【問題描述】
最近對問題要求在包含有n個點的集合S中，找出距離最近的兩個點。設 p1(x1,y1)，p2(x2,y2)，……，pn(xn,yn)是平面的n個點。

嚴格地將，最近點對可能不止一對，此例輸出一對即可。

【基本算法思想】
暴力法：
在蠻力法實現最近點對問題中，將問題簡化：距離最近的點對可能多于一對，找出一對即可，另外只考慮二維平面中的情況。此處考慮到
直接用公式計算其距離（歐幾里得距離）：

通過遍歷所有點集，計算出每一個點對的距離，計算出最近的距離并輸出。避免同一對點計算兩次，只考慮i<j的點對(pi,pj)。
其主要循環的步驟就是求出平方值，執行的次數為：

分治法:
在利用分治法思想解決此問題時，首先考慮將最近對問題進行分治，設計其分治策略。將集合S分成兩個子集S1和S2，根據
平衡子問題原則，每個子集中的點數大致都為n/2。這樣分治后，最近點對將會出現三種情況：在S1中，在S2中或者最近
點對分別在集合S1和S2中。利用遞歸分析法分別計算前兩種情況，第三種方法另外分析。求解出三類子情況后，
再合并三類情況，比較分析后輸出三者中最小的距離。

復雜度分析: 在分治算法中，當求解n個點的集合的最近點對時，對于上述三類情況中的前兩者可由遞歸算得，
而分析可得第三類情況的時間代價 ，合并后問題求解的總的時間按復雜度可由下列公式來：

//分治法求解最近點對問題(C++) #include<stdio.h> #include<math.h> #include<string.h> #include<algorithm> #include<iostream> using namespace std; struct point{ //點結構double x,y; }; double Distance(point a,point b){return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y)); } bool cmp(point a,point b){ //按y升排序輔助函數return a.y<b.y; } bool cmp2(point a,point b){ //按x升排序輔助函數return a.x<b.x; } double closestPoint(point s[],int low,int high,point rec[]){double d1,d2,d3,d;int mid,i,j,index;double x1,y1,x2,y2; //記錄點對的位置point P[high-low+1],temp1[2],temp2[2],temp3[2]; //輔助空間if(high-low==1){ //兩個點的情況rec[0].x=s[low].x;rec[0].y=s[low].y;rec[1].x=s[high].x;rec[1].y=s[high].y;return Distance(s[low],s[high]);}if(high-low==2){ //三個點的情況d1=Distance(s[low],s[low+1]);d2=Distance(s[low+1],s[high]);d3=Distance(s[low],s[high]);if((d1<d2)&&(d1<d3)){rec[0].x=s[low].x;rec[0].y=s[low].y;rec[1].x=s[low+1].x;rec[1].y=s[low+1].y;return d1;}else if(d2<d3){rec[0].x=s[low+1].x;rec[0].y=s[low+1].y;rec[1].x=s[high].x;rec[1].y=s[high].y;return d2;}else {rec[0].x=s[low].x;rec[0].y=s[low].y;rec[1].x=s[high].x;rec[1].y=s[high].y;return d3;}}mid=(low+high)/2; //其他情況遞歸d1=closestPoint(s,low,mid,rec);temp1[0]=rec[0];temp1[1]=rec[1];d2=closestPoint(s,mid+1,high,rec);temp2[0]=rec[0];temp2[1]=rec[1];if(d1<d2){d=d1;rec[0]=temp1[0];rec[1]=temp1[1];}else {d=d2;rec[0]=temp2[0];rec[1]=temp2[1];}index=0;for(i=mid;(i>=low)&&((s[mid].x-s[i].x)<d);i--) //點集合p1P[index++]=s[i];for(i=mid+1;(i<=high)&&((s[i].x-s[mid].x)<d);i++) //點集合p2P[index++]=s[i];sort(P,P+index,cmp); //升序排列for(i=0;i<index;i++){for(j=j+1;j<index;i++){if((P[j].y-P[i].y)>=d)break;else {d3=Distance(P[i],P[j]);if(d3<d){rec[0].x=P[i].x;rec[0].y=P[i].y;rec[1].x=P[j].x;rec[1].y=P[j].y;d=d3;}}}}return d; } int main(){point p[10]; //設定點的集合int n;double minDist;cout<<"輸入點的個數：\n"; //輸入點的個數cin>>n;cout<<"輸入點集:（x,y）\n";for(int i=0;i<n;i++)cin>>p[i].x>>p[i].y;sort(p,p+n,cmp2); //對輸入的點先排序point index[2];minDist=closestPoint(p,0,n-1,index);cout<<"最小距離點對為：("<<index[0].x<<","<<index[0].y<<"),("<<index[1].x<<","<<index[1].y<<")\n";cout<<"最小距離為：\n"<<minDist; //輸出點對的最小問題return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法设计与分析——递归与分治策略——最接近点对问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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