0x00、平衡二叉樹的定義

平衡二叉樹(AVL樹)是一種特殊的二叉搜索樹，只是在二叉搜索樹上增加了對"平衡"的需求。

假如一棵二叉搜索樹，按照“1,2,3,4,5”的順序插入數(shù)據(jù)，會發(fā)現(xiàn)二叉樹甚至變成了一個線性的鏈表狀結構，這樣查找數(shù)據(jù)的時間復雜度就會達到O(n)，為了優(yōu)化這一點，使二叉查找樹時間復雜度保持O(log n)的級別，我們就需要調整樹的插入方式，使之保持住樹的結構。

這里引入一個定義：

平衡因子：二叉樹的某個節(jié)點的左子樹與右子樹高度之差稱為結點的平衡因子。

而平衡二叉樹就是要保證平衡因子絕對值不能超過1。也就是左子樹高度比右子樹高度最多大1。

0x01、平衡二叉樹的C語言實現(xiàn)

首先定義平衡二叉樹，這和定義二叉搜索樹有些不同，定義的結構體必須加上當前子樹的高度。也就是這樣：

struct?node{

int?data;????//數(shù)據(jù)域

int?height;??//當前子樹高度

node*?lchild,?*rchild;????????//左右孩子

};

這樣定義的好處是方便上一節(jié)點計算平衡因子。

計算平衡因子之前我們先定義計算高度的函數(shù)，直接返回root->height即可。如果root為NULL，說明是葉子節(jié)點，返回0即可

int?getHeight(node*?root){

return?root?==?NULL???0?:?root->height;

}

接著我們計算平衡因子，即左子樹比右子樹高了多少：

int?getBalanceFactor(node*?root){

return?getHeight(root->lchild)?-?getHeight(root->rchild);

}

當我們執(zhí)行了插入操作，二叉樹發(fā)生改變的時候，我們需要重新計算高度。

某節(jié)點的高度值等于左右子樹高度值最大的，加上1。(這是高度值的定義)

更新高度值：

void?updateHeight(node*?root){

root->height?=?max(getHeight(root->lchild),?getHeight(root->rchild))?+?1;

}

0x02、平衡二叉樹的查找

AVL樹的查找與一般二叉搜索樹的查找方法一樣。代碼如下：

void?search(node*?root,?int?data){

if(!root)?return;????//查找失敗

if(root->data?==?data)//找到了

printf("%d",?root->data);

if(root->data?>?data)?//大了，訪問左節(jié)點

search(root->lchild,?data);

else?search(root->rchild,?data);

}

0x03、平衡二叉樹的插入操作

平衡二叉樹的插入操作較為復雜，我們?yōu)榱吮３侄鏄涞钠胶鉅顟B(tài)，就要在二叉樹失衡的時候對二叉樹進行旋轉。

常見的旋轉方式有LL型(單次右旋)、RR型(單次左旋)、LR型(先左旋，再右旋)、RL型(先右旋，再左旋)

下面我們進行詳細介紹：

1、LL型(單次右旋)

假設一棵平衡二叉樹再插入數(shù)據(jù)后，成了這個樣子：

圖中的 4 和 12 的高度分別是 3 和 1 ，高度差為 2 ，此時，二叉樹不平衡了。對于這種由根節(jié)點的左子樹的左子樹造成平衡因子為2的失衡，我們要使用LL型旋轉，即單次右旋，使其平衡。

正確的旋轉方式是：使原二叉樹的 根節(jié)點(K2) 的 左孩子(k1) 做為 新根節(jié)點，新根節(jié)點(k1) 原來的 右子樹(Y) ，做為 原來的根節(jié)點(K2) 的左子樹

如果記不住的話可以按照這個思路來記憶：

既然左邊高度比右邊高，就讓左子樹的根節(jié)點稱為新根，這樣高度就減小了1，我們把左子樹K1"揪起來"，讓原根節(jié)點k2"掉下去"，這樣K1就多了一個孩子，而X小于K1，K2大于K1，Y大于K1且Y小于K2，這樣把Y"拽下來"插到K2的左邊，仍然符合二叉搜索樹的規(guī)則，而且還處理好了K1的關系，多么完美！

轉轉后，K1和K2(新根與原來的根)的高度發(fā)生了變化，而XYZ(三個子樹)沒有發(fā)生變化，所以我們只需要更新K1和K2的高度值即可。

用C語言實現(xiàn)，就是：

void?LLrotation(node*?&root){

node*?temp?=?root->lchild;????//讓temp=K1

root->lchild?=?temp->rchild;????//讓root的左節(jié)點變?yōu)閅

temp->rchild?=?root;????//讓新根K1的右節(jié)點指向K2

//以上，旋轉完畢

updateHeight(temp);????//更新新根的節(jié)點高度

updateHeight(root);????//更新老根的節(jié)點高度

root?=?temp;????//把樹的根換成我們定義的新根

}

2、RR型(單次左旋)

假設一棵二叉樹插入數(shù)據(jù)后的狀態(tài)：

很顯然，失衡了。平衡因子為-2。對于這種根節(jié)點的右子樹的右子樹造成平衡因子為-2的失衡，我們采用RR旋轉，即單次左旋。

單次左旋的思路就是單次右旋倒過來想，我們先將原根節(jié)點的右節(jié)點K2當做新根，將K2的左子樹當做原根K1的右子樹。

同樣的，只有K1和K2的高度發(fā)生了變化，所以我們只需要更新K1和K2的高度即可。

C語言實現(xiàn)：

void?RRrotation(node*?&root){

node*?temp?=?root->rchild;????//另temp=K2

root->rchild?=?temp->lchild;????//舊根的右節(jié)點為新根的左節(jié)點

temp->lchild?=?root;????//新根的右節(jié)點等于舊根

//以上，旋轉完畢

updateHeight(temp);????//更新節(jié)點高度

updateHeight(root);

root?=?temp;????//重賦值

}

3、LR型(先單次左旋，后單次右旋)

一棵二叉樹，插入數(shù)據(jù)后形成了這個鬼樣子

4的高度為3； 而12的高度為1，平衡因子即高度差為2，這是由于根節(jié)點的左子樹的右子樹造成了平衡因子為2的失衡，通常采用LR型旋轉，即先左旋，后右旋。

先左旋，也就是讓K3的左孩子單次左旋，以K1為根節(jié)點，進行單次左旋，使得K2成為根節(jié)點，K1成為K2的左節(jié)點，K2原來的左節(jié)點B成為K1的右節(jié)點。這樣就完成了單次左旋

接著對左旋后的二叉樹，以K3為根節(jié)點，進行單次右旋，讓K3的左節(jié)點K2成為新根，K2的右孩子C成為K3的左孩子，讓K3做K2的右孩子。

這里K1、K2、K3的高度均發(fā)生了變化，ABCD的高度沒有發(fā)生變化。

說起來很麻煩，其實實現(xiàn)起來很簡單。因為我們有了前面LL旋轉和RR旋轉的基礎，直接對子樹操作即可。

C語言實現(xiàn)：

void?LRrotation(node*?&root){

RRrotation(root->lchild);????//先對根節(jié)點的左孩子單次左旋

LLrotation(root);

}

4、RL型(先單次右旋，后單次左旋)

二叉樹數(shù)據(jù)插入后：

此時的狀態(tài)是：由于根節(jié)點的右節(jié)點的左子樹造成了平衡因子為-2的失衡，我們通常采用RL型旋轉，即先單次右旋，后單次左旋。

其實就是把LR倒過來啦，不做詳細解釋了。(敲鍵盤敲的手指好痛，嗚嗚嗚~~~~(>_

C語言實現(xiàn)：

void?RLrotation(node*?&root){

LLrotation(root->rchild);????//先對根節(jié)點的左孩子單次左旋

RRrotation(root);

}

寫了這么多，總結一下吧。根據(jù)這個表格進行判斷AVL樹以何種旋轉類型保持平衡：

樹型

判定條件

調整方法

LL(單次右旋)

BF(root) = 2；BF(root->lchild) = 1

對root單次右旋

RR(單次左旋)

BF(root) =-2；BF(root->rchild) =-1

對root單次左旋

LR(先左后右)

BF(root) = 2；BF(root->lchild) =-1

對root->lchild進行左旋，再對root進行右旋

RL(先右后左)

BF(root) =-2；BF(root->rchild) = 1

對root->rchild進行右旋，再對root進行左旋

*BF代表平衡因子

0x04、二叉平衡樹的插入

還記得二叉搜索樹是怎樣插入數(shù)據(jù)的嗎？

void?insert(node*?&root,?int?data){

if(root?==?NULL){

root?=?new?node;

root->data?=?data;

root->lchild?=?root->rchild?=?NULL;

}

if(root->data?<=?data)

insert(root->rchild,?data);

else?insert(root->lchild,?data);

}

這段代碼是不考慮平衡關系的插入代碼。我們要做的是在這串代碼上稍加修改，使之能及時通過旋轉，保證平衡關系。

我們的思路是：沿用上面代碼進行插入，插入后更新樹的高度，接著判斷平衡因子，根據(jù)平衡因子判斷四種類型的旋轉，最后執(zhí)行旋轉。

C語言實現(xiàn)：

void?insert(node*?&root,?int?data){

if(root?==?NULL){????//插入位置

root?=?new?node;

root->data?=?data;

root->lchild?=?root->rchild?=?NULL;

root->height?=?1;????//由于插入的時候是葉子節(jié)點，所以初始高度為1

return;

}

if(root->data?>?data){????//節(jié)點數(shù)據(jù)大，往左插入

insert(root->lchild,?data);????//繼續(xù)遞歸尋找插入位置

updataHeight(root);????????//因為插入了一個節(jié)點，所以樹根的高度會發(fā)生變化

if(getBalanceFactor(root)?==?2)????//根節(jié)點平衡因子為2

if(getBalanceFactor(root->lchild)?==?1)?//根節(jié)點左孩子平衡因子為1，根據(jù)表格，采用LL型

LLrotation(root);

else?if(getBalanceFactor(root->lchild)?==?-1)???//根節(jié)點左孩子平衡因子為-1，LR型

LRrotation(root);

}

else{????//節(jié)點數(shù)據(jù)小，往右插入

insert(root->rchild,?data);

updataHeight(root);

if(getBalanceFactor(root)?==?-2){

if(getBalanceFactor(root->rchild)?==?-1)?//RR型

RRrotation(root)

else?if(getBalanceFactor(root->rchild)?==?1)//RL型

RLrotation(root);

}

}

}

這里往左插入后，只需要判斷平衡因子是否為2，是因為如果樹之前是平衡的，往左插入的時候，不可能造成平衡因子為-2，只有往右插入的時候才會是-2，所以判斷平衡因子 是否為-2就多余了。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的c语言求平衡因子,平衡二叉树（AVL树）的基本操作的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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