內容提要:

1 群代數; 2 域上的有限維群代數和Maschke定理; 3 函數環(huán); 4 代數閉域上的群表示論; 本文主要參考文獻.

本文的前置內容為:

格羅卜：群論(1): 群, 同構定理, 循環(huán)群

格羅卜：群論(2): 群作用, Sylow定理

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1-1. [群代數] 如果

是一個群, 為一個交換環(huán). 我們來定義群代數 .

• (1) 首先是自由 -模, 它有基
• (2) 的乘法由群乘法給出, 并線性擴張到整個 上.

注:

的幺元為 .

1-2. [整群環(huán)上的模] 如果

是一個群, 則稱 為整群環(huán). 整群環(huán) 上有左模 , 那么對于 和 , 成立:

• ;
• ;
• .

反之, 假如我們有群

和交換群 , 作用在 上滿足這三點:

• ;
• .

那么交換群

有唯一的 -模結構.

1-3. [群代數的泛性質]

是一個群, 為一個交換環(huán). 群代數 是一個 -代數 和一個映射 的對 , 滿足如下泛性質: 對任意的 -代數 和任意滿足 和 的映射 , 都存在唯一的 -代數同態(tài) , 滿足 .

1-4. [乘積的群代數]

是一個群, 為一個交換環(huán). 那么 的群代數為 .[證明] 抽象廢話.

2 域上的有限維群代數和Maschke定理

2-1. [非特征

情形群代數可以不半單] 是有限群, 是域. , 那么 不是半單環(huán). [證明] 首先定義一個特殊元素 , 它顯然不是 , 并且對于任意的 都有 , 由此可見 是一個雙側理想.
然而 , 也就是說 , .

2-2. [向量空間態(tài)射變模態(tài)射]

是有限群, 是域. . 對于任意的 和 , 定義 , 那么有 .

2-3. [Maschke定理]

是有限群, 是域. , 那么 是半單環(huán). [證明] 對于任意的 和 的子模 ,
作為 -向量空間有直和分解: ,
考慮投射 , 并令 , 于是有 , , 因此 .

2-4. [例子]

是 階循環(huán)群, 是域, 則 .

2-5. [例子]

, 是域, 則 同構于Laurent多項式環(huán).

3 函數環(huán)

3-1. [點態(tài)函數環(huán)]

是有限群, 是域. 現在來給出群代數的對偶, 也就是點態(tài)函數環(huán).

我們記

, 也就是全體函數 .

• 作為有限維 -向量空間有對偶基: 即

我們來給出

的乘法結構.

• 的乘法: 點態(tài)乘法.
• 的幺元為 即在任意 處取 值的函數.
• 的零元為 , 即任意 處取 值的函數.
• 為兩兩正交的冪等元, 所以 .

3-2. [卷積函數環(huán)]

是有限群, 是域. 現在來給出另一種函數環(huán), 也就是卷積函數環(huán).

我們記

, 也就是全體函數 .

• 作為有限維 -向量空間有對偶基: 即

我們來給出

的乘法結構.

• 的乘法: 任意 定義乘法: .
• 的幺元為 .
• 的零元為 , 即任意 處取 值的函數.
• , 所以作為 -代數有 .

4 代數閉域上的群表示論

4-0. 基本假定: 在此小節(jié)中, 始終假定

是有限群, 是代數閉域, .

4-1. [分解為矩陣環(huán)的積] 由于

是有限群, 是代數閉域, . 那么根據 Wedderburn-Artin定理, 我們有 .

4-2. [數量關系] 條件同4-1, 我們有

.[證明] 直接比較維數即可.

4-3.

作為 的子代數有自然的 -模結構, 由 , 確定, 因此存在如下的正合序列:

,

• 我們總是可以認為 , 即分解中的子代數 .

4-4. [共軛類] 用

表示 的全部共軛類, 令 , 那么 都在 的中心.

4-5. [群代數的中心] 根據定義, 我們有:

.

進一步地, 有:

.[證明] 首先, 顯然的 是 -線性無關的.
然后, 對于任意 , 任意 , 由 可以得到
對任意 , .

4-6. [數量關系] 我們有

. 這里 在4-4中定義, 在4-1中定義.

4-7. [交換群情形]

是交換群當且僅當有 .

4-8. [Schur引理]

是有限群, 是代數閉域, . 是單 -模, 那么 .[證明] 是有限維可除 -代數, 因此 .

4-9. [一般線性群] 給定

-向量空間, 的一般線性群是所有到上的可逆線性變換的集合, 和函數復合作為二元運算組成的群.

4-10. [有限群的表示]

為有限群, 的一個表示是一個從到 的群同態(tài), 這里 為 -向量空間,.

4-11. [一一對應] 給定

-模, 則是-向量空間, 且模作用自然誘導了一個在上的線性表示. 給定一-線性空間與群表示, 則該表示自然確定了一個上的-模結構. 特別的, 這兩種自然對應是一一對應.

本文主要參考文獻: Joseph J.Rotman : 高等近世代數, Advanced Modern Algebra, 出版社:機械工業(yè)出版社, ISBN:9787111191605

高等近世代數 (豆瓣)?book.douban.com

總結

以上是生活随笔為你收集整理的群同态基本定理证明_群论(7): 群代数, 群表示基础的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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