí)間復(fù)雜度O(n)，空間復(fù)雜度O(1)，遠(yuǎn)優(yōu)于第一，第二解法

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构与算法--我们来玩丢手绢（约瑟夫环问题）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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