首先，什么是凸包？
假設(shè)平面上有p0~p12共13個(gè)點(diǎn)，過某些點(diǎn)作一個(gè)多邊形，使這個(gè)多邊形能把所有點(diǎn)都“包”起來。當(dāng)這個(gè)多邊形是凸多邊形的時(shí)候，我們就叫它“凸包”。
處理何種問題：凸包可以看成在木板上釘許多釘子，用一根橡皮筋框住所有釘子所得到的多邊形，最終能求得都由哪些釘子構(gòu)成該凸包。如下圖所示：

然后，什么是凸包問題？
我們把這些點(diǎn)放在二維坐標(biāo)系里面，那么每個(gè)點(diǎn)都能用 (x,y) 來表示。
現(xiàn)給出點(diǎn)的數(shù)目13，和各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。求構(gòu)成凸包的點(diǎn)？

解一：窮舉法（蠻力法）

時(shí)間復(fù)雜度：O(n3）。
思路：兩點(diǎn)確定一條直線，如果剩余的其它點(diǎn)都在這條直線的同一側(cè)，則這兩個(gè)點(diǎn)是凸包上的點(diǎn)，否則就不是。
步驟：

將點(diǎn)集里面的所有點(diǎn)兩兩配對(duì)，組成 n(n-1)/2 條直線。
對(duì)于每條直線，再檢查剩余的 (n-2) 個(gè)點(diǎn)是否在直線的同一側(cè)。
如何判斷一個(gè)點(diǎn) p3 是在直線 p1p2 的左邊還是右邊呢？（坐標(biāo)：p1(x1,y1)，p2(x2,y2)，p3(x3,y3)）

當(dāng)上式結(jié)果為正時(shí)，p3在直線 p1p2 的左側(cè)；當(dāng)結(jié)果為負(fù)時(shí)，p3在直線 p1p2 的右邊。

解二：分治法

時(shí)間復(fù)雜度：O(n㏒n)。
思路：應(yīng)用分治法思想，把一個(gè)大問題分成幾個(gè)結(jié)構(gòu)相同的子問題，把子問題再分成幾個(gè)更小的子問題……。然后我們就能用遞歸的方法，分別求這些子問題的解。最后把每個(gè)子問題的解“組裝”成原來大問題的解。
步驟：

1.把所有的點(diǎn)都放在二維坐標(biāo)系里面。那么橫坐標(biāo)最小和最大的兩個(gè)點(diǎn) P1 和 Pn 一定是凸包上的點(diǎn)（為什么呢？用反證法很容易證明，這里不詳講）。直線 P1Pn 把點(diǎn)集分成了兩部分，即 X 軸上面和下面兩部分，分別叫做上包和下包。
2.對(duì)上包：求距離直線 P1Pn 最遠(yuǎn)的點(diǎn)，即下圖中的點(diǎn) Pmax 。
3.作直線 P1Pmax 、PnPmax，把直線 P1Pmax 左側(cè)的點(diǎn)當(dāng)成是上包，把直線 PnPmax 右側(cè)的點(diǎn)也當(dāng)成是上包。
4.重復(fù)步驟 2、3。
對(duì)下包也作類似操作。

然而怎么求距離某直線最遠(yuǎn)的點(diǎn)呢？我們還是用到解一中的公式：

設(shè)有一個(gè)點(diǎn) P3 和直線 P1P2 。（坐標(biāo)：p1(x1,y1)，p2(x2,y2)，p3(x3,y3)）
對(duì)上式的結(jié)果取絕對(duì)值，絕對(duì)值越大，則距離直線越遠(yuǎn)。

注意：在步驟一，如果橫坐標(biāo)最小的點(diǎn)不止一個(gè)，那么這幾個(gè)點(diǎn)都是凸包上的點(diǎn)，此時(shí)上包和下包的劃分就有點(diǎn)不同了，需要注意。
解三：Jarvis步進(jìn)法
時(shí)間復(fù)雜度：O(nH)。（其中 n 是點(diǎn)的總個(gè)數(shù)，H 是凸包上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)）
思路：

縱坐標(biāo)最小的那個(gè)點(diǎn)一定是凸包上的點(diǎn)，例如圖上的 P0。
從 P0 開始，按逆時(shí)針的方向，逐個(gè)找凸包上的點(diǎn)，每前進(jìn)一步找到一個(gè)點(diǎn)，所以叫作步進(jìn)法。
怎么找下一個(gè)點(diǎn)呢？利用夾角。假設(shè)現(xiàn)在已經(jīng)找到 {P0，P1，P2} 了，要找下一個(gè)點(diǎn)：剩下的點(diǎn)分別和 P2 組成向量，設(shè)這個(gè)向量與向量P1P2的夾角為 β 。當(dāng) β 最小時(shí)就是所要求的下一個(gè)點(diǎn)了，此處為 P3 。

注意：

找第二個(gè)點(diǎn) P1 時(shí)，因?yàn)橐呀?jīng)找到的只有 P0 一個(gè)點(diǎn)，所以向量只能和水平線作夾角 α，當(dāng) α 最小時(shí)求得第二個(gè)點(diǎn)。
共線情況：如果直線 P2P3 上還有一個(gè)點(diǎn) P4，即三個(gè)點(diǎn)共線，此時(shí)由向量P2P3 和向量P2P4 產(chǎn)生的兩個(gè) β 是相同的。我們應(yīng)該把 P3、P4 都當(dāng)做凸包上的點(diǎn)，并且把距離 P2 最遠(yuǎn)的那個(gè)點(diǎn)（即圖中的P4）作為最后搜索到的點(diǎn)，繼續(xù)找它的下一個(gè)連接點(diǎn)。

解四：Graham掃描法
時(shí)間復(fù)雜度：O(n㏒n)
思路：Graham掃描的思想和Jarris步進(jìn)法類似，也是先找到凸包上的一個(gè)點(diǎn)，然后從那個(gè)點(diǎn)開始按逆時(shí)針方向逐個(gè)找凸包上的點(diǎn)，但它不是利用夾角。

步驟：

把所有點(diǎn)放在二維坐標(biāo)系中，則縱坐標(biāo)最小的點(diǎn)一定是凸包上的點(diǎn)，如圖中的P0。
把所有點(diǎn)的坐標(biāo)平移一下，使 P0 作為原點(diǎn)，如上圖。
計(jì)算各個(gè)點(diǎn)相對(duì)于 P0 的幅角 α ，按從小到大的順序?qū)Ω鱾€(gè)點(diǎn)排序。當(dāng) α 相同時(shí)，距離 P0 比較近的排在前面。例如上圖得到的結(jié)果為 P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7，P8。我們由幾何知識(shí)可以知道，結(jié)果中第一個(gè)點(diǎn) P1 和最后一個(gè)點(diǎn) P8 一定是凸包上的點(diǎn)。
（以上是準(zhǔn)備步驟，以下開始求凸包）
以上，我們已經(jīng)知道了凸包上的第一個(gè)點(diǎn) P0 和第二個(gè)點(diǎn) P1，我們把它們放在棧里面。現(xiàn)在從步驟3求得的那個(gè)結(jié)果里，把 P1 后面的那個(gè)點(diǎn)拿出來做當(dāng)前點(diǎn)，即 P2 。接下來開始找第三個(gè)點(diǎn)：
連接 棧最上面的連個(gè)元素（即P0和棧頂）的那個(gè)點(diǎn)，得到直線 L 。看當(dāng)前點(diǎn)是在直線 L 的右邊還是左邊。如果在直線的右邊就執(zhí)行步驟5；如果在直線上，或者在直線的左邊就執(zhí)行步驟6。
如果在右邊，則棧頂?shù)哪莻€(gè)元素不是凸包上的點(diǎn)，把棧頂元素出棧。執(zhí)行步驟4。
當(dāng)前點(diǎn)是凸包上的點(diǎn)，把它壓入棧，執(zhí)行步驟7。
檢查當(dāng)前的點(diǎn) P2 是不是步驟3那個(gè)結(jié)果的最后一個(gè)元素。是最后一個(gè)元素的話就結(jié)束。如果不是的話就把 P2 后面那個(gè)點(diǎn)做當(dāng)前點(diǎn)，返回步驟4。
最后，棧中的元素就是凸包上的點(diǎn)了。

解五：Melkman算法

說真的，這個(gè)算法我也還沒有看清。網(wǎng)上的資料也少的可憐，我暫且把網(wǎng)上的解釋截個(gè)圖在這里，往后搞懂以后再回來補(bǔ)上。
性能：由一個(gè)快排（O（nlogn））和一個(gè)遍歷找點(diǎn)（O（n）），總體時(shí)間復(fù)雜度為O（nlogn）。

原理：

點(diǎn)：A（x1，y1），B（x2，y2）

向量AB=（x2-x1，y2-y1）=（x，y）

向量的叉積：a X b =

通過結(jié)果的正負(fù)判斷兩矢量之間的順逆時(shí)針關(guān)系

l 若a X b > 0，表示a在b的順時(shí)針方向上

l 若a X b < 0，表示a在b的逆時(shí)針方向上

l 若a X b == 0，表示a與b共線，但不確定方向是否相同

例如：

A（0，0）

B（2，2）

C（3，1）

D（2，-1）

AB（2，2），AC（3，1），AD（2，-1）

AC X AB = 32-12 = 4>0

AC在AB的順時(shí)針方向上，即點(diǎn)C在向量AB的下面。

實(shí)現(xiàn)步驟：

排序：按照x由小到大排序，如果x相同，按照y由小到大排序。
排序之后第一個(gè)點(diǎn)必為凸包上的點(diǎn)（證明自己意淫一下，有x最大、x最小、y最小、y最大的點(diǎn)都必在凸包上）。
選最近兩個(gè)剛?cè)胪拱狞c(diǎn)，再在排序中依次選點(diǎn)，根據(jù)上面所提及到的原理，判斷該點(diǎn)在凸包那兩點(diǎn)的順時(shí)針還是逆時(shí)針方向。
如果在逆時(shí)針方向，將該點(diǎn)加入凸包，否則判定出之前進(jìn)入凸包的點(diǎn)不合格，刪除該凸包點(diǎn)，重復(fù)第三步，直到該點(diǎn)加入凸包（也就是說每個(gè)點(diǎn)都曾進(jìn)過凸包，只是后來有些被刪了）。
以上就是下凸包的構(gòu)成步驟，上凸包參考下凸包，基本沒有什么差別，因?yàn)樵谂袛鄷r(shí)是判斷是否為逆時(shí)針，別誤以為是在判段該點(diǎn)在向量的下方，上凸包就不可用了，對(duì)于逆時(shí)針而言都是一樣的。
這種方法求出來的點(diǎn)是凸包沿著逆時(shí)針方向找出來的，首位相接且第一個(gè)點(diǎn)重復(fù)兩次，所以除了點(diǎn)只有一個(gè)的情況下，記得點(diǎn)的個(gè)數(shù)減一。

備注：對(duì)于題目要求求凸包構(gòu)成的面積時(shí)，可以參考以下圖示求法：

輸入樣例解釋：

11—散點(diǎn)樣例個(gè)數(shù)

5 8 —散點(diǎn)坐標(biāo)

12 56

5 2

125 1

15 66

45 77

55 6

45 2

232 5

45 12

54 66

輸出樣例解釋：

tot=7 —構(gòu)成凸包點(diǎn)的個(gè)數(shù)

1: 5.00 , 2.00 —沿著凸包逆時(shí)針方向，且保留兩位小數(shù)

2: 125.00 , 1.00

3: 232.00 , 5.00

4: 45.00 , 77.00

5: 15.00 , 66.00

6: 12.00 , 56.00

7: 5.00 , 8.00

//求凸包，時(shí)間復(fù)雜度nlogn #include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cmath> #include<cstring> using namespace std;const int MaxN=10010;int n,tot;//n為點(diǎn)的個(gè)數(shù)，tot為凸點(diǎn)的個(gè)數(shù) struct point {double x,y; }; point p[MaxN],CHP[MaxN];//CHP為凸包最后所構(gòu)成的點(diǎn)bool cmp(point a,point b)//水平排序，按x從大到小排，如果x相同，按y從大到小排序 {return (a.x<b.x||(a.x==b.x&&a.y<b.y)); }double xmul(point a,point b,point c)//叉積 {return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(b.y-a.y)*(c.x-a.x); }void Andrew() {sort(p,p+n,cmp);tot=0;for(int i=0; i<n; ++i) //計(jì)算下半個(gè)凸包{while(tot>1&&xmul(CHP[tot-2],CHP[tot-1],p[i])<0)--tot;CHP[tot++]=p[i];}int k=tot;for(int i=n-2; i>=0; --i) //計(jì)算上半個(gè)凸包{while(tot>k&&xmul(CHP[tot-2],CHP[tot-1],p[i])<0)--tot;CHP[tot++]=p[i];}if(n>1)//對(duì)于只有一個(gè)點(diǎn)的包再單獨(dú)判斷--tot; }int main() {scanf("%d",&n);for(int i=0; i<n; ++i){scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);}Andrew();printf("tot=%d\n",tot);for(int i=0; i<tot; ++i){printf("%d: %.2lf , %.2lf\n",i+1,CHP[i].x,CHP[i].y);}return 0; }

一些預(yù)備知識(shí)點(diǎn)：

首先在二維坐標(biāo)下介紹一些定義：
點(diǎn)：A（x1，y1），B（x2，y2）

向量：向量AB=（ x2 - x1 , y2 - y1 ）= ( x , y );

向量的模 |AB| = sqrt ( xx+yy );

向量的點(diǎn)積： 結(jié)果為 x1x2 + y1y2。

點(diǎn)積的結(jié)果是一個(gè)數(shù)值。

點(diǎn)積的集合意義：我們以向量 a 向向量 b 做垂線，則 | a | * cos（a,b）為 a 在向量 b 上的投影，即點(diǎn)積是一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影乘以另一個(gè)向量。且滿足交換律

應(yīng)用：可以根據(jù)集合意義求兩向量的夾角，
cos（a,b） =（ 向量a * 向量b ） / （| a | * | b |） = （x1x2 + y1y2） / （| a | * | b |）

向量的叉積： 結(jié)果為 x1y2-x2y1

叉積的結(jié)果也是一個(gè)向量，是垂直于向量a，b所形成的平面，如果看成三維坐標(biāo)的話是在 z 軸上，上面結(jié)果是它的模。

方向判定：右手定則，（右手半握，大拇指垂直向上，四指右向量a握向b，大拇指的方向就是叉積的方向）

叉積的集合意義：1：其結(jié)果是a和b為相鄰邊形成平行四邊形的面積。

2：結(jié)果有正有負(fù)，有sin（a，b）可知和其夾角有關(guān)，夾角大于180°為負(fù)值。

3：叉積不滿足交換律

應(yīng)用：

1：通過結(jié)果的正負(fù)判斷兩矢量之間的順逆時(shí)針關(guān)系

若 a x b > 0表示a在b的順時(shí)針方向上

若 a x b < 0表示a在b的逆時(shí)針方向上

若 a x b == 0表示a在b共線，但不確定方向是否相同

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的凸包算法知识总结的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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