題意：

給你若n個分數，分子$a[i]$,分母$b[i]$,使滿足公式$100?\frac{{\sum }_{i=1}^n{a}_i}{{\sum }_{i=1}^n{b}_i}$，求任意去掉k個分數后，公式結果最大值。

題目：

In a certain course, you take n tests. If you get $a_i$ out of $b_i$ questions correct on test i, your cumulative average is defined to be

$100?\frac{{\sum }_{i=1}^n{a}_i}{{\sum }_{i=1}^n{b}_i}$

Given your test scores and a positive integer k, determine how high you can make your cumulative average if you are allowed to drop any k of your test scores.

Suppose you take 3 tests with scores of 5/5, 0/1, and 2/6. Without dropping any tests, your cumulative average is $100?\frac{5+0+2}{5+1+6}$. However, if you drop the third test, your cumulative average becomes $100?\frac{5+0}{5+1}\approx 83.33\approx 83$.

Input

The input test file will contain multiple test cases, each containing exactly three lines. The first line contains two integers, 1 ≤ n ≤ 1000 and 0 ≤ k < n. The second line contains n integers indicating ai for all i. The third line contains n positive integers indicating bi for all i. It is guaranteed that 0 ≤ ai ≤ bi ≤ 1, 000, 000, 000. The end-of-file is marked by a test case with n = k = 0 and should not be processed.

Output

For each test case, write a single line with the highest cumulative average possible after dropping k of the given test scores. The average should be rounded to the nearest integer.

Sample Input

3 1
5 0 2
5 1 6
4 2
1 2 7 9
5 6 7 9
0 0

Sample Output

83
100

Hint

To avoid ambiguities due to rounding errors, the judge tests have been constructed so that all answers are at least 0.001 away from a decision boundary (i.e., you can assume that the average is never 83.4997).

分析：

• 01分數規劃：
  簡單的來說，就是有一些二元組（ai，bi），從中選取一些二元組，使得∑ai / ∑bi最大（最小）。
  這種題一類通用的解法就是，我們假設x = ∑ai / ∑bi的最大（小）值，那么就有x * ∑ai = ∑bi ,即∑ai - x * ∑bi= 0。也就是說，當某一個值x滿足上述式子的時候，它就是要求的值。我們可以想到枚舉……不過再想想，這個可以二分答案。
  所以我們直接二分答案，當上述式子>0,說明答案小了，<0則說明答案大了，這樣計算即可。
  01分數規劃問題相關算法詳解

AC代碼：

#include<stdio.h> #include<string.h> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; const int M=1e3+10; const double eps=1e-4; int n,m; double a[M],b[M],c[M]; bool cmp(double u,double v){return u>v; } bool dfs(double x){for(int i=0;i<n;i++){c[i]=a[i]-x*b[i];}sort(c,c+n,cmp);double ans=0.0;for(int i=0;i<n-m;i++)ans+=c[i];if(ans>=0) return true;return false; } int main(){while(~scanf("%d%d",&n,&m)){if(n==0&&m==0)break;for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lf",&a[i]);for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lf",&b[i]);double r=0.0,l=1.0;while(l-r>eps){double mid=(r+l)/2;if(dfs(mid)) r=mid;else l=mid;}printf("%.0f\n",r*100);}return 0; }

基本01分數規劃問題

給定 n 個二元組 ($a_i,b_i$ ) $a_i$是選擇此二元組獲得的價值（非負），$b_i$是選擇此二元組付出的代價（非負），設 $x_i$ ($x_i$ ∈ { 0 , 1 } ) 代表第 i個二元組的選與不選，最大(小)化下式
$max(or$ $min)$ $r=\frac{{\sum }_{i=1}^n{a}_i?x_i}{{\sum }_{i=1}^n{b}_i?x_i}$
下面先說最大化

解決方法:二分法

設 r最大值為$r^{?}$
$r^{?}$$=\frac{{\sum }_{i=1}^n{a}_i?x_i}{{\sum }_{i=1}^n{b}_i?x_i}$
$?$ $\sum a_i?x_i?r^{?}?\sum b_i?x_i=0$
設一個函數，自變量為 r值，
$f(r)$ = $\sum a_i?x_i?r^{?}?\sum b_i?x_i$

觀察這個函數，假如$x_i$固定，則這個函數就是坐標系中一條直線( y = B ? A ? x)，每一組$x_i$對應著一條直線，這些直線斜率非正(因為 ? A = ? ∑$b_i?x_i$ ≤ 0)，縱截距非負(因為 B = ∑$a_i?x_i\ge 0)$,如圖1。

對于每一條直線，當$f(r)=0$時，橫截距就是這一組的 r，那么$r^{?}$ 就是每條直線橫截距的最大值（每組$x_i$對應r的最大值）如圖2。

在圖中上任取一條垂直x軸的豎線，
如果存在直線與這條豎線的交點縱坐標為正，那么最優值一定在當前豎線的右側；
如果所有直線與這條豎線交點縱坐標為負，那么最優值一定在當前豎線的左側；
如果所有直線與這條豎線交點縱坐標非正且存在直線與這條豎線交點縱坐標為0，那么當前豎線橫坐標即為最優值$r^{?}$ 。

按照這個思想，可以二分答案r，那么二分時如何進行判斷呢？

選擇一個 r時需要判斷所有 $f(r)$的最大值是否為0，如果 $max$ {$f(r)$ } > 0則 r < $r^{?}$；
怎樣求 $maxf(r)$?
$f(r)$ = $\sum a_i?x_i?r?\sum b_i?x_i$
$?$$\sum （a_i?r?b_i)?x_i$
二分一個 r時，每個二元組的$（a_i?r?b_i)?x_i$都可以求出，設其為$weigh{t}_i$，現在的目標就是找到一組 $x_i$使得 ∑ $wigh{t}_i?x_i$ 最大（即求$maxf(r)$)。怎么找到這一組$x_i$，或者直接求得 $maxf(r)$ 呢？具體問題具體分析，經常借助最短路算法判斷是否存在負環。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的二分+01分数规划+最大化平均值 Dropping tests POJ - 2976的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。