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Python机器学习笔记：奇异值分解（SVD）算法

發(fā)布時間：2023/12/4 综合教程 42 生活家

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 Python机器学习笔记：奇异值分解（SVD）算法小編覺得挺不錯的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個參考.

完整代碼及其數(shù)據(jù)，請移步小編的GitHub

　　傳送門：請點擊我

　　如果點擊有誤：https://github.com/LeBron-Jian/MachineLearningNote

　　奇異值分解（Singular Value Decomposition，后面簡稱 SVD）是在線性代數(shù)中一種重要的矩陣分解，它不光可用在降維算法中（例如PCA算法）的特征分解，還可以用于推薦系統(tǒng)，以及自然語言處理等領(lǐng)域，在機器學(xué)習(xí)，信號處理，統(tǒng)計學(xué)等領(lǐng)域中有重要應(yīng)用。

　　比如之前的學(xué)習(xí)的PCA，掌握了SVD原理后再去看PCA是非常簡單的，因為我最近在整理學(xué)習(xí)線性代數(shù)基礎(chǔ)，并溫習(xí)了一遍特征值與特征向量，所以這里同時也溫習(xí)一下SVD算法，如果想看我之前的PCA降維的文章，可以參考下面：

Python機器學(xué)習(xí)筆記：主成分分析（PCA）算法

Python機器學(xué)習(xí)筆記：使用scikit-learn工具進行PCA降維

　　好了，話不多說，這里再對SVD算法做一個總結(jié)（這里總結(jié)主線是參考劉建平大佬和老師的網(wǎng)課視頻學(xué)習(xí)，首先在這里提出感謝）

1，基變換與特征值分解

1.1 向量的表示與基變換

　　首先看看向量，向量可以表示為（3, 2），實際上表示線性組合：

　　基表示：（1, 0）和（0, 1）叫做二維空間中的一組基。

　　一組基就確定了對向量進行表示的空間，而向量的表示就是基于這組基進行坐標表示。選定的基不同，空間自然不同，那么向量表示的坐標自然也不同。一般情況下，我們會默認傳統(tǒng)的正交坐標系為標準的基選擇，但其實對傳統(tǒng)正交坐標系進行選擇，放縮或剪切變換后得到的依然是一個坐標系。

　　基變換：數(shù)據(jù)與一個基做內(nèi)積運算，結(jié)果作為第一個新的坐標分量，然后與第二個基做內(nèi)積運算，結(jié)果作為第二個新坐標的分量。

　　將一組基A下的坐標轉(zhuǎn)換成另一組集B下的坐標——核心思想就是將A中的基用B對應(yīng)的坐標系進行表示，將該向量在A下的坐標表示變換成關(guān)于基A的線性組合，進行代換即可。

　　數(shù)據(jù)（3， 2）映射到基中坐標為：

1.2 特征值分解

　　首先回歸下特征值和特征向量的定義，其定義如下：

　　其中A是一個 n * n 的矩陣，x 是一個 n 維向量，則我們說λ 是矩陣A的一個特征值，而 x 是矩陣A的特征值 λ 所對應(yīng)的特征向量。

　　求出特征值和特征向量有什么好處呢？就是我們可以將矩陣 A 特征分解。如果我們求出了矩陣 A 的 n 個特征值λ₁ <= λ₂ <= λ_n ，以及這 n 個特征值所對應(yīng)的特征向量 {W₁, W₂, ...W_n}，如果這 n 個特征向量線性無關(guān)，那么矩陣 A 就可以用下式的特征分解表示：

　　其中 W 是這 n 個特征向量所長成的 n * n 維矩陣，而 Σ 為這個 n 個特征值為主對角線的 n * n 維矩陣。

　　一般我們會把 W 的這 n 個特征向量標準化，即滿足 ||w_i||₂ = 1，或者說 w_i^Tw_i=1，此時 W 的 n 個特向量為標準正交基，滿足W^TW = I，即 W^T = W^-1。

　　這樣我們特征分解表達式可以寫成：

　　注意到要進行特征分解，矩陣A必須為方陣。那么如果A不是方陣，即行和列不相同時，我們還可以對矩陣進行分解嗎？答案是可以，就是下面我們要學(xué)習(xí)的SVD算法。

2，特征分解和奇異值分解（SVD）的區(qū)別

　　特征值分解和奇異值分解的目的都是一樣，就是提取出一個矩陣最重要的特征。

　　所有的矩陣都可以進行奇異值分解，但只有方陣才可以進行特征值分解。當(dāng)所給的矩陣是對稱的方陣，A^T=A，二者的結(jié)果是相同的。也就是說對稱矩陣的特征值分解是所有奇異值分解的一個特例。但是二者還是存在一些小的差異，奇異值分解需要對奇異值進行從大到小的排序，而且全部是大于等于零。

　　對于如上的奇異值分解公式，我們可以看到奇異值分解同時包含了旋轉(zhuǎn)，縮放和投影三種作用，并且U和V都起到了對A進行旋轉(zhuǎn)的作用，而 Σ 起到了對 A 縮放的作用，特征值分解只有縮放的效果。

　　在應(yīng)用上，奇異值分解主要用于數(shù)據(jù)矩陣，而特征值分解主要用于方型的相關(guān)矩陣。

3，奇異值分解的定義

　　特征值分解釋一個提取矩陣特征很不錯的方法，但是它只適用于方陣，而在現(xiàn)實的世界中，我們看到的大部分矩陣都不是方陣，比如說有M個學(xué)生，每個學(xué)生有N個成績，這樣就形成了一個M*N的矩陣就可能不是方陣了，我們怎么樣才能像描述特征值一樣描述這樣一般矩陣的重要特征呢？奇異值分解就是干這個事情，奇異值分解是一個能適用于任何的矩陣的一種分解的方法。

3.1 SVD的理論描述

　　假設(shè) A 是一個 m*n 階矩陣，其中的元素全部屬于域 K，也就是實數(shù)域或復(fù)數(shù)域。如此則存在一個分解使得：

　　其中 U 是 m*m 階酋矩陣，Σ 是半正定 m*n 階對角矩陣，而 V* 是V的共軛轉(zhuǎn)置，是 n*n 階酋矩陣，這樣的分解就稱作 M 的奇異值分解。Σ（是對角矩陣，但不一定是方陣）對角線上的元素 Σi 即為 M 的奇異值。

　　一般的 Σ 有如下形式：

　　上述分解中會構(gòu)建出一個矩陣 Σ ，該矩陣只有對角元素，其他元素均為0，另一個慣例是，Σ 的對角元素是從大到小排列的。這些對角元素稱為奇異值。在科學(xué)和工程中，一直存在這個一個普遍事實：在某個奇異值的數(shù)目（r個）之后，其他奇異值都置為零，這就意味著數(shù)據(jù)集中僅有 r 個重要特征，其余的都是噪聲或冗余數(shù)據(jù)。

　　從下圖可以形象的看出上面SVD的定義：

　　那么我們?nèi)绾吻蟪鯯VD分解后的 U，Σ，V 這三個矩陣呢？

　　如果我們將 A 的轉(zhuǎn)置和 A 做矩陣乘法，那么會得到 n*n 的一個方陣 A^TA。既然 A^TA 是方陣，那么我們就可以進行特征分解，得到的特征值和特征向量滿足下式：

　　這樣我們就可以得到矩陣 A^TA 的 n 個特征值和對應(yīng)的 n 個特征向量 v 了。將 A^TA 的所有特征向量張成一個 n*n 的矩陣 V，就是我們SVD公式里面的V矩陣了。一般我們將 V 中的每個特征向量叫做 A 的右奇異向量。

　　如果我們將 A 和 A 的轉(zhuǎn)置做矩陣乘法，那么會得到 m*m的一個方陣 AA^T。既然 AA^T 是方陣，那么我們就可以進行特征分解，得到的特征值和特征向量滿足下面公式：

　　這樣我們就可以得到矩陣AA^T 的 m 個特征值和對應(yīng)的 m 個特征向量 u了。將 AA^T 的所有特征張成一個 m*m 的矩陣 U，就是我們 SVD 公式里面的 U矩陣了。一般我們將 U 中的每個特征向量叫做 A 的左奇異向量。

　　U 和 V 我們都求出來了，現(xiàn)在就剩下奇異值矩陣 Σ 沒有求出了。

　　由于 Σ 除了對角線上是奇異值其他位置都是0，所以我們只需要求出每個奇異值 σ 就可以了。

　　我們注意到：

　　這樣我們可以求出我們的每一個奇異值，進而求出奇異值矩陣 Σ。

　　上面還有一個問題就是我們說 A^TA 的特征向量組成的就是我們SVD中的 V矩陣，而 AA^T的特征向量組成的就是我們 SVD中的 U矩陣，這有什么根據(jù)嗎？這個其實很容易證明，我們以V矩陣的證明為例：

　　上式證明使用了：U^TU = I, Σ^TΣ = Σ²。可以看出 A^TA 的特征向量組成的的確就是我們SVD中的 V 矩陣。類似的方法可以得到 AA^T 的特征向量組成的就是我們 SVD中的 U 矩陣。

　　進一步我們還可以看出我們的特征值矩陣等于奇異值矩陣的平方，也就是說特征值和奇異值滿足如下關(guān)系：

　　這樣也就是說，我們可以不用上面推導(dǎo)的式子來計算奇異值，上式如下：

　　我們可以直接通過求 A^TA 的特征值取平方根來求奇異值。

注意1：通過A^TA的特征值取平方根求解奇異值的注意點

　　我們知道，正常求 U，V，Σ 不便求，所以，我們利用如下性質(zhì)（公式上面有提到，這里再復(fù)述一下）：

　　需要注意的是：這里的 ΣΣ^T 和 Σ^TΣ 在矩陣的角度上來講，他們是不相等的，因為他們的維度不同 ΣΣ^T €R^m*m，而 Σ^TΣ€R^n*n，但是他們在主對角線的奇異值是相等的，即有：

　　所以對于 ΣΣ^T 和 Σ^TΣ 中的特征值開方，可以得到所有的奇異值。

注意2：酋矩陣的定義

　　若n行n列的復(fù)數(shù)矩陣 U滿足：

　　其中 In 為 n 階單位矩陣，U^T 為 U的共軛轉(zhuǎn)置，則U為酋矩陣（即矩陣U為酋矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)其共軛轉(zhuǎn)置U^T 為其逆矩陣：U^-1 = U^T）

3.2 SVD的幾何層面理解

　　下面從幾何層面上去理解二維的SVD：對于任意的 2*2 矩陣，通過 SVD 可以將一個互相垂直的網(wǎng)絡(luò)（orthogonal grid）變換到另外一個互相垂直的網(wǎng)絡(luò)。

　　我們可以通過向量的方式來描述這個事實：首先，選擇兩個互相正交的單位向量 v1 和 v2，向量 Mv1 和 Mv2 正交。

　　u1 和 u2 分別表示 Mv1 和 Mv2 的單位向量，σ1*u1=Mv1 和 σ2*u2=Mv2，σ1 和 σ2分別表示這不同方向向量上的模，也稱為作為矩陣 M 的奇異值。

　　這樣就有了如下關(guān)系式：

　　我們現(xiàn)在可以簡單描述下經(jīng)過 M 線性變換后的向量 x 的表達形式。由于向量 v1 和 v2 是正交的單位向量，我們可以得到如下式子：

　　這就意味著：

　　向量內(nèi)積可以用向量的轉(zhuǎn)置來標色，如下所示：

　　最終的式子為：

　　上述的式子經(jīng)常表示為：

　　u 矩陣的列向量分別是 u1 和 u2，Σ 是一個對角矩陣，對角元素分別是對應(yīng)的 σ1 和 σ2，v 矩陣的列向量分別為 v1 和 v2。

　　這就表明了任意的矩陣 M 是可以分解成三個矩陣，v 表示原始域的標準正交基， u 表示經(jīng)過 M 變換后的 co-domain 的標準正交基，Σ 表示了 v 中的向量與 u 中相對應(yīng)向量之間的關(guān)系。

3.3 SVD的推導(dǎo)

　　這里直接拿了百度百科的內(nèi)容。

3.3 SVD的一些性質(zhì)

　　上面我們對SVD的定義和計算做了詳細的描述，下面對其一些性質(zhì)進行分析。

　　對于奇異值，它和我們特征分解中的特征值類似，在奇異值矩陣中也是按照從大到小排列，而且奇異值的減少特別的塊，在很多情況下，前10%甚至1%的奇異值的和就占了全部的奇異值之和的99%以上的比例。也就是說，我們可以用最大的k個奇異值和對應(yīng)的左右奇異值向量來近似描述矩陣。也就是說：

　　其中 k 要比 n 小很多，也就是一個大的矩陣 A 可以用三個小的矩陣來標色，如下圖所示，現(xiàn)在我們的矩陣 A 只需要灰色的部分的三個小矩陣就可以近似描述了。

　　由于奇異值的特點就是衰減特別快，也就是說僅僅有前幾個奇異值特別大，后面的值都很小，這一點可以用于數(shù)據(jù)壓縮和去噪，PCA降維，也可以用于推薦算法，將用戶和喜好對應(yīng)的矩陣分解，進而得到隱含的用戶需求來做推薦。

4，SVD算法的應(yīng)用

4.1 矩陣近似值

　　奇異值分解在統(tǒng)計中的主要應(yīng)用為主成分分析（PCA），一種數(shù)據(jù)分析方法，用來找出大量數(shù)據(jù)中所隱含的“模式”，PCA算法的作用是把數(shù)據(jù)集映射到低維空間中去。數(shù)據(jù)集的特征值（在SVD中用奇異值表征）按照重要性排列，降維的過程就是舍棄不重要的特征向量的過程，而剩下的特征向量組成的空間即為降維后的空間。

　　在PCA降維中，需要找到樣本協(xié)方差矩陣 X^TX 的最大的 d 個特征向量，然后用這最大的 d 個特征向量張成的矩陣來做低維投影降維?？梢钥闯觯谶@個過程中需要先求出協(xié)方差矩陣 X^TX，當(dāng)樣本數(shù)多樣本特征數(shù)也多的時候，這個計算量是很大的。

　　注意到SVD也可以得到協(xié)方差矩陣 X^TX 最大的 d 個特征向量張成的矩陣，但是SVD有個好處，有一些SVD的實現(xiàn)算法可以不先求出協(xié)方差矩陣 X^TX ，也能求出我們的右奇異矩陣 V。也就是說，我們的 PCA算法可以不用做特征分解，而是做 SVD來完成。這個方法在樣本量很大的時候很有效。實際上，scikit-learn 算法的背后真正的實現(xiàn)就是SVD，而不是我們認為的暴力特征分解。

　　另一方面，注意到 PCA僅僅使用了我們 SVD的右奇異矩陣，沒有使用左奇異矩陣，那么左奇異矩陣有什么用呢？

　　假設(shè)我們那的樣本是 m*n 的矩陣 X，如果我們通過 SVD找到了矩陣 XX^T 最大的 d 個特征向量張成的 m*d 維矩陣 U，則我們?nèi)绻M行如下處理：

　　可以得到一個 d*n 的矩陣 X'，這個矩陣和我們原來的 m*n 維樣本矩陣 X 相比，行數(shù)從 m 減到了 d，可見對行數(shù)進行了壓縮，也就是說，左奇異矩陣可以用于行數(shù)的壓縮。相對的，右奇異矩陣可以用于列數(shù)集特征維度的壓縮，也就是我們的PCA降維。

　　舉個例子，我們搜集的數(shù)據(jù)中總是存在噪聲：無論采用的設(shè)備多精密，方法有多好，總是會存在一些誤差的。大的奇異值對應(yīng)了矩陣中的主要信息的話，運用SVD進行數(shù)據(jù)分析，提取其中的主要部分的話，還是相當(dāng)合理的。

　　作為例子，假設(shè)我們搜集的數(shù)據(jù)如下所示：

　　我們將數(shù)據(jù)用矩陣的形式表示：

　　經(jīng)過奇異值分解后，得到：

　　由于第一個奇異值遠比第二個要大，數(shù)據(jù)中有包含一些噪聲，第二個奇異值在原始矩陣分解相對應(yīng)的部分可以忽略。經(jīng)過SVD分解后，保留了主要樣本點如圖所示：

　　就保留主要數(shù)據(jù)來看，該過程與PCA降維有一些聯(lián)系，PCA 也是要了SVD去檢測數(shù)據(jù)間依賴和冗余信息。

4.2 平行奇異值

　　把頻率選擇性衰落信道進行分解。

4.3 求偽逆

　　奇異值分解可以被用來計算矩陣的偽逆，若矩陣 M 的奇異值分解為 M = UΣV*，那么 M 的偽逆為： M+ = VΣ⁺U*。

　　其中 Σ⁺是 Σ 的偽逆，并將其主對角線上每個非零元素都求導(dǎo)數(shù)之后再轉(zhuǎn)置得到的。求偽逆通常用來求解線性最小平方，最小二乘法問題。

4.4 在數(shù)據(jù)表達上的應(yīng)用

　　下面我們來看一個奇異值分解在數(shù)據(jù)表達上的應(yīng)用，假設(shè)我們有如下一張 15*25的圖像數(shù)據(jù)：

　　如圖所示，該圖像主要由下面三部分構(gòu)成：

　　我們將圖像表示為 15*25 的矩陣，矩陣的元素對應(yīng)著圖像不同像素，如果像素是白色的話，就取1，黑色的話就取0，我們得到了一個具有 375個元素的矩陣，如下圖所示：

　　如果我們對矩陣 M 進行奇異值分解以后，得到的奇異值分別是：

　　矩陣 M 就可以表示成：

　　vi 具有 15個元素， ui 具有 25 個元素，σi 對應(yīng)不同的奇異值，如上圖所示，我們就可以用 123個元素來表示具有 375個元素的圖像數(shù)據(jù)了。

4.5 降噪（noise reduction）

　　前面例子的奇異值都不為零，或者都還算比較大，下面我們來探索一下?lián)碛辛慊蛘叻浅Ｐ〉钠娈愔档那闆r。通常來講，大的奇異值對應(yīng)的部分會包含更多的信息。比如，我們有一張掃描，帶有噪聲的圖像，如下圖所示：

　　我們采用跟實例二相同的處理方式處理該掃描圖像，得到圖像矩陣的奇異值：

　　很明顯，前面三個奇異值遠遠比后面的奇異值要大，這樣矩陣 M 的分解方式就可以如下：

　　經(jīng)過奇異值分解后，我們得到了一張降噪后的圖像。

5， SVD計算實例

5.1 實例1

　　對M進行奇異值分解，M矩陣如下：

　　我們看一下 M 矩陣變換后的效果，如下圖所示：

　　在這個例子中，第二個奇異值為0，因此經(jīng)過變換后只有一個方向上有表達。

　　換句話說，如果某些奇異值非常小的話，其相對應(yīng)的幾項就可以不同出現(xiàn)在矩陣 M 的分解式中。因此，我們可以看到矩陣 M 的秩大小等于非零奇異值的個數(shù)。

5.2 實例2

　　這里我們用一個例子來說明矩陣是如何進行奇異值分解的。

　　我們需要進行奇異值分解的矩陣A如下：

　　我們首先求出 A^TA和 AA^T：

　　進行求出 A^TA 的特征值和特征向量（此處的特征向量取的是單位向量）：

　　則 V 為：

　　接著求 AA^T 的特征值和特征向量（此處的特征向量取的是單位向量）：

　　則 U 為：

　　利用 Av_i=σ_iu_i，i=1,2 求奇異值：

　　當(dāng)然，我們也可以用 σ_i= √λ_i 直接求出奇異值為 √3 和 1。

　　即通過：

　　我們代數(shù)矩陣即可求出奇異值。

　　最終得到 A 的奇異值分解為：

6，利用Python實現(xiàn)SVD降維

6.1 Python中SVD的函數(shù)

　　Python中的 Numpy 包內(nèi)有一個 linalg 的線性工具，可以使用它來直接計算 SVD 的結(jié)果，不需要專門研究對應(yīng)的線性代數(shù)的知識，我們拿上面 5.2 的實例來看，矩陣如下：

　　我們使用該函數(shù)來計算它的SVD。

　　得到如下結(jié)果：

　　可以看到 Σ 是以行向量的形式出現(xiàn)，因為該矩陣除了對角元素以外其他元素均為0，這樣的格式更節(jié)省空間。

　　我們和之前計算的結(jié)果進行比對：

　　我們發(fā)現(xiàn) Σ 和我們計算出來的是一致的。

　　當(dāng)然人可以計算2*2, 3*3的，但是當(dāng)矩陣的維度越來越大呢？

　　接下來再看一個大的數(shù)據(jù)集，我們建立如下的數(shù)據(jù)集：

　　我們求出奇異值為：

　　我們發(fā)現(xiàn)它后面兩個值接近于0，所以我們就可以將最后兩個值去掉了，接下來我們就可以去掉一部分元素的矩陣近似表示原始數(shù)據(jù)：

　　這樣我們重構(gòu)的近似矩陣如下：

[[ 1.00000000e+00  1.00000000e+00  1.00000000e+00  7.75989921e-16
   7.71587483e-16]
 [ 2.00000000e+00  2.00000000e+00  2.00000000e+00  3.00514919e-16
   2.77832253e-16]
 [ 1.00000000e+00  1.00000000e+00  1.00000000e+00  2.18975112e-16
   2.07633779e-16]
 [ 5.00000000e+00  5.00000000e+00  5.00000000e+00  3.00675663e-17
  -1.28697294e-17]
 [ 1.00000000e+00  1.00000000e+00 -5.48397422e-16  2.00000000e+00
   2.00000000e+00]
 [ 3.21319929e-16  4.43562065e-16 -3.48967188e-16  3.00000000e+00
   3.00000000e+00]
 [ 9.71445147e-17  1.45716772e-16 -1.52655666e-16  1.00000000e+00
   1.00000000e+00]]

　　四舍五入之后與原始數(shù)據(jù)基本保持一致。

　　我們?nèi)绻纼H僅需要保留到前3個奇異值呢？其中一個典型的做法就是保留矩陣中的 90%的能量信息，我們將所有的奇異值取平方和，直到加到總和的90%為止。

6.2 在圖像壓縮中的應(yīng)用

　　一個圖像矩陣，我們總可以將它分解為以下形式，通過選取不同個數(shù)的 Σ 中的奇異值，就可以實現(xiàn)圖像的壓縮：

　　如果只想實現(xiàn)圖像壓縮，我們可以使用python numpy 庫中的 linalg.svd 對圖像矩陣進行分解，進而提取前K個奇異值便能實現(xiàn)SVD圖像壓縮的效果，下面我們看一下代碼：

#_*_ coding:utf-8_*_
import numpy as np
import cv2

img = cv2.imread('harden.jpg')
print('origin image shape is ', img.shape)
# 表示 RGB 中各有一個矩陣，都為300*532
#  origin image shape is  (300, 532, 3)


def svd_compression(img, k):
    res_image = np.zeros_like(img)
    for i in range(img.shape[2]):
        # 進行奇異值分解, 從svd函數(shù)中得到的奇異值sigma 是從大到小排列的
        U, Sigma, VT = np.linalg.svd(img[:,:,i])
        res_image[:, :, i] = U[:,:k].dot(np.diag(Sigma[:k])).dot(VT[:k,:])

    return res_image


# 保留前 k 個奇異值
res1 = svd_compression(img, k=300)
res2 = svd_compression(img, k=200)
res3 = svd_compression(img, k=100)
res4 = svd_compression(img, k=50)

row11 = np.hstack((res1, res2))
row22 = np.hstack((res3, res4))
res = np.vstack((row11, row22))

cv2.imshow('img', res)
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()

　　我們這里分別提取了前300， 200， 100， 50 的奇異值，圖如下：

　　可以看到，當(dāng)我們?nèi)〉角懊?00個奇異值來重構(gòu)圖片時，基本與原圖看不出來差別，甚至兩百的都是都還OK。

　　所以從上面的壓縮結(jié)果來看，奇異值可以被看作是一個矩陣的代表值，或者說奇異值能夠代表這個矩陣的信息，當(dāng)奇異值越大時，它代表的信息越多。因此我們?nèi)∏懊嫒舾蓚€最大的奇異值，就可以基本還原出數(shù)據(jù)本身。

參考文獻：https://blog.csdn.net/xiahouzuoxin/article/details/41118351

http://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-svd

https://www.cnblogs.com/pinard/p/6251584.html

https://jingyan.baidu.com/article/9f63fb916ba5e1c8400f0eca.html

http://blog.sciencenet.cn/blog-696950-699432.html

百度百科，SVD的步驟推導(dǎo)等等

不經(jīng)一番徹骨寒怎得梅花撲鼻香

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Python机器学习笔记：奇异值分解（SVD）算法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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