数据结构与算法一篇帮助你吃下KMP算法
模式匹配
- 什么是模式匹配，我們用一個案例來說明：
- 當S = “s1,s2,s3,s4 …sn” T=“t1,t2,t3,t4 … tn” 在字符串S中尋找T字符串的過程就是模式匹配的過程，T就說模式串，S是主串
- 實現(xiàn)方案：
- 暴力破解，逐字符判斷，直到找到對應的全匹配
- 由暴力破解的缺點逐步優(yōu)化，引出KMP算法
暴力匹配
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思路如下：
- 令i 是目標串S的下標， j是模式串T的下標
- 當匹配到Si == Tj 的時候，我們做 i++，j++繼續(xù)匹配下一個
- 當匹配到Si != Tj 的時候，我們需要沖頭匹配，另 i = i - j + 1， j = 0
- 其中 i = i - j + 1 就說目標串S的回朔，我們匹配過j 個字符，那么回退 j個位置到當前這次匹配的最開始的位置，并且先前移動一位。
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根據(jù)如上分析有如下代碼：
暴力破解算法分析
- 我們用一個特殊一點的案例來解釋暴力破解算法
- 依然用i 表示目標串S：ab abc abcac bab， 用j 表示模式串T：abcac， 有如下流程
- 第一步，當Si， Tj 匹配到2 位置的時候，匹配是吧，i回朔到位置 2-2 +1 = 1，j=0
- 第二次匹配第一個字符就失敗，j=1-0+1=2
- 第三次匹配，一直匹配到i= 6 的時候才匹配失敗，這個時候，i=6-4+1 = 3，從第二個b開始匹配
- 第四次從第二個b開始，顯然是不可匹配到
- 依次一直持續(xù)到第六次匹配，才匹配成功
- 總結(jié)
- 在如上流程中，每次匹配失敗我們都回將i 回朔到當前匹配批次的下一個位置，j又從0開始比較
- 在第三次匹配結(jié)束后，我們可以發(fā)現(xiàn)：i=3和j=0，i=4和j=0以及i=5和j=0是不必進行的
- 關(guān)鍵點在于，我們在第三次匹配的時候，已經(jīng)知道了前面的串中有ab abcab，從中我們可以得出，主串中第3，4，5個字符必然是‘b’，‘c’，‘a(chǎn)’，與模式串T中的 1，2，3 字符是相同的，是可以沒必要在匹配的
- 可以在第三步驟的時候，就知道，我們應該直接移動到i = 6 的位置，因為i = 6 的位置與j = 0 的位置都是 a 是想匹配的，之前的匹配過的字符已經(jīng)是已知不可匹配的
- 依照如上分析：如果有一個類似的數(shù)組，用來輔助挑轉(zhuǎn)位置，那么明顯會加快進程。這樣就引出了我們的KMP算法，不回溯i，加快匹配效率。
KMP算法
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KMP算法是一種改進的字符串匹配算法，由D.E.Knuth，J.H.Morris和V.R.Pratt提出的，因此人們稱它為克努特—莫里斯—普拉特操作（簡稱KMP算法）。KMP算法的核心是利用匹配失敗后的信息，盡量減少模式串與主串的匹配次數(shù)以達到快速匹配的目的。具體實現(xiàn)就是通過一個next()函數(shù)實現(xiàn)，函數(shù)本身包含了模式串的局部匹配信息。KMP算法的時間復雜度O(m+n) [1] （自百度百科）
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算法流程如下：
- 如果j = -1 ，i++，j++，繼續(xù)匹配下一個字符
- 如果Si == Tj，i++， j++，繼續(xù)匹配下一個字符
- 如果Si != Tj，且j != -1，i不變，j = next[j]，意味著在匹配失敗的時候，接下來模式串T要相對于主串S向右移 j - next[j] 位置。
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那么會出現(xiàn)如下幾個問題：
位移信息next的確認
- 要了解next的來源，先得知道一個名字：最長公共前后綴。假設有一個串P=“P0P1P2P3…Pj-1Pj”如果存在P0P1P2…Pk-1Pk = Pj-kPj-k+1…Pj-1Pj，我們就可以說在P串中最大長度為k+1 的公共前后綴
- 找最大公共前后綴的意義：
- 例如在意思的案例中：ab abcabcac bac，我們在第三步驟中匹配到第一個abc，到第六步驟中匹配到第二個abc，在中間四，五步驟都在確認該字符：abcab，其中他的最長公共前后綴長度是，也就是ab
- 我們完全可以看出，單我們匹配到第一個abc的時候，完全可以直接跳過接下來的bc的匹配直接跳到第二個ab去匹配，那么最長公共前后綴就是這個作用，他告訴我們，在已經(jīng)匹配過的字符串中，有沒有這樣的字符，我們直接跳過中間的字符，區(qū)匹配后面對于的字符ab就行了
前后綴確認
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還是用剛才那個案例字符串P = abaabca
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這樣公共先后在最長長度會和P的每個字符有一個對應關(guān)系：
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我們從這個表引出next數(shù)組的值，next數(shù)組的值是除當前字符外的公共前后綴的長度，相當于將上表中數(shù)據(jù)向右移動一位，并且在前補充-1，得到如下
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接下來我們通過next數(shù)組來進行匹配推到，如下圖流程：
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第一步，i =0 ，j=0開始，當i = 2 ，j= 2 時候匹配失敗，那么i不動，next[j]=next[2]=0,S右移j - next[j] = 2位 , j 回朔到 0
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第二次匹配，i= 2開始，j=0， 當匹配到i= 6 j=4 時候，失敗，還是一樣 i不動 ，j = next[j]=next[4] = 1,也就是S向右移 j-next[j]=3位
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第三次匹配，i = 6 ，j = 1 檔i = 10， j = 5 時候匹配成功，返回 i-j=5
結(jié)論：
- 當主串S 與模式串P 匹配失敗時候，j = next[j],也就是P 右移動j-next[j]。
- 當模式串P后綴Pj-kPj-k+1…Pj-1與 主串S的Si-kSi-k+1…Si-1匹配成功，但是Pj，Sj j匹配失敗時候，因為next[j] = k，相當于在不包含Pj的模式串中有最大長度為k的相同前后綴，也就是P0P1…Pk-1 = Pj-kPj-k+1…Pj-1
- 所以我們令j = next[j],讓模式串 右移 j - next[j]位，使模式串 P0P1…Pk-1與主串。Si-kSi-k+1…Si-1對齊，讓Pk 與Si 繼續(xù)匹配，如下圖所示：
代碼實現(xiàn)求next數(shù)組
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之前我們是通過推到的方式得到的next數(shù)組，當我們用代碼實現(xiàn)時候，需要有一定的規(guī)則
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當next[0] = -1,next[1] = 0這個容易得到
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那么當通用情況，當j > 1 時候，如果我們已知next[j], 那么next[j+1]的值是我們需要求解的
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有如下兩種情況：
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當Pk = Pj，next[j+1] = next[j] + 1 = k + 1,代表字符E 前面的模式串中有長度為k+1 的最長公共前后綴
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當Pk != Pj時候，說明p0p1…pk-1pk != pj-kpj-k+1…pj-1pj，這個時候ABC與ABD不相同，也就是E前面的模式串中沒有長度為k+1的最大公共前后綴，所以next[j+1] = next[j] + 1 不在適用，我們需要尋找更短的最大公共前綴。
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因為next數(shù)組存儲的是之前字符中最長公共前后綴，那么當我們pk ! = pj 的時候，我們需要找k之前的一個匹配，那么就說next[k] 的位置就是上圖中的D，我們需要匹配的是 Pnext[k] = Pj 是否成立，也就讓k = next[k] 然后在做比較。如果成立，那么next[j+1] = next[next[k]]+ 1，如果不成了，next[j+1] = 0
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如上步驟中我們找k 之前的位置next[k]處的前綴來判斷是否有更短前綴，那為什么我們將k = next[k]就能找到最短前后綴，如下圖中所示
- 如上圖，在Pk!=Pj時候，k = next[k] 用 Pnext[k] 去根Pj 匹配，
- 我們可以看到，Pj之前，有一段長度為k的已匹配串，在Pk之前也有一段藍色的已匹配串，說明Pk字符前有一段長度為next[k] 的最大公共前后綴（藍色標記）
- 如果Pk != Pj，說明P0P1…Pk-1Pk != Pj-kPj-k+1…Pj-1Pj,那么我們需要向前著更短的最大公共前后綴
- 因為此時Pk和Pnext[k] 前面的藍色串已經(jīng)完成了匹配
- 如果Pnext[k]能和Pj匹配，那么我們就找到了最大公共前后綴，否則我們需要再次向前找 Pnext[next[k]] 去根Pj繼續(xù)匹配，直到找到更短的最大公共前后綴，或者字符串已經(jīng)找到最開始位置，那么長度就是 0
代碼實現(xiàn)
- 經(jīng)過如上分析有如下代碼：
參考文獻
- 大佬v_JULY_v 的文章，比我更詳細
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總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的数据结构与算法一篇帮助你吃下KMP算法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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