SAT是適定性(Satisfiability)問題的簡稱。一般形式為k-適定性問題，簡稱 k-SAT。而當k>2時該問題為NP完全的，所以我們只研究k=2時情況。

2-SAT問題

現有一個由N個布爾值組成的序列A，給出一些限制關系，比如A[x] AND A[y]=0、A[x] OR A[y] OR A[z]=1等，要確定A[0…N-1]的值，使得其滿足所有限制關系。這個稱為SAT問題，特別的，若每種限制關系中最多只對兩個元素進行限制，則稱為2-SAT問題。通俗來說就是有一些集合，每個集合中有且僅有兩個元素，且不能同時選取兩個元素，集合間的元素存在一定的選擇關系，求解可行性及可行方案。

由于在2-SAT問題中，最多只對兩個元素進行限制，所以可能的限制關系共有11種：
注意：
這里的OR是指兩個條件至少有一個是正確的
比如x1和x2一共有三種組合滿足“x1為真或x2為假”：
x1=1，x2=1
x1=1，x2=0
x1=0，x2=0
A[x]
NOT A[x]
A[x] AND A[y]
A[x] AND NOT A[y]
A[x] OR A[y]
A[x] OR NOT A[y]
NOT (A[x] AND A[y])
NOT (A[x] OR A[y])
A[x] XOR A[y]
NOT (A[x] XOR A[y])
A[x] XOR NOT A[y]
進一步，A[x] AND A[y]相當于(A[x]) AND (A[y])（也就是可以拆分成A[x]與A[y]兩個限制關系），NOT(A[x] OR A[y])相當于NOT A[x] AND NOT A[y]（也就是可以拆分成NOT A[x]與NOT A[y]兩個限制關系）。因此，可能的限制關系最多只有9種。

首先我們考慮將2-SAT問題往圖論的方向靠，我們發現每個點要么取0，要么取1。因此對于ai，我們建兩個點2i?1與2i分別表示ai取0和1

然后我們考慮建邊來表示這些關系，我們令一條有向邊的意義：x→y表示如果選擇了x就必須選y

那么我們可以舉一些簡單的例子來總結下連邊的規律（用i′表示i的反面）：

i,j不能同時選：選了i就要選j′，選j就要選i′。故i→j′,j→i′。一般操作即為aixoraj=1
i,j必須同時選：選了i就要選j，選j就要選i。故i→j,j→i。一般操作即為aixoraj=0
i,j任選（但至少選一個）選一個：選了i就要選j′，選j就要選i′，選i′就要選j，選j′就要選i。故i→j′,j→i′,i′→j,j′→i。一般操作即為aioraj=1
i必須選：直接i′→i，可以保證無論怎樣都選i。一般操作為給出的ai=1或aiandaj=1
建好圖然后就是考慮怎么用圖論的方式解決2-SAT了。

在實際問題中，2-SAT問題在大多數時候表現成以下形式：有N對物品，每對物品中必須選取一個，也只能選取一個，并且它們之間存在某些限制關系（如某兩個物品不能都選，某兩個物品不能都不選，某兩個物品必須且只能選一個，某個物品必選）等，這時，可以將每對物品當成一個布爾值（選取第一個物品相當于0，選取第二個相當于1），如果所有的限制關系最多只對兩個物品進行限制，則它們都可以轉化成9種基本限制關系，從而轉化為2-SAT模型。

【建模】

其實2-SAT問題的建模是和實際問題非常相似的。
建立一個2N階的有向圖，其中的點分為N對，每對點表示布爾序列A的一個元素的0、1取值（以下將代表A[i]的0取值的點稱為i，代表A[i]的1取值的點稱為i’）。顯然每對點必須且只能選取一個。然后，圖中的邊具有特定含義。若圖中存在邊<i, j>，則表示若選了i必須選j。可以發現，上面的9種限制關系中，后7種二元限制關系都可以用連邊實現，比如NOT(A[x] AND A[y])需要連兩條邊<x, y’>和<y, x’>，A[x] OR A[y]需要連兩條邊<x’, y>和<y’, x>。而前兩種一元關系，對于A[x]（即x必選），可以通過連邊<x’, x>來實現，而NOT A[x]（即x不能選），可以通過連邊<x, x’>來實現。

【O(NM)算法：求字典序最小的解】

算法 1、連邊

2、跑tarjan

3、判可行性，即同一集合中的兩個點是否同屬一個強連通塊

4、縮點建新圖，連反邊

5、拓撲序，若當前點沒有被訪問過，則選擇該點，不選擇其另外的點

連邊 2-SAT算法本身并不難，關鍵是連邊，不過只需要充分理解好邊的概念：a->b即選a必選b。

a、b不能同時選：選了a就要選b’，選了b就要選a’。

a、b必須同時選：選了a就要選b，選了b就要選a，選了a’就要選b’，選了b’就要選a’。

a、b必須選一個：選了a就要選b’，選了b就要選a’，選了a’就要選b，選了b’就要選a。

※a必須選：a’->a。

根據2-SAT建成的圖中邊的定義可以發現，若圖中i到j有路徑，則若i選，則j也要選；或者說，若j不選，則i也不能選；
因此得到一個很直觀的算法：
（1）給每個點設置一個狀態V，V=0表示未確定，V=1表示確定選取，V=2表示確定不選取。稱一個點是已確定的當且僅當其V值非0。設立兩個隊列Q1和Q2，分別存放本次嘗試選取的點的編號和嘗試不選的點的編號。
（2）若圖中所有的點均已確定，則找到一組解，結束，否則，將Q1、Q2清空，并任選一個未確定的點i，將i加入隊列Q1，將i’加入隊列Q2；
（3）找到i的所有后繼。對于后繼j，若j未確定，則將j加入隊列Q1；若j’（這里的j’是指與j在同一對的另一個點）未確定，則將j’加入隊列Q2；
（4）遍歷Q2中的每個點，找到該點的所有前趨（這里需要先建一個補圖），若該前趨未確定，則將其加入隊列Q2；
（5）在（3）（4）步操作中，出現以下情況之一，則本次嘗試失敗，否則本次嘗試成功：
<1>某個已被加入隊列Q1的點被加入隊列Q2；
<2>某個已被加入隊列Q2的點被加入隊列Q1;
<3>某個j的狀態為2；
<4>某個i’或j’的狀態為1或某個i’或j’的前趨的狀態為1；
（6）若本次嘗試成功，則將Q1中的所有點的狀態改為1，將Q2中所有點的狀態改為2，轉（2），否則嘗試點i’，若仍失敗則問題無解。
該算法的時間復雜度為O(NM)（最壞情況下要嘗試所有的點，每次嘗試要遍歷所有的邊），但是在多數情況下，遠遠達不到這個上界。
具體實現時，可以用一個數組vst來表示隊列Q1和Q2。設立兩個標志變量i1和i2（要求對于不同的i，i1和i2均不同，這樣可以避免每次嘗試都要初始化一次，節省時間），若vst[i]=i1則表示i已被加入Q1，若vst[i]=i2則表示i已被加入Q2。不過Q1和Q2仍然是要設立的，因為遍歷（BFS）的時候需要隊列，為了防止重復遍歷，加入Q1（或Q2）中的點的vst值必然不等于i1（或i2）。中間一旦發生矛盾，立即中止嘗試，宣告失敗。

該算法雖然在多數情況下時間復雜度到不了O(NM)，但是綜合性能仍然不如下面的O(M)算法。不過，該算法有一個很重要的用處：求字典序最小的解！
如果原圖中的同一對點編號都是連續的（01、23、45……）則可以依次嘗試第0對、第1對……點，每對點中先嘗試編號小的，若失敗再嘗試編號大的。這樣一定能求出字典序最小的解（如果有解的話），因為一個點一旦被確定，則不可更改。
如果原圖中的同一對點編號不連續（比如03、25、14……）則按照該對點中編號小的點的編號遞增順序將每對點排序，然后依次掃描排序后的每對點，先嘗試其編號小的點，若成功則將這個點選上，否則嘗試編號大的點，若成功則選上，否則（都失敗）無解。

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1> https://blog.csdn.net/jarjingx/article/details/8521690
2> https://www.cnblogs.com/kangkang-/p/11370313.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2-SAT适定性(Satisfiability)问题知识点详解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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