題意：

給你若n個(gè)分?jǐn)?shù)，分子$a[i]$,分母$b[i]$,使?jié)M足公式$100?\frac{{\sum }_{i=1}^n{a}_i}{{\sum }_{i=1}^n{b}_i}$，求任意去掉k個(gè)分?jǐn)?shù)后，公式結(jié)果最大值。

題目：

In a certain course, you take n tests. If you get $a_i$ out of $b_i$ questions correct on test i, your cumulative average is defined to be

$100?\frac{{\sum }_{i=1}^n{a}_i}{{\sum }_{i=1}^n{b}_i}$

Given your test scores and a positive integer k, determine how high you can make your cumulative average if you are allowed to drop any k of your test scores.

Suppose you take 3 tests with scores of 5/5, 0/1, and 2/6. Without dropping any tests, your cumulative average is $100?\frac{5+0+2}{5+1+6}$. However, if you drop the third test, your cumulative average becomes $100?\frac{5+0}{5+1}\approx 83.33\approx 83$.

Input

The input test file will contain multiple test cases, each containing exactly three lines. The first line contains two integers, 1 ≤ n ≤ 1000 and 0 ≤ k < n. The second line contains n integers indicating ai for all i. The third line contains n positive integers indicating bi for all i. It is guaranteed that 0 ≤ ai ≤ bi ≤ 1, 000, 000, 000. The end-of-file is marked by a test case with n = k = 0 and should not be processed.

Output

For each test case, write a single line with the highest cumulative average possible after dropping k of the given test scores. The average should be rounded to the nearest integer.

Sample Input

3 1
5 0 2
5 1 6
4 2
1 2 7 9
5 6 7 9
0 0

Sample Output

83
100

Hint

To avoid ambiguities due to rounding errors, the judge tests have been constructed so that all answers are at least 0.001 away from a decision boundary (i.e., you can assume that the average is never 83.4997).

分析：

• 01分?jǐn)?shù)規(guī)劃：
  簡單的來說，就是有一些二元組（ai，bi），從中選取一些二元組，使得∑ai / ∑bi最大（最小）。
  這種題一類通用的解法就是，我們假設(shè)x = ∑ai / ∑bi的最大（小）值，那么就有x * ∑ai = ∑bi ,即∑ai - x * ∑bi= 0。也就是說，當(dāng)某一個(gè)值x滿足上述式子的時(shí)候，它就是要求的值。我們可以想到枚舉……不過再想想，這個(gè)可以二分答案。
  所以我們直接二分答案，當(dāng)上述式子>0,說明答案小了，<0則說明答案大了，這樣計(jì)算即可。
  01分?jǐn)?shù)規(guī)劃問題相關(guān)算法詳解

AC代碼：

#include<stdio.h> #include<string.h> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; const int M=1e3+10; const double eps=1e-4; int n,m; double a[M],b[M],c[M]; bool cmp(double u,double v){return u>v; } bool dfs(double x){for(int i=0;i<n;i++){c[i]=a[i]-x*b[i];}sort(c,c+n,cmp);double ans=0.0;for(int i=0;i<n-m;i++)ans+=c[i];if(ans>=0) return true;return false; } int main(){while(~scanf("%d%d",&n,&m)){if(n==0&&m==0)break;for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lf",&a[i]);for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lf",&b[i]);double r=0.0,l=1.0;while(l-r>eps){double mid=(r+l)/2;if(dfs(mid)) r=mid;else l=mid;}printf("%.0f\n",r*100);}return 0; }

基本01分?jǐn)?shù)規(guī)劃問題

給定 n 個(gè)二元組 ($a_i,b_i$ ) $a_i$是選擇此二元組獲得的價(jià)值（非負(fù)），$b_i$是選擇此二元組付出的代價(jià)（非負(fù)），設(shè) $x_i$ ($x_i$ ∈ { 0 , 1 } ) 代表第 i個(gè)二元組的選與不選，最大(小)化下式
$max(or$ $min)$ $r=\frac{{\sum }_{i=1}^n{a}_i?x_i}{{\sum }_{i=1}^n{b}_i?x_i}$
下面先說最大化

解決方法:二分法

設(shè) r最大值為$r^{?}$
$r^{?}$$=\frac{{\sum }_{i=1}^n{a}_i?x_i}{{\sum }_{i=1}^n{b}_i?x_i}$
$?$ $\sum a_i?x_i?r^{?}?\sum b_i?x_i=0$
設(shè)一個(gè)函數(shù)，自變量為 r值，
$f(r)$ = $\sum a_i?x_i?r^{?}?\sum b_i?x_i$

觀察這個(gè)函數(shù)，假如$x_i$固定，則這個(gè)函數(shù)就是坐標(biāo)系中一條直線( y = B ? A ? x)，每一組$x_i$對應(yīng)著一條直線，這些直線斜率非正(因?yàn)?? A = ? ∑$b_i?x_i$ ≤ 0)，縱截距非負(fù)(因?yàn)?B = ∑$a_i?x_i\ge 0)$,如圖1。

對于每一條直線，當(dāng)$f(r)=0$時(shí)，橫截距就是這一組的 r，那么$r^{?}$ 就是每條直線橫截距的最大值（每組$x_i$對應(yīng)r的最大值）如圖2。

在圖中上任取一條垂直x軸的豎線，
如果存在直線與這條豎線的交點(diǎn)縱坐標(biāo)為正，那么最優(yōu)值一定在當(dāng)前豎線的右側(cè)；
如果所有直線與這條豎線交點(diǎn)縱坐標(biāo)為負(fù)，那么最優(yōu)值一定在當(dāng)前豎線的左側(cè)；
如果所有直線與這條豎線交點(diǎn)縱坐標(biāo)非正且存在直線與這條豎線交點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，那么當(dāng)前豎線橫坐標(biāo)即為最優(yōu)值$r^{?}$ 。

按照這個(gè)思想，可以二分答案r，那么二分時(shí)如何進(jìn)行判斷呢？

選擇一個(gè) r時(shí)需要判斷所有 $f(r)$的最大值是否為0，如果 $max$ {$f(r)$ } > 0則 r < $r^{?}$；
怎樣求 $maxf(r)$?
$f(r)$ = $\sum a_i?x_i?r?\sum b_i?x_i$
$?$$\sum （a_i?r?b_i)?x_i$
二分一個(gè) r時(shí)，每個(gè)二元組的$（a_i?r?b_i)?x_i$都可以求出，設(shè)其為$weigh{t}_i$，現(xiàn)在的目標(biāo)就是找到一組 $x_i$使得 ∑ $wigh{t}_i?x_i$ 最大（即求$maxf(r)$)。怎么找到這一組$x_i$，或者直接求得 $maxf(r)$ 呢？具體問題具體分析，經(jīng)常借助最短路算法判斷是否存在負(fù)環(huán)。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的二分+01分数规划+最大化平均值 Dropping tests POJ - 2976的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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