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在不考慮柯西序列的情況下：

.

1.00000000000000000……-0.9999999…….結果為 0.000…，也就是后面的 0 無限循環。這兩個數目在這里是無限循環小數，小數點后五位之后還會一直填上 0，始終無法找到最后一位來填上 1。

1.000… - 0.999… = 0.000… = 0，故 1 = 0.999… 。

這假設了 0.999…沒有“最后的9”、這些無限循環小數的小數點后的位數為可列的(可以由第一個數位一個位一個位數下去而于有限次數到任一個數位)(這已得出 0.999…沒有“最后的9”)、 1.000… - 0.999…的結果存在小數表示式。運算結果將沒有“最后的1”，所以1與0.999…沒有差值。

位數操作

另外一種證明更加適用于其它循環小數。當一個小數乘以10時，其數字不變，但小數點向右移了一位。因此10 × 0.999…等于9.999…，它比原來的數大9。

考慮從9.999…減去0.999…。我們可以一位一位地減；在小數點后的每一位，結果都是9 - 9，也就是0。但末尾的零并不能改變一個數，所以相差精確地是9。最后一個步驟用到了代數。設0.999… = c，則10c ? c = 9，也就是9c = 9。等式兩端除以9，便得證：c = 1。用一系列方程來表示，就是

c=0.999...

10c=9.999...

10c-c=9.999...-0.999...

9c=9

c=1

0.999...=1

以上兩個證明中的位數操作的正確性，并不需要盲目相信，也無需視為公理；它是從小數和所表示的數之間的基本關系得出的。這個關系，可以用幾個等價的方法來表示，已經規定了0.999…和1.000…都表示相同的數。

實分析

由于0.999…的問題并不影響數學的正式發展，因此我們可以暫緩進行研究，直到證明了實數分析的標準定理為止。其中一個要求，是要刻劃所有能表示成小數的實數的特征，由一個可選擇的符號、構成整數部分的有限個數字、一個小數點，以及構成小數部分的一系列數字組成。為了討論0.999…的目的，我們可以把整數部分概括為b0，并可以忽略負號，這樣小數展開式就具有如下的形式：

小數部分與整數部分不一樣，整數部分只能有有限個數字，而小數部分則可以有無窮多個數字。這一點是至關重要的。這是一個進位制，所以500中的5是50中的5的十倍，而0.05中的5則是0.5中的5的十分之一。

無窮級數和數列

也許小數展開式最常見的發展，是把它們定義為無窮級數的和。一般地：

對于0.999...來說，我們可以使用等比級數的有力的收斂定理：

如果|r|<1，則

由于0.999...是公比為的等比級數的和，應用以上定理，很快就可以得出證明了：

，

這個證明(實際上是10等于9.999...)早在1770年就在瑞士數學家萊昂哈德·歐拉的作品《Elements of Algebra》(《代數的要素》)中出現了。

等比級數的和本身，是一個比歐拉還要早的結果。一個典型的18世紀的推導用到了逐項的操作，類似于以上的代數證明。直到1811年，Bonnycastle的教科書《An Introduction to Algebra》(《代數的介紹》)依然使用這種等比級數的方法來證明對0.999...使用的策略是正當的。在19世紀，這種隨隨便便的求和方法遭到了反對，這樣便導致了現今仍然占有支配地位的定義：一個無窮級數的和定義為數列的部分和的極限。該定理的一個對應的證明，明確地把這個數列計算出來了；這可以在任何一本以證明為基礎的微積分或數學分析的教科書中找到。

對于數列(x0，x1，x2，...)來說，如果當n增大時，距離|x?xn|變得任意地小，那么這個數列就具有極限x。0.999...=1的表述，可以用極限的概念來闡釋和證明：

最后一個步驟——通常由實數的阿基米德原理來證實。這個以極限為基礎的對0.999...的看法，有時會用比較引人注意但不太精確的話語來表達。例如，在1846年的美國教科書《大學算術》(《The University Arithmetic》)中有這么一句：“0.999+，到無窮遠處等于1，這是因為每加上一個9，都會使它的值更加接近于1”(.999+,continuedto infinity =1, because every annexation of a 9 brings the value closer to 1)；在1895年的美國教科書《Arithmeticfor Schools》(《學校算術》)中也有：“...如果有非常多的9，那么1和0.99999...的差就小得難以想像了”(“...when a large number of 9s is taken, the difference between 1 and.99999... becomes inconceivably small”)。這種啟發式的教學法，常常被學生們誤解為0.999...本身就小于1。

區間套和最小上界

總結

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