1、進制

1.1 進制的由來

進制：是一種進位的方式。x進制，表示逢x進1。

計算機的電子原件的狀態：開，關。

那么，我們表達數據的時候，也是按照開，關的狀態來表示的。

如果我們表達數據僅僅使用這兩種昨天，那么能夠表達的數據是比較少的。

而我們常見的數據，英文字母，數字，標點符號，這就很多了。

為了能夠表示更多的數據，國際化組織就規定，用8個這樣的信號來表示一個數據，并且用1，0表示兩種狀態，這個數據的單位叫：字節。

由這樣的1，0組成的數據就是二進制數據。

- 單位轉換

1byte=8bit

1kB=1024byte

1MB=1024kB

1GB=1024MB

1T=1024GB

- 基礎補充：

大寫B(byte)，字節；小寫b(bit),比特；

1B=8b，即一個字節等于8個比特位。

1KB=8kb,k表示千，即1千字節等于8千比特。一般來說，計算機中的進位是1024進位的，但是在通信中，為了方便計算，通常用千進位。

(為什么要用1024進位，因為計算機碼是以二進制為基礎，2的冪數可以反映二進制的位數，因為2的10次冪是1024，最接近1000(1K)，方便十進制的估算。)

1byte=8bits，兩者換算是1：8的關系。

1Byte就是1個字節，1個字節是由8個二進制位組成。

1.2 進制的表示

定義：

二進制數

每一位使用兩個不同數字表示(0,1)

低位和高位的關系是：逢2進1

各位的權值是2的整數次冪(基數是2)

標志：尾部加B

例：101.01B=1×22+0×22+1×20,+0×2?1+1×2?2=5.25

八進制數

每一位使用八個不同數字表示(0,1,2,3,4,5,6,7)

低位和高位的關系是：逢8進1

各位的權值是8的整數次冪(基數是8)

標志：尾部加Q

例：365.2Q=3×82+6×81+5×80+2×8?1=245.25

十六進制

每一位使用十六個不同數字表示(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F)

低位和高位的關系是：逢16進1

各位的權值是16的整數次冪(基數是16)

標志：尾部加H

例：F5.4H=15×161+5×160+4×16?1=245.25

第一種表示方式：

(1100101100)2=(1454)8

(1100101100)2=(32C)16

第二種表示方式(在末尾加字母)：

例如：二進制再末尾加B，十進制加D，八進制加Q，十六進制加H

1.3 進制的轉換

1.3.1 R進制轉十進制使用按權展開法

其具體操作方式為：將R進制數的每一位數值用RKRK形式表示，即冪的底數是R,指數為K,K與該位和小數點之間的距離有關。當該位位于小數點左邊，K值是該位和小數點之間數碼的個數，而當該位位于小數點右邊，K值是負值，其絕對值是該位和小數點之間數碼的個數加1。

例如 二進制:?10100.01=1?24+1?22+1?2?2=20.2510100.01=1·24+1·22+1·2?2=20.25

例如 七進制?604.01=6?72+4?70+1?7?2≈298.02604.01=6·72+4·70+1·7?2≈298.02

1.3.2 十進制轉R進制

如果是整數，直接使用短除法。(例如將94轉換為二進制。)

得到結果為1011110

- 如果是浮點數，對整數和小數分開轉換；整數部分：除以2取余，小數部分：乘以2取整。(例如29.6875 -> 11101.1011B)

注意十進制小數(如0.63)在轉換時會出現二進制無窮小數，這時只能取近似值。

1.3.3 二進制與八進制的互換(用三位二進制數一組表示一位)與十六進制數(用四位二進制數一組表示一位)

- 八進制 -> 二進制：把每個八進制數字改寫成等值的3位二進制數，且保持高地位的次序不變。

例：2 4 6 3 2 Q - >

010 100 110 111 011 010 B

- 二進制 ->八進制：整數部分從低位到高位每3組用一個等值的八進制數來替換，不足3位時在高位補0湊滿3位；小數部分從高位向低位每3位用一個等值八進制數來替換，不足3位時在低位補0湊滿三位。

例：1 101 001 110. 110 01B ->

001 101 001 110. 110 010B ->

1 5 1 6 6 2Q

3. 機器數采用原碼，反碼和補碼等編碼方法，稱為碼制。

3.1 機器數與真值

3.1 機器數

一個數在計算機中的二進制表示形式, 叫做這個數的機器數。機器數是帶符號的，在計算機用一個數的最高位存放符號, 正數為0, 負數為1.

比如，十進制中的數 +3 ，計算機字長為8位，轉換成二進制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。

那么，這里的 00000011 和 10000011 就是機器數。

3.2 真值

因為第一位是符號位，所以機器數的形式值就不等于真正的數值。例如上面的有符號數 10000011，其最高位1代表負，其真正數值是 -3 而不是形式值131(10000011轉換成十進制等于131)。所以，為區別起見，將帶符號位的機器數對應的真正數值稱為機器數的真值。

例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

3.2 原碼，反碼和補碼

3.2.1 概念

在探求為何機器要使用補碼之前, 讓我們先了解原碼, 反碼和補碼的概念.對于一個數, 計算機要使用一定的編碼方式進行存儲. 原碼, 反碼, 補碼是機器存儲一個具體數字的編碼方式.

- 原碼

原碼就是符號位加上真值的絕對值, 即用第一位表示符號, 其余位表示值. 比如如果是8位二進制:

[+1]原 = 0000 0001

[-1]原 = 1000 0001

第一位是符號位. 因為第一位是符號位, 所以8位二進制數的取值范圍就是:

[1111 1111 , 0111 1111] 即 [-127 , 127]

原碼是人腦最容易理解和計算的表示方式.

- 反碼

反碼的表示方法是:正數的反碼是其本身

負數的反碼是在其原碼的基礎上, 符號位不變，其余各個位取反.

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反

可見如果一個反碼表示的是負數, 人腦無法直觀的看出來它的數值. 通常要將其轉換成原碼再計算.

- 補碼

補碼的表示方法是:

正數的補碼就是其本身

負數的補碼是在其原碼的基礎上, 符號位不變, 其余各位取反, 最后+1. (即在反碼的基礎上+1)

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]補

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]補

對于負數, 補碼表示方式也是人腦無法直觀看出其數值的. 通常也需要轉換成原碼在計算其數值.

3.2.2. 為何要使用原碼, 反碼和補碼

現在我們知道了計算機可以有三種編碼方式表示一個數. 對于正數因為三種編碼方式的結果都相同:

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]補

1

所以不需要過多解釋. 但是對于負數:

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]補

1

可見原碼, 反碼和補碼是完全不同的. 既然原碼才是被人腦直接識別并用于計算表示方式, 為何還會有反碼和補碼呢?

首先, 因為人腦可以知道第一位是符號位, 在計算的時候我們會根據符號位, 選擇對真值區域的加減. (真值的概念在本文最開頭). 但是對于計算機, 加減乘數已經是最基礎的運算, 要設計的盡量簡單. 計算機辨別”符號位”顯然會讓計算機的基礎電路設計變得十分復雜! 于是人們想出了將符號位也參與運算的方法. 我們知道, 根據運算法則減去一個正數等于加上一個負數, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以機器可以只有加法而沒有減法, 這樣計算機運算的設計就更簡單了.

于是人們開始探索 將符號位參與運算, 并且只保留加法的方法. 首先來看原碼:

計算十進制的表達式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

1

如果用原碼表示, 讓符號位也參與計算, 顯然對于減法來說, 結果是不正確的.這也就是為何計算機內部不使用原碼表示一個數.

為了解決原碼做減法的問題, 出現了反碼:

計算十進制的表達式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0

發現用反碼計算減法, 結果的真值部分是正確的. 而唯一的問題其實就出現在”0”這個特殊的數值上. 雖然人們理解上+0和-0是一樣的, 但是0帶符號是沒有任何意義的. 而且會有[0000 0000]原和[1000 0000]原兩個編碼表示0.

于是補碼的出現, 解決了0的符號以及兩個編碼的問題:

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]補 + [1111 1111]補 = [0000 0000]補=[0000 0000]原

1

這樣0用[0000 0000]表示, 而以前出現問題的-0則不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]補 + [1000 0001]補 = [1000 0000]補

-1-127的結果應該是-128, 在用補碼運算的結果中, [1000 0000]補 就是-128. 但是注意因為實際上是使用以前的-0的補碼來表示-128, 所以-128并沒有原碼和反碼表示.(對-128的補碼表示[1000 0000]補算出來的原碼是[0000 0000]原, 這是不正確的)

使用補碼, 不僅僅修復了0的符號以及存在兩個編碼的問題, 而且還能夠多表示一個最低數. 這就是為什么8位二進制, 使用原碼或反碼表示的范圍為[-127, +127], 而使用補碼表示的范圍為[-128, 127].

因為機器使用補碼, 所以對于編程中常用到的32位int類型, 可以表示范圍是: [-231, 231-1] 因為第一位表示的是符號位.而使用補碼表示時又可以多保存一個最小值.

3.2.3 總結：

原碼是最符合人腦的，用最高位表示符號位，其余位表示數值位。

反碼是為了方便帶符號的機器數之間運算，讓符號位也參與運算。(原理是對原碼操作，符號位不變，數值位取反)(注意結合1-1這個例子來理解！)

補碼是為了解決-0以及[00000000]原和[10000000]原兩個編碼都表示0這個問題，在反碼的基礎上加1，就能只用[00000000]來表示0了，[10000000]則表示-128.(原理是對反碼基礎上加1)(注意結合1-1和-1-127這兩個例子來理解！)

轉自：

https://blog.csdn.net/sgq_csdn/article/details/79181440#11-進制的由來，個人感覺這篇文章寫得非常贊，強烈推薦

總結

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