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编程问答

字符串相关

發(fā)布時(shí)間：2023/12/4 编程问答 26 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了字符串相关小編覺得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

文章目錄

字符串基礎(chǔ)
- - 字符串的存儲(chǔ)
標(biāo)準(zhǔn)庫
字符串匹配
- - - 單串匹配
    - 多串匹配
    - 其他類型的字符串匹配問題
字符串哈希
- - Hash 的實(shí)現(xiàn)
  - Hash 的分析與改進(jìn)
  - - 錯(cuò)誤率
    - 多次詢問子串哈希
  - Hash 的應(yīng)用
  - - 字符串匹配
    - 允許 k次失配的字符串匹配
    - 最長回文子串
    - 最長公共子字符串
    - 確定字符串中不同子字符串的數(shù)量
字典樹 (Trie)
- - 應(yīng)用
  - - 檢索字符串
    - AC 自動(dòng)機(jī)
    - 維護(hù)異或極值
AC 自動(dòng)機(jī)
Manacher

字符串基礎(chǔ)

字符串的存儲(chǔ)

使用 char 數(shù)組存儲(chǔ)，用空字符 \0 表示字符串的結(jié)尾。（C 風(fēng)格字符串）

使用 C++ 標(biāo)準(zhǔn)庫提供的 string 類。

字符串常量可以用字符串字面值（用雙引號括起來的字符串）表示。

標(biāo)準(zhǔn)庫

C 標(biāo)準(zhǔn)庫是在對字符數(shù)組進(jìn)行操作:char[]/const char*

代碼作用

strlen(const char *str)	返回從 str[0] 開始直到 ‘\0’ 的字符數(shù)。注意，未開啟 O2 優(yōu)化時(shí)，該操作寫在環(huán)條件中復(fù)雜度是 $O (n)$ 的。
printf("%s", s)	用 %s 來輸出一個(gè)字符串（字符數(shù)組）。
scanf("%s", &s)	用 %s 來讀入一個(gè)字符串（字符數(shù)組）。
sscanf(const char __source, const char __format, …)	從字符串 __source 里讀取變量，比如 sscanf(str,"%d",&a)。
sprintf(char __stream, const char __format, …)	將 __format 字符串里的內(nèi)容輸出到 __stream 中，比如 sprintf(str,"%d",i)。
strcmp(const char str1, const char str2)	按照字典序比較 str1 str2 若 str1 字典序小返回負(fù)值，兩者一樣返回 0，str1 字典序更大則返回正值。請注意，不要簡單的認(rèn)為返回值只有0 ，1，-1 三種，在不同平臺下的返回值都遵循正負(fù)，但并非都是 0，-1，1。
strcpy(char str, const char src)	把 src 中的字符復(fù)制到 str 中，str src 均為字符數(shù)組頭指針，返回值為 str 包含空終止符號 ‘\0’。
strncpy(char str, const char src, int cnt)	復(fù)制至多 cnt 個(gè)字符到 str 中，若 src 終止而數(shù)量未達(dá) cnt 則寫入空字符到 str 直至寫入總共 cnt 個(gè)字符。
strcat(char str1, const char str2):	將 str2 接到 str1 的結(jié)尾，用 *str2 替換 str1 末尾的 ‘\0’ 返回 str1。
strstr(char str1, const char str2)	若 str2 是 str1 的子串，則返回 str2 在 str1 的首次出現(xiàn)的地址；如果 str2 不是 str1 的子串，則返回 NULL。
strchr(const char *str, int c)	找到在字符串 str 中第一次出現(xiàn)字符 c 的位置，并返回這個(gè)位置的地址。如果未找到該字符則返回 NULL。
strrchr(const char *str, char c)	找到在字符串 str 中最后一次出現(xiàn)字符 c 的位置，并返回這個(gè)位置的地址。如果未找到該字符則返回 NULL。

C++ 標(biāo)準(zhǔn)庫是在對字符串對象進(jìn)行操作，同時(shí)也提供對字符數(shù)組的兼容。 std::string

代碼作用

重載了賦值運(yùn)算符 +	當(dāng) + 兩邊是 string/char/char[]/const char* 類型時(shí)，可以將這兩個(gè)變量連接，返回連接后的字符串（string）。
賦值運(yùn)算符 =	右側(cè)可以是 const string/string/const char/char。
訪問運(yùn)算符 [cur]	返回 cur 位置的引用。
訪問函數(shù) data()/c_str()	返回一個(gè) const char* 指針，內(nèi)容與該 string 相同。
容量函數(shù) size()	返回字符串字符個(gè)數(shù)。
find(ch, start = 0)	查找并返回從 start 開始的字符 ch 的位置；rfind(ch) 從末尾開始，查找并返回第一個(gè)找到的字符 ch 的位置（皆從 0開始）（如果查找不到，返回 -1）。
substr(start, len)	可以從字符串的 start（從 0開始）截取一個(gè)長度為 len 的字符串（缺省 len 時(shí)代碼截取到字符串末尾）。
append(s)	將 s 添加到字符串末尾。
append(s, pos, n)	將字符串 s 中，從 pos 開始的 n 個(gè)字符連接到當(dāng)前字符串結(jié)尾。
replace(pos, n, s)	刪除從 pos 開始的 n 個(gè)字符，然后在 pos 處插入串 s。
erase(pos, n)	刪除從 pos 開始的 n 個(gè)字符。
insert(pos, s)	在 pos 位置插入字符串 s。
std::string	重載了比較邏輯運(yùn)算符，復(fù)雜度是 O(n)的。

字符串匹配

單串匹配

一個(gè)模式串 (pattern)，一個(gè)待匹配串，找出前者在后者中的所有出現(xiàn)位置
舉例：Oulipo HDU - 1686（哈希或KMP）匹配字符串

多串匹配

多個(gè)模式串，一個(gè)待匹配串（多個(gè)待匹配串可以直接連起來）。
直接當(dāng)做單串匹配肯定是可以的，但是效率不夠高。
舉例：Keywords Search HDU - 2222（AC自動(dòng)機(jī)模板）

其他類型的字符串匹配問題

例如匹配一個(gè)串的任意后綴、匹配多個(gè)串的任意后綴等。

字符串哈希

Hash 的核心思想在于，將輸入映射到一個(gè)值域較小、可以方便比較的范圍。

Warning
這里的“值域較小”在不同情況下意義不同。
在哈希表中，值域需要小到能夠接受線性的空間與時(shí)間復(fù)雜度。
在字符串哈希中，值域需要小到能夠快速比較（ $10^9$ 、 $10^{18}$ 都是可以快速比較的）。
同時(shí)，為了降低哈希沖突率，值域也不能太小。

我們定義一個(gè)把字符串映射到整數(shù)的函數(shù) $f$ ，這個(gè) $f$ 稱為是 Hash 函數(shù)。
我們希望這個(gè)函數(shù) $f$ 可以方便地幫我們判斷兩個(gè)字符串是否相等。
具體來說，哈希函數(shù)最重要的性質(zhì)可以概括為下面兩條：

在 Hash 函數(shù)值不一樣的時(shí)候，兩個(gè)字符串一定不一樣；

在 Hash 函數(shù)值一樣的時(shí)候，兩個(gè)字符串不一定一樣（但有大概率一樣，且我們當(dāng)然希望它們總是一樣的）。

Hash 函數(shù)值一樣時(shí)原字符串卻不一樣的現(xiàn)象我們成為哈希碰撞。

我們需要關(guān)注的是什么？
時(shí)間復(fù)雜度和 Hash 的準(zhǔn)確率。

通常我們采用的是多項(xiàng)式 Hash 的方法，對于一個(gè)長度為 $l$ 的字符串 s來說，我們可以這樣定義多項(xiàng)式 Hash 函數(shù)： $f(s)=∑i=1ls[i]×bl?i(modf(s)=\sum^{l}_{i=1}s[i]\times b^{l-i}(mod$ $M)$ 。例如，對于字符串 $x y z$ ，其哈希函數(shù)值為 $xb^2+yb+z$ 。
特別要說明的是，也有很多人使用的是另一種 Hash 函數(shù)的定義，即 $f(s)=∑i=1ls[i]×bi?1(modf(s)=\sum^{l}_{i=1}s[i]\times b^{i-1}(mod$ $M)$ ，這種定義下，同樣的字符串 $x y z$ 的哈希值就變?yōu)榱? $x+by+zb^2$ 了。顯然，上面這兩種哈希函數(shù)的定義函數(shù)都是可行的，但二者在之后會(huì)講到的計(jì)算子串哈希值時(shí)所用的計(jì)算式是不同的，因此千萬注意不要弄混了這兩種不同的 Hash 方式。由于前者的 Hash 定義計(jì)算更簡便、使用人數(shù)更多、且可以類比為一個(gè) b 進(jìn)制數(shù)來幫助理解，所以本文下面所將要討論的都是使用 $f(s)=∑i=1ls[i]×bl?i(modf(s)=\sum^{l}_{i=1}s[i]\times b^{l-i}(mod$ $M)$ 來定義的 Hash 函數(shù)。

下面講一下如何選擇 M和計(jì)算哈希碰撞的概率。

這里 M 需要選擇一個(gè)素?cái)?shù)（至少要比最大的字符要大），b 可以任意選擇。如果我們用未知數(shù) x 替代b ，那么 $f (x)$ 實(shí)際上是多項(xiàng)式環(huán) $ZM[x]\mathbb{Z}_{M}[x]$ 上的一個(gè)多項(xiàng)式。考慮兩個(gè)不同的字符串 s，t有 $f (s) = f (t)$ 。我們記 $h(x)=f(s)?f(t)=∑i=1l(s[i]?t[i])xl?i(modh(x)=f(s)-f(t)=\sum^{l}_{i=1}(s[i]-t[i])x^{l-i}(mod$ $M)$ ，其中 $l = m a x (∣ s ∣, ∣ t ∣)$ 。可以發(fā)現(xiàn) h(x) 是一個(gè) $l ? 1$ 階的非零多項(xiàng)式。如果 s與t 在x=b 的情況下哈希碰撞，則 b是h(x) 的一個(gè)根。由于 h(x) 在 $ZM\mathbb{Z}_{M}$ 是一個(gè)域（等價(jià)于 M 是一個(gè)素?cái)?shù)，這也是為什么 M 要選擇素?cái)?shù)的原因）的時(shí)候，最多有 $l ? 1$ 個(gè)根，如果我們保證 b 是從 [0,M) 之間均勻隨機(jī)選取的，那么 $f (s)$ 與 $f (t)$ 碰撞的概率可以估計(jì)為 $l?1M\frac{l-1}{M}$ 。簡單驗(yàn)算一下，可以發(fā)現(xiàn)如果兩個(gè)字符串長度都是 1 的時(shí)候，哈希碰撞的概率為 $1?1M\frac{1-1}{M}$ =0，此時(shí)不可能發(fā)生碰撞。

Hash 的實(shí)現(xiàn)

參考代碼：（效率低下的版本，實(shí)際使用時(shí)一般不會(huì)這么寫）

using std::string;const int M = 1e9 + 7; const int B = 233;typedef long long ll;int get_hash(const string& s) {int res = 0;for (int i = 0; i < s.size(); ++i) {res = (ll)(res * B + s[i]) % M;}return res; }bool cmp(const string& s, const string& t) {return get_hash(s) == get_hash(t); }

Hash 的分析與改進(jìn)

錯(cuò)誤率

若進(jìn)行 n次比較，每次錯(cuò)誤率 $1M\frac{1}M{}$ ，那么總錯(cuò)誤率是 $1?(1?1M)n1-(1-\frac{1}{M})^{n}$ 。在隨機(jī)數(shù)據(jù)下，若 $M=10^{9}+7$ ， $n=10^6$ ，錯(cuò)誤率約為 $11000\frac{1}{1000}$ ，并不是能夠完全忽略不計(jì)的。
所以，進(jìn)行字符串哈希時(shí)，經(jīng)常會(huì)對兩個(gè)大質(zhì)數(shù)分別取模，這樣的話哈希函數(shù)的值域就能擴(kuò)大到兩者之積，錯(cuò)誤率就非常小了。

多次詢問子串哈希

單次計(jì)算一個(gè)字符串的哈希值復(fù)雜度是O(n) ，其中 n為串長，與暴力匹配沒有區(qū)別，如果需要多次詢問一個(gè)字符串的子串的哈希值，每次重新計(jì)算效率非常低下。
一般采取的方法是對整個(gè)字符串先預(yù)處理出每個(gè)前綴的哈希值，將哈希值看成一個(gè)b 進(jìn)制的數(shù)對M 取模的結(jié)果，這樣的話每次就能快速求出子串的哈希了：

令 $f_{i}(s)$ 表示 $f (s [1 . . . i])$ ，即原串長度為 $i$ 的前綴的哈希值，那么按照定義有 $fi(s)=s[1]×bi?1+s[2]×bi?2+...+s[i?1]×b+s[i]f_i(s)=s[1]\times b^{i-1}+s[2]\times b^{i-2}+...+s[i-1]\times b+s[i]$

現(xiàn)在，我們想要用類似前綴和的方式快速求出 $f (s [l . . . r])$ ，按照定義有字符串 $s [l . . . r]$ 的哈希值為 $f(s[l...r])=s[l]×br?l+s[l+1]×br?l?1+...+s[r?l]×b+s[r]f(s[l...r])=s[l]\times b^{r-l}+s[l+1]\times b^{r-l-1}+...+s[r-l]\times b+s[r]$

對比觀察上述兩個(gè)式子，我們發(fā)現(xiàn) $f(s[l...r])=fr(s)?fl?1(s)×br?l+1f(s[l...r])=f_r(s)-f_{l-1}(s)\times b^{r-l+1}$ 成立，因此我們用這個(gè)式子就可以快速得到子串的哈希值。其中 $b^{r-l+1}$ 可以O(shè)(n) 的預(yù)處理出來然后O(1) 的回答每次詢問（當(dāng)然也可以快速冪 O(log n)的回答每次詢問）。

Hash 的應(yīng)用

字符串匹配

求出模式串的哈希值后，求出文本串每個(gè)長度為模式串長度的子串的哈希值，分別與模式串的哈希值比較即可。

允許 k次失配的字符串匹配

問題：給定長為 n 的源串，以及長度為m 的模式串，要求查找源串中有多少子串與模式串匹配。 $s^{'}$ 與s 匹配，當(dāng)且僅當(dāng) $s^{'}$ 與s 長度相同，且最多有 k 個(gè)位置字符不同。其中 $1≤n,m≤1061\leq n,m\leq 10^6$ ， $0≤k≤50\leq k\leq 5$ 。

這道題無法使用 KMP 解決，但是可以通過哈希 + 二分來解決。

枚舉所有可能匹配的子串，假設(shè)現(xiàn)在枚舉的子串為 $s^{'}$ ，通過哈希 + 二分可以快速找到 $s^{'}$ 與p 第一個(gè)不同的位置。之后將 $s^{'}$ 與 p 在這個(gè)失配位置及之前的部分刪除掉，繼續(xù)查找下一個(gè)失配位置。這樣的過程最多發(fā)生 k 次。總的時(shí)間復(fù)雜度為 $O (m + k n$ $log_2$ $m)$ 。

最長回文子串

二分答案，判斷是否可行時(shí)枚舉回文中心（對稱軸），哈希判斷兩側(cè)是否相等。需要分別預(yù)處理正著和倒著的哈希值。時(shí)間復(fù)雜度 $O (n$ $l o g$ $n)$ 。
這個(gè)問題可以使用 manacher 算法在 $O (n)$ 的時(shí)間內(nèi)解決。

通過哈希同樣可以 $O (n)$ 解決這個(gè)問題，具體方法就是記 $R_{i}$ 表示以 $i$ 作為結(jié)尾的最長回文的長度，那么答案就是 $maxi=1nRimax^{n}_{i=1}R_{i}$ 。考慮到 $Ri≤Ri?1+2R_i\leq R_{i-1}+2$ ，因此我們只需要暴力從 $R_{i-1}+2$ 開始遞減，直到找到第一個(gè)回文即可。記變量 $z$ 表示當(dāng)前枚舉的 $R_i$ ，初始時(shí)為0 ，則 $z$ 在每次 $i$ 增大的時(shí)候都會(huì)增大 2，之后每次暴力循環(huán)都會(huì)減少1 ，故暴力循環(huán)最多發(fā)生2n 次，總的時(shí)間復(fù)雜度為 O(n)。

最長公共子字符串

問題：給定 m 個(gè)總長不超過n 的非空字符串，查找所有字符串的最長公共子字符串，如果有多個(gè)，任意輸出其中一個(gè)。其中 $1≤m,n≤1061\leq m,n\leq10^6$ 。

很顯然如果存在長度為k 的最長公共子字符串，那么 k-1 的公共子字符串也必定存在。因此我們可以二分最長公共子字符串的長度。假設(shè)現(xiàn)在的長度為k ，check(k) 的邏輯為我們將所有所有字符串的長度為k 的子串分別進(jìn)行哈希，將哈希值放入 n 個(gè)哈希表中存儲(chǔ)。之后求交集即可。
時(shí)間復(fù)雜度為 $O (n$ $log_2$ $nm)\frac{n}{m})$ 。

確定字符串中不同子字符串的數(shù)量

問題：給定長為n 的字符串，僅由小寫英文字母組成，查找該字符串中不同子串的數(shù)量。

為了解決這個(gè)問題，我們遍歷了所有長度為 $l = 1, . . ., n$ 的子串。對于每個(gè)長度為 $l$ ，我們將其 Hash 值乘以相同的 b 的冪次方，并存入一個(gè)數(shù)組中。數(shù)組中不同元素的數(shù)量等于字符串中長度不同的子串的數(shù)量，并此數(shù)字將添加到最終答案中。
為了方便起見，我們將使用 $h [i]$ 作為 Hash 的前綴字符，并定義 $h [0] = 0$ 。

字典樹 (Trie)

字典樹，英文名 trie。顧名思義，就是一個(gè)像字典一樣的樹。
先放一張圖：

可以發(fā)現(xiàn)，這棵字典樹用邊來代表字母，而從根結(jié)點(diǎn)到樹上某一結(jié)點(diǎn)的路徑就代表了一個(gè)字符串。舉個(gè)例子， $1→4→8→121\rightarrow4\rightarrow8\rightarrow12$ 表示的就是字符串 caa。

trie 的結(jié)構(gòu)非常好懂，我們用 $δ(u,c)\delta(u,c)$ 表示結(jié)點(diǎn) $u$ 的 $c$ 字符指向的下一個(gè)結(jié)點(diǎn)，或著說是結(jié)點(diǎn) $u$ 代表的字符串后面添加一個(gè)字符 $c$ 形成的字符串的結(jié)點(diǎn)。（ $c$ 的取值范圍和字符集大小有關(guān)，不一定是 $0$ ~26。）

有時(shí)需要標(biāo)記插入進(jìn) trie 的是哪些字符串，每次插入完成時(shí)在這個(gè)字符串所代表的節(jié)點(diǎn)處打上標(biāo)記即可。
Phone List POJ - 3630（字典樹模板題）

應(yīng)用

檢索字符串

字典樹最基礎(chǔ)的應(yīng)用——查找一個(gè)字符串是否在“字典”中出現(xiàn)過。
例題：字典樹模板+洛谷P2580 于是他錯(cuò)誤的點(diǎn)名開始了

AC 自動(dòng)機(jī)

trie 是 AC 自動(dòng)機(jī) 的一部分。

維護(hù)異或極值

將數(shù)的二進(jìn)制表示看做一個(gè)字符串，就可以建出字符集為{0,1} 的 trie 樹。

前綴函數(shù)與 KMP 算法
Boyer-Moore算法
Z 函數(shù)（擴(kuò)展 KMP）
自動(dòng)機(jī)

AC 自動(dòng)機(jī)

Keywords Search HDU - 2222（AC自動(dòng)機(jī)模板）

后綴數(shù)組 (SA)
后綴自動(dòng)機(jī) (SAM)
后綴平衡樹
廣義后綴自動(dòng)機(jī)
后綴樹

Manacher

最長回文 HDU - 3068（求最長回文串的長度【馬拉車算法Manacher】）

回文樹
序列自動(dòng)機(jī)
最小表示法
Lyndon 分解

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的字符串相关的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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字符串

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