給定一個整數n，生成并返回所有N個節點組成并且節點值從1到n互不相同的不同二叉樹，可以按照任意順序

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全排列問題

• 排列組合的問題在之前的文中我們已經求解過：
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• 在求數組全排列的過程中，我們將數組的每一位看成是獨立的，接著每一位上分別排列1~9 的每一位樹，一次對數組的n為進行遞歸，得到我們的全排列。

• 現題中需要讓1~n 組成n 個階段的不同二叉樹，也就是我們需要求解二叉樹的全排列

方法一：轉為數組全排列實現

• 在構造二叉樹時候，我們將比root 節點小的放左邊，大的放右邊，那么如果有 從1~n的數組依次對每一個節點構造二叉樹的方式進行insert。那么我們能夠得到一顆二叉樹 T1

• 如果我們修改數組的順序，修改成 k…k-1， 1， k+1，…n-1， n，接著生成二叉樹T2

• 那么T1和 T2 大概率是不同的，特殊情況如下：

• 情況一：3,1，2,4，5

• 情況二：3,4，5,1，2

• 如上兩種情況，在中間節點是root節點時，大節點列表4,5 與小節點列表 1,2 分別在兩側，不管數組如何排列，生成的二叉樹是相同的。

• 經過如上分析，那么我們有如下的實現方案：

  • 生成一個1~n的數組，并且求數組的全排列
  • 每生成一個不同的數組排列，將該數組構建成一個二叉排序樹，并且記錄改二叉排序樹的前序遍歷生成的字符。并存儲在數組 StrLIst中
  • 如果 StrList中存在 元素 k 與當前生成的二叉樹的前序遍歷字符一致，那么說明這種情況以及生成過
  • 如果StrList中不存在，那么我們將新構建的NewBinary添加到我們的二叉排序樹數組 BinaryList中。

• 如上分析有如下代碼：

/*** 給定一個整數n，生成并返回所有N個節點組成并且節點值從1到n互不相同的不同二叉樹，可以按照任意順序* 解析：求解1~n能組成多少個不同的二叉搜索樹* @author liaojiamin* @Date:Created in 10:15 2021/7/22*/ public class BuildGenerateTrees {public static void main(String[] args) {List<BinaryNode> binaryNodes = new ArrayList<>();List<String> middleSearch = new ArrayList<>();binaryNodes = generateTrees(4);for (int i = 0; i < binaryNodes.size(); i++) {StringBuilder strBu = new StringBuilder();middleSearch.add(printTree(binaryNodes.get(i),strBu));}middleSearch.forEach(System.out::println);}/*** 方法一* 構造二叉樹全排列：構造數組全排列，數組構造成二叉樹，通過前序遍歷值篩選二叉樹* */public static List<BinaryNode> generateTrees(int n){List<BinaryNode> binaryNodes = new ArrayList<>();List<String> middleSearchStr = new ArrayList<>();int[] array = new int[n];for (int i = 1; i <= n; i++) {array[i-1] = i;}return buildGenerateTree(array, binaryNodes, 0, middleSearchStr);}/*** 生成數組的全排列，每種排列按順序生成二叉樹* */public static List<BinaryNode> buildGenerateTree(int[] array, List<BinaryNode> binaryNodes, int start, List<String> middleSearchStr){if(array == null || array.length <=1 || start == (array.length -1)){BinaryNode newNode = buildBinarySearchTree(array);StringBuilder str = new StringBuilder();String middleStr = printTree(newNode, str );if(!middleSearchStr.contains(middleStr)){middleSearchStr.add(middleStr);binaryNodes.add(newNode);}}for (int i = start; i < array.length; i++) {int temp = array[i];array[i] = array[start];array[start] = temp;buildGenerateTree(array, binaryNodes, start+1, middleSearchStr);temp = array[i];array[i] = array[start];array[start] = temp;}return binaryNodes;}/*** 前序遍歷字符集合* */public static String printTree(BinaryNode t, StringBuilder strbu) {if (t == null || t.getElement() == null) {return strbu.toString();}for (int i = 0; i < t.getCount(); i++) {strbu.append(t.getElement() + ":" + t.getHeight()+" ");}printTree(t.getLeft(), strbu);printTree(t.getRight(), strbu);return strbu.toString();}/*** 根據數組構造二叉樹* */public static BinaryNode buildBinarySearchTree(int[] array){if(array == null || array.length <= 0){return null;}BinaryNode node = new BinaryNode(null, null, null);for (int i = 0; i < array.length; i++) {node = insertNode(node, array[i]);}return node;}/*** 插入節點構造二叉搜索樹* */public static BinaryNode insertNode(BinaryNode node, Integer k){if(k == null){return node;}if(node == null || node.getElement() == null){node = new BinaryNode(k, null, null);}int validateK = node.compareTo(k);if(validateK > 0){node.setLeft(insertNode(node.getLeft(), k));}else if (validateK < 0){node.setRight(insertNode(node.getRight(), k));}return node;} }

• 如上實現方案時間復雜度在O(n²), 空間復雜度存在兩部分，一部分二叉搜索樹數組，這部分取決于節點數量，數量不同排列的個數不同，另一部分在于存儲二叉排序樹的前序遍歷字符串，因此空間復雜度也不會小。

方法二：分治法

• 方案一的時間復雜度，空間復雜度都不是太理想，第一想法實現方案往往題目沒有這么簡單，在方法一中我們實現我們是受到之前文章中思路的影響，將之前的排列組合的思路套用在 二叉搜索樹的排列上，但是因為兩種數據結構本身復雜度就相差很大，導致二叉搜索樹的排列問題異常復雜。
• 我們換一種思路，這個也是看到別的思路，看到后就茅塞頓開，因為一旦思路被固定住，要想跳出來還是比較困難的，就和寫小說的作者肯定不會去看別人寫的小說是一個道理。
• 我們直接將數組全排列思想用到二叉樹搜索樹中：
  • 在1~n中每個數字都有可能是根節點，確定根節點后 k，k 之前的數據 1 ~ k就是左子樹，在k ~ n中每一個就是右子樹
  • 那么我們遍歷1 ~ n中每一位，讓每個數都構造成不同根的 一棵二叉搜索樹
  • 接著處理左子樹 1 ~ k，同樣，1~k中的左子樹也是一棵二叉搜索樹，依然套用以上邏輯，右子樹同理。分別記錄為leftList， rightLIst
  • 那么構造完左右子樹后，我們只需要在左子樹 leftList，rightList進行組合（雙循環構造每種排列方式），就得到了整個二叉樹的排列
    -如下圖，列舉其中一種情況：

• 經如上分析有如下代碼：

/*** 給定一個整數n，生成并返回所有N個節點組成并且節點值從1到n互不相同的不同二叉樹，可以按照任意順序* 解析：求解1~n能組成多少個不同的二叉搜索樹* @author liaojiamin* @Date:Created in 10:15 2021/7/22*/ public class BuildGenerateTrees {public static void main(String[] args) {List<BinaryNode> binaryNodes = generateTreesBinary(1, 4);BinarySearchTree binarySearchTree = new BinarySearchTree();for (BinaryNode binaryNode : binaryNodes) {binarySearchTree.printTree(binaryNode);}}/*** 方法二* 分治法* */public static List<BinaryNode>generateTreesBinary(int start, int end){List<BinaryNode> binaryNodes = new LinkedList<>();if(start > end){binaryNodes.add(null);return binaryNodes;}for (int i=start;i<=end;i++){List<BinaryNode> leftNode = generateTreesBinary(start, i-1);List<BinaryNode> rightNode = generateTreesBinary(i+1, end);for (BinaryNode left : leftNode) {for (BinaryNode right : rightNode) {binaryNodes.add(new BinaryNode(i, left, right));}}}return binaryNodes;} }

• 以上思路理解起來更清晰，代碼實現方式也更簡單，時間復雜度還是取決于n的大小，假設n個階段能構建Cn棵二叉搜索樹，那么時間復雜度一棵樹生成需要O(n)，Cn棵樹O(n*Cn)
• 空間復雜度，每一棵樹都有n個階段，有Cn棵樹，總空間復雜度O(n*Cn)

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构与算法--求1~n能组成的所有二叉搜索树的排列的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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