工程數學2018――2019學年

一、單項選擇題

1．對擲一顆骰子的試驗，將“出現偶數點”稱為 （ D ）

A、樣本空間 B、必然事件

C、不可能事件 D、隨機事件

2．若事件A、B 互不相容，則下列等式中未必成立的是 （C ）

A、AB= $?$ B、P(AB)=0

C、P(A)+P(B)=1 D、 P(A$\cup$B)=P(A)+P(B)

分析：C項：P(A)+P(B)=1，當A與B對立時成立

3．設隨機變量X的分布函數為F(x) ，下列說法中正確的是 （ D ）

A、 F(x)是增函數 B、 F(x)必為(-∞,+∞) 上的連續函數

C、F( -∞)=1 D、 F(x)$\le$ 1

分析：D項正確：由于0≤F（x）≤1，F（x）的值域為[0，1]；
A項：F（x）是不減函數，故錯誤；
B項：由于F（x）僅右連續，從而（B）不對；
C項：由于

，從而（C）不對。

4． 設總體 X服從正態分布N( $\mu$, ${\sigma }^2$) ，其中 $\mu$已知， ${\sigma }^2$未知， $X_1、X_2、X_3$是總體 X的一個簡單隨機樣本，則下列表達式中不是統計量的是 （ C ）

A、$X_1+X_2+X_3$ B、min($X_1,X_2,X_3$) C、${\sum }_{i=1}^3\frac{X_i^2}{{\sigma }^2}$ D、 $\overline{X}$+2$\mu$

分析：由于X服從正態分布N（μ，σ2），其中μ已知，σ2未知，因此未知參數只有$\sigma$。
選項A、B都是關于樣本的函數，它們是統計量；
選項D雖然含有參數μ，但μ是已知的，因此也是統計量；
選項C由于含有未知參數σ，它不是統計量．
故選：C

5．設 $X_1、X_2、X_3、X_4$是來自均值為 $\theta$的指數分布的樣本，其中$\theta$ 未知，以下估計量中哪個是$\theta$ 的無偏估計量？ （ A ）

A、$\frac{X_1+X_2+2X_3+X_4}{5}$

B、$\frac{3X_1+X_2+X_3+X_4}{7}$

C、 $\frac{X_1+X_2}{4}$ +$\frac{X_3+X_4}{3}$

D、$\frac{X_1+X_2+X_3+X_4}{3}$

分析：如果指數分布$\theta$ ～e（λ），那么E（$\theta$ ）==$\frac{1}{\lambda }$ D（$\theta$ ）= $\frac{1}{{\lambda }^2}$
無偏估計量的定義是：設（$\theta$）是$\theta$的一個估計量，若E（$\theta$）=$\theta$ ，則稱$\theta$是$\theta$的無偏估計量
A項：E（$\frac{X_1+X_2+2X_3+X_4}{5}$ ）=E（$\frac{\frac{1}{\lambda }+\frac{1}{\lambda }+2\frac{1}{\lambda }+\frac{1}{\lambda }}{5}$ ）=$\frac{1}{\lambda }$，故A項正確。

拓展：

6．若隨機變量X,Y 獨立，下列等式中錯誤的是 （ D）

A、對任何實數a,b ，事件{X $\le$a} 和事件 {Y$\le$b}獨立

B、 P(X$\le$x，Y$\le$y)=P（X$\le$x）P（Y$\le$y）

C、 F(x,y)=$F_X(x)F_Y(y)$

D、${\rho }_{XY}$=1

分析：相互獨立是設A,B是兩事件,如果滿足等式P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A,B相互獨立,簡稱A,B獨立.A、B、C正確·
D（X）=$E（X^2）+E（X{）}^2$
${\rho }_{XY}$=$\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D（X）}\sqrt{D（Y）}}$
若隨機變量X,Y 獨立，Cov(X,Y)=0；
故${\rho }_{XY}$=0；因此（D）錯

7．對于一個原假設為 的假設檢驗問題，有可能犯的第一類錯誤是指（ B ）

A、 $H_0$為真時，接受$H_0$

B、 $H_0$為真時，拒絕 $H_0$

C、 $H_0$不真時，接受$H_0$

D、 $H_0$不真時，拒絕 $H_0$

分析：

二、填空題（每小題3分，共24分）

8．設A,B 為隨機事件，P(A)=0.5 ，P(B)=0.6 ，P(B|A)=0.8,則P(B$\cup$A)= 0.7_ ．

分析：P(BUA)為0.7。計算過程如下：
P(A)=0.5。
P(B)=0.6。
P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.8。
所以P(AB)=0.4。
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.6-0.4=0.7。
所以P(BUA)=P(A+B)=0.7。

擴展資料：
常用概率公式
1、設A、B是互不相容事件（AB=φ），則：P（A∪B）=P（A）+P（B）
推論1：設A1、A2、…、An互不相容，則：P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
推論2：設A1、A2、…、An構成完備事件組，則：P(A1+A2+…+An)=1
推論3：為事件A的對立事件。
推論4：若B包含A，則P(B－A)=P(B)－P(A)
推論5（廣義加法公式）：對任意兩個事件A與B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)
2、條件概率：已知事件B出現的條件下A出現的概率，稱為條件概率，記作：P(A|B)條件概率計算公式：
當P(A)>0，P(B|A)=P(AB)/P(A)
當P(B)>0，P(A|B)=P(AB)/P(B)
3、乘法公式
P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)×P(A|B)
推廣：P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)

9． 一大樓裝有5個同類型的供水設備，調查表明在任一時刻t每個設備使用的概率為 0.3，則在同一時刻恰有2個設備被使用的概率是______0.3087________．

n重復相同實驗，為二項分布
故P（2)=$C_5^2?0.3^2?(1?0.3{)}^{(5?2)}$=0.3087

拓展：

10． 設隨機變量X ,Y 相互獨立，且X:B(100,0.6) ，Y:P(2) ，則 D(2X-Y)= _98 ．

分析：因為1、D（C）=0;
2、D（aX+b）=$a^2$D(X);
3、D(X$\pm$Y）=D(X)+D(Y)$\pm$DOV（X,Y)
又設隨機變量X ,Y 相互獨立DOV（X,Y)=0；
X:B(100,0.6)，可知為二項分布，D（X）=100* 0.6* （1-0.6）=24；
Y:P(2) ，可知為泊松分布，則D（Y）=λ=2；
則D(2X - Y )
=4D(X)+D(Y)=24*4+2=98

拓展：

11．三人獨立地去破譯一份密碼，各人能譯出的概率分別為$\frac{1}{6}$ ，$\frac{1}{5}$ , $\frac{1}{4}$此密碼被譯出的概率為 0.5___ ．

分析：密碼被譯出的概率即為至少一人破譯：1-（1-$\frac{1}{6}$）（1-$\frac{1}{5}$）（1-$\frac{1}{4}$）=0.5

12. 若X與Y相互獨立，則Cov(X,Y)= _0__ ．

13．隨機變量$\xi$~${\chi }^2(n)$ ，$\eta$~${\chi }^2(m)$ ，$\xi$,$\eta$ 獨立，則 $\xi$+$\eta$~ ${\chi }^2(n+m)$_ ．

分析：

拓展：

14. 設$X_1、X_2、L、X_5$ 是總體 X~N(0,1)的簡單隨機樣本，則當K= $\frac{\sqrt{6}}{2}$_ 時，Y= $\frac{k(X_1+X_2)}{\sqrt{X_3^2+X_4^2+X_5^2}}$~t(3) ；

分析：因為 $X_1、X_2、L、X_5$ 是總體 X~N(0,1)的簡單隨機樣本
且$\frac{k(X_1+X_2)}{\sqrt{X_3^2+X_4^2+X_5^2}}$=$\frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{3}}$,
為使$\frac{k(X_1+X_2)}{\sqrt{X_3^2+X_4^2+X_5^2}}$~t(3)，
只需$\frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{3}}$=1即可，
得 a =$\frac{\sqrt{6}}{2}$

15．在對單個正態總體均值的假設檢驗中，當總體方差已知時，選用 Z或U_ 檢驗法

分析：Z檢驗 順便說一句，當總體方差未知時，選用t檢驗法

三、解答題（每題11分，共55分）

16. 已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者.今從男女人數相等的人群中隨機抽選一人.

（1）求此人是色盲患者的概率；

（2）若此人恰好是色盲，則此人是女性的概率是多少？

分析：全概率公式：P（發生某事）=P（A出現）P（A發生某事）+P（B出現）P（B發生某事）…
貝葉斯公式：P（已知有個體發生某事是A發出的）=$\frac{P（A出現）P（A發生某事）}{P（發生某事）??????》（全概率公式）}$

17．設隨機變量 的密度函數為：

$f（x）$=$\{\begin{array}{ll}k(x+1)& \text{?,?}0<x<1\\ 0，其他& \text{?}\end{array}$

求（1）常數k ；

（2） X的分布函數F(x) ；

（3）P{$\frac{1}{2}$<X$\le$$\frac{3}{2}$} .

分析·：

一、已知$F_X(x)$或$f_X(x)$含未知數，求未知數：

$F_X$(-∞)=0;

$F_X$(+∞)=0;

$F_{上}$(分段點)=$F_{下}$(分段點)（斷點值相同）

${\int }_{?\infty }^{+\infty }$$f_X(x)d_x$=1;

二、$F_X(x)$=${\int }_{?\infty }^{+\infty }$$f_X(x)d_x$

三、已知$F_X(x)$或$f_X(x)$中一種，求P，

P（a<x<b）=$F_X(a)$-$F_X(b)$=${\int }_a^b$$f_X(x)d_x$

18．一工廠生產的某種設備的壽命 （以年計）服從指數分布，概率密度為

工廠規定，出售的設備在售出一年之內損壞可予以調換．若不需調換，每臺設備工廠可以贏利1000元；若需要調換，每臺設備工廠會虧損500元，試求廠方出售一臺設備凈贏利的數學期望．

分析：

19．設總體

其中，$X_1、X_2、L、X_n$ 是X的一個樣本，求:

(1) $\theta$的矩估計量;

(2) $\theta$最大似然估計量.

分析：

20．某種礦砂的5個樣品中的含鎳量（%）經測定為：

3.24 3.26 3.24 3.27 3.25

設含鎳量服從正態分布，問在$\alpha$ =0.01下能否接收假設：這批礦砂的含鎳量為3.25?

($t_{0.005}(4)$= 4.6041 ，$\sqrt{5}$=2.236 )

分析：

$S^2=\frac{1}{n?1}{\sum }_{i=1}^n(X_i?\overline{X}{)}^2$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的概率论+往期考试卷的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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