文章目錄

• 字符串基礎
• • • 字符串的存儲
• 標準庫
• 字符串匹配
• • • • 單串匹配
      • 多串匹配
      • 其他類型的字符串匹配問題
• 字符串哈希
• • • Hash 的實現
    • Hash 的分析與改進
    • • 錯誤率
      • 多次詢問子串哈希
    • Hash 的應用
    • • 字符串匹配
      • 允許 k次失配的字符串匹配
      • 最長回文子串
      • 最長公共子字符串
      • 確定字符串中不同子字符串的數量
• 字典樹 (Trie)
• • • 應用
    • • 檢索字符串
      • AC 自動機
      • 維護異或極值
• AC 自動機
• Manacher

字符串基礎

字符串的存儲

使用 char 數組存儲，用空字符 \0 表示字符串的結尾。（C 風格字符串）

使用 C++ 標準庫提供的 string 類。

字符串常量可以用字符串字面值（用雙引號括起來的字符串）表示。

標準庫

C 標準庫是在對字符數組進行操作:char[]/const char*

代碼作用

strlen(const char *str)	返回從 str[0] 開始直到 ‘\0’ 的字符數。注意，未開啟 O2 優化時，該操作寫在環條件中復雜度是 $O(n)$的。
printf("%s", s)	用 %s 來輸出一個字符串（字符數組）。
scanf("%s", &s)	用 %s 來讀入一個字符串（字符數組）。
sscanf(const char *__source, const char *__format, …)	從字符串 __source 里讀取變量，比如 sscanf(str,"%d",&a)。
sprintf(char *__stream, const char *__format, …)	將 __format 字符串里的內容輸出到 __stream 中，比如 sprintf(str,"%d",i)。
strcmp(const char *str1, const char *str2)	按照字典序比較 str1 str2 若 str1 字典序小返回負值，兩者一樣返回 0，str1 字典序更大則返回正值。請注意，不要簡單的認為返回值只有0 ，1，-1 三種，在不同平臺下的返回值都遵循正負，但并非都是 0，-1，1。
strcpy(char *str, const char *src)	把 src 中的字符復制到 str 中，str src 均為字符數組頭指針，返回值為 str 包含空終止符號 ‘\0’。
strncpy(char *str, const char *src, int cnt)	復制至多 cnt 個字符到 str 中，若 src 終止而數量未達 cnt 則寫入空字符到 str 直至寫入總共 cnt 個字符。
strcat(char *str1, const char *str2):	將 str2 接到 str1 的結尾，用 *str2 替換 str1 末尾的 ‘\0’ 返回 str1。
strstr(char *str1, const char *str2)	若 str2 是 str1 的子串，則返回 str2 在 str1 的首次出現的地址；如果 str2 不是 str1 的子串，則返回 NULL。
strchr(const char *str, int c)	找到在字符串 str 中第一次出現字符 c 的位置，并返回這個位置的地址。如果未找到該字符則返回 NULL。
strrchr(const char *str, char c)	找到在字符串 str 中最后一次出現字符 c 的位置，并返回這個位置的地址。如果未找到該字符則返回 NULL。

C++ 標準庫是在對字符串對象進行操作，同時也提供對字符數組的兼容。 std::string

代碼作用

重載了賦值運算符 +	當 + 兩邊是 string/char/char[]/const char* 類型時，可以將這兩個變量連接，返回連接后的字符串（string）。
賦值運算符 =	右側可以是 const string/string/const char*/char*。
訪問運算符 [cur]	返回 cur 位置的引用。
訪問函數 data()/c_str()	返回一個 const char* 指針，內容與該 string 相同。
容量函數 size()	返回字符串字符個數。
find(ch, start = 0)	查找并返回從 start 開始的字符 ch 的位置；rfind(ch) 從末尾開始，查找并返回第一個找到的字符 ch 的位置（皆從 0開始）（如果查找不到，返回 -1）。
substr(start, len)	可以從字符串的 start（從 0開始）截取一個長度為 len 的字符串（缺省 len 時代碼截取到字符串末尾）。
append(s)	將 s 添加到字符串末尾。
append(s, pos, n)	將字符串 s 中，從 pos 開始的 n 個字符連接到當前字符串結尾。
replace(pos, n, s)	刪除從 pos 開始的 n 個字符，然后在 pos 處插入串 s。
erase(pos, n)	刪除從 pos 開始的 n 個字符。
insert(pos, s)	在 pos 位置插入字符串 s。
std::string	重載了比較邏輯運算符，復雜度是 O(n)的。

字符串匹配

單串匹配

一個模式串 (pattern)，一個待匹配串，找出前者在后者中的所有出現位置
舉例：Oulipo HDU - 1686（哈希或KMP）匹配字符串

多串匹配

多個模式串，一個待匹配串（多個待匹配串可以直接連起來）。
直接當做單串匹配肯定是可以的，但是效率不夠高。
舉例：Keywords Search HDU - 2222（AC自動機模板）

其他類型的字符串匹配問題

例如匹配一個串的任意后綴、匹配多個串的任意后綴等。

字符串哈希

Hash 的核心思想在于，將輸入映射到一個值域較小、可以方便比較的范圍。

Warning
這里的“值域較小”在不同情況下意義不同。
在 哈希表 中，值域需要小到能夠接受線性的空間與時間復雜度。
在字符串哈希中，值域需要小到能夠快速比較（$10^9$、$10^{18}$ 都是可以快速比較的）。
同時，為了降低哈希沖突率，值域也不能太小。

我們定義一個把字符串映射到整數的函數 $f$，這個$f$ 稱為是 Hash 函數。
我們希望這個函數 $f$ 可以方便地幫我們判斷兩個字符串是否相等。
具體來說，哈希函數最重要的性質可以概括為下面兩條：

在 Hash 函數值不一樣的時候，兩個字符串一定不一樣；

在 Hash 函數值一樣的時候，兩個字符串不一定一樣（但有大概率一樣，且我們當然希望它們總是一樣的）。

Hash 函數值一樣時原字符串卻不一樣的現象我們成為哈希碰撞。

我們需要關注的是什么？
時間復雜度和 Hash 的準確率。

通常我們采用的是多項式 Hash 的方法，對于一個長度為 $l$ 的字符串 s來說，我們可以這樣定義多項式 Hash 函數：$f(s)={\sum }_{i=1}^{l}s[i]\times b^{l?i}(mod$ $M)$。例如，對于字符串$xyz$ ，其哈希函數值為$x{b}^2+yb+z$ 。
特別要說明的是，也有很多人使用的是另一種 Hash 函數的定義，即$f(s)={\sum }_{i=1}^{l}s[i]\times b^{i?1}(mod$ $M)$ ，這種定義下，同樣的字符串 $xyz$的哈希值就變為了 $x+by+z{b}^2$ 了。顯然，上面這兩種哈希函數的定義函數都是可行的，但二者在之后會講到的計算子串哈希值時所用的計算式是不同的，因此千萬注意 不要弄混了這兩種不同的 Hash 方式。由于前者的 Hash 定義計算更簡便、使用人數更多、且可以類比為一個 b 進制數來幫助理解，所以本文下面所將要討論的都是使用 $f(s)={\sum }_{i=1}^{l}s[i]\times b^{l?i}(mod$ $M)$ 來定義的 Hash 函數。

下面講一下如何選擇 M和計算哈希碰撞的概率。

這里 M 需要選擇一個素數（至少要比最大的字符要大），b 可以任意選擇。如果我們用未知數 x 替代b ，那么$f(x)$ 實際上是多項式環${\mathbb{Z}}_M[x]$ 上的一個多項式。考慮兩個不同的字符串 s，t有$f(s)=f(t)$ 。我們記$h(x)=f(s)?f(t)={\sum }_{i=1}^l(s[i]?t[i])x^{l?i}(mod$ $M)$ ，其中$l=max(|s|,|t|)$ 。可以發現 h(x) 是一個 $l?1$ 階的非零多項式。如果 s與t 在x=b 的情況下哈希碰撞，則 b是h(x) 的一個根。由于 h(x) 在${\mathbb{Z}}_M$ 是一個域（等價于 M 是一個素數，這也是為什么 M 要選擇素數的原因）的時候，最多有$l?1$ 個根，如果我們保證 b 是從 [0,M) 之間均勻隨機選取的，那么 $f(s)$ 與 $f(t)$ 碰撞的概率可以估計為 $\frac{l?1}{M}$。簡單驗算一下，可以發現如果兩個字符串長度都是 1 的時候，哈希碰撞的概率為 $\frac{1?1}{M}$=0，此時不可能發生碰撞。

Hash 的實現

參考代碼：（效率低下的版本，實際使用時一般不會這么寫）

using std::string;const int M = 1e9 + 7; const int B = 233;typedef long long ll;int get_hash(const string& s) {int res = 0;for (int i = 0; i < s.size(); ++i) {res = (ll)(res * B + s[i]) % M;}return res; }bool cmp(const string& s, const string& t) {return get_hash(s) == get_hash(t); }

Hash 的分析與改進

錯誤率

若進行 n次比較，每次錯誤率 $\frac{1}{M}$，那么總錯誤率是$1?(1?\frac{1}{M}{)}^n$。在隨機數據下，若$M=10^9+7$ ，$n=10^6$，錯誤率約為 $\frac{1}{1000}$，并不是能夠完全忽略不計的。
所以，進行字符串哈希時，經常會對兩個大質數分別取模，這樣的話哈希函數的值域就能擴大到兩者之積，錯誤率就非常小了。

多次詢問子串哈希

單次計算一個字符串的哈希值復雜度是O(n) ，其中 n為串長，與暴力匹配沒有區別，如果需要多次詢問一個字符串的子串的哈希值，每次重新計算效率非常低下。
一般采取的方法是對整個字符串先預處理出每個前綴的哈希值，將哈希值看成一個b 進制的數對M 取模的結果，這樣的話每次就能快速求出子串的哈希了：

令$f_i(s)$ 表示 $f(s[1...i])$，即原串長度為 $i$ 的前綴的哈希值，那么按照定義有 $f_i(s)=s[1]\times b^{i?1}+s[2]\times b^{i?2}+...+s[i?1]\times b+s[i]$

現在，我們想要用類似前綴和的方式快速求出$f(s[l...r])$ ，按照定義有字符串 $s[l...r]$的哈希值為 $f(s[l...r])=s[l]\times b^{r?l}+s[l+1]\times b^{r?l?1}+...+s[r?l]\times b+s[r]$

對比觀察上述兩個式子，我們發現 $f(s[l...r])=f_r(s)?f_{l?1}(s)\times b^{r?l+1}$ 成立，因此我們用這個式子就可以快速得到子串的哈希值。其中$b^{r?l+1}$ 可以O(n) 的預處理出來然后O(1) 的回答每次詢問（當然也可以快速冪 O(log n)的回答每次詢問）。

Hash 的應用

字符串匹配

求出模式串的哈希值后，求出文本串每個長度為模式串長度的子串的哈希值，分別與模式串的哈希值比較即可。

允許 k次失配的字符串匹配

問題：給定長為 n 的源串 ，以及長度為m 的模式串 ，要求查找源串中有多少子串與模式串匹配。$s^{\prime }$ 與s 匹配，當且僅當 $s^{\prime }$與s 長度相同，且最多有 k 個位置字符不同。其中 $1\le n,m\le 10^6$，$0\le k\le 5$。

這道題無法使用 KMP 解決，但是可以通過哈希 + 二分來解決。

枚舉所有可能匹配的子串，假設現在枚舉的子串為$s^{\prime }$ ，通過哈希 + 二分可以快速找到 $s^{\prime }$ 與p 第一個不同的位置。之后將 $s^{\prime }$ 與 p 在這個失配位置及之前的部分刪除掉，繼續查找下一個失配位置。這樣的過程最多發生 k 次。總的時間復雜度為$O(m+kn$ $lo{g}_2$ $m)$ 。

最長回文子串

二分答案，判斷是否可行時枚舉回文中心（對稱軸），哈希判斷兩側是否相等。需要分別預處理正著和倒著的哈希值。時間復雜度$O(n$ $log$ $n)$ 。
這個問題可以使用 manacher 算法 在 $O(n)$ 的時間內解決。

通過哈希同樣可以$O(n)$ 解決這個問題，具體方法就是記 $R_i$ 表示以 $i$ 作為結尾的最長回文的長度，那么答案就是$ma{x}_{i=1}^n{R}_i$ 。考慮到 $R_i\le R_{i?1}+2$，因此我們只需要暴力從 $R_{i?1}+2$開始遞減，直到找到第一個回文即可。記變量 $z$ 表示當前枚舉的 $R_i$，初始時為0 ，則 $z$ 在每次 $i$ 增大的時候都會增大 2，之后每次暴力循環都會減少1 ，故暴力循環最多發生2n 次，總的時間復雜度為 O(n)。

最長公共子字符串

問題：給定 m 個總長不超過n 的非空字符串，查找所有字符串的最長公共子字符串，如果有多個，任意輸出其中一個。其中$1\le m,n\le 10^6$ 。

很顯然如果存在長度為k 的最長公共子字符串，那么 k-1 的公共子字符串也必定存在。因此我們可以二分最長公共子字符串的長度。假設現在的長度為k ，check(k) 的邏輯為我們將所有所有字符串的長度為k 的子串分別進行哈希，將哈希值放入 n 個哈希表中存儲。之后求交集即可。
時間復雜度為$O(n$ $lo{g}_2$ $\frac{n}{m})$ 。

確定字符串中不同子字符串的數量

問題：給定長為n 的字符串，僅由小寫英文字母組成，查找該字符串中不同子串的數量。

為了解決這個問題，我們遍歷了所有長度為 $l=1,...,n$ 的子串。對于每個長度為 $l$，我們將其 Hash 值乘以相同的 b 的冪次方，并存入一個數組中。數組中不同元素的數量等于字符串中長度不同的子串的數量，并此數字將添加到最終答案中。
為了方便起見，我們將使用 $h[i]$ 作為 Hash 的前綴字符，并定義$h[0]=0$ 。

字典樹 (Trie)

字典樹，英文名 trie。顧名思義，就是一個像字典一樣的樹。
先放一張圖：

可以發現，這棵字典樹用邊來代表字母，而從根結點到樹上某一結點的路徑就代表了一個字符串。舉個例子，$1\to 4\to 8\to 12$ 表示的就是字符串 caa。

trie 的結構非常好懂，我們用 $\delta (u,c)$ 表示結點$u$ 的 $c$ 字符指向的下一個結點，或著說是結點 $u$ 代表的字符串后面添加一個字符 $c$ 形成的字符串的結點。（ $c$ 的取值范圍和字符集大小有關，不一定是 $0$~26。）

有時需要標記插入進 trie 的是哪些字符串，每次插入完成時在這個字符串所代表的節點處打上標記即可。
Phone List POJ - 3630（字典樹模板題）

應用

檢索字符串

字典樹最基礎的應用——查找一個字符串是否在“字典”中出現過。
例題：字典樹模板+洛谷P2580 于是他錯誤的點名開始了

AC 自動機

trie 是 AC 自動機 的一部分。

維護異或極值

將數的二進制表示看做一個字符串，就可以建出字符集為{0,1} 的 trie 樹。

前綴函數與 KMP 算法
Boyer-Moore算法
Z 函數（擴展 KMP）
自動機

AC 自動機

Keywords Search HDU - 2222（AC自動機模板）

后綴數組 (SA)
后綴自動機 (SAM)
后綴平衡樹
廣義后綴自動機
后綴樹

Manacher

最長回文 HDU - 3068（求最長回文串的長度【馬拉車算法Manacher】）

回文樹
序列自動機
最小表示法
Lyndon 分解

總結

以上是生活随笔為你收集整理的字符串相关的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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