Data Structure

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算法和時間復雜度

01.什么是數據結構？

程序設計 = 數據結構 + 算法

數據結構是關系，是數據元素相互之間存在的一種或多種特定關系的集合。

數據結構和算法凌駕于任何一種編程語言之上。

02.邏輯結構和物理結構

數據結構分為邏輯結構和物理結構。

邏輯結構是指數據對象中數據元素之間的邏輯關系，也是今后需要關注和討論的問題。

四大邏輯結構：

集合——數據元素除了同屬于一個集合之外，沒有其他關系。

線性——數據元素具有一對一的關系。

樹形——數據元素之間存在一對多的層次關系。

圖形——數據元素之間存在多對多的關系。

物理結構一般指數據元素在計算機中的存儲方法。

數據元素的存儲結構形式有兩種：順序存儲和鏈式存儲。

順序存儲：把數據元素放在地址連續的存儲單元中，其數據間的邏輯關系和物理關系是一致的，例如數組結構。

鏈式結構：把數據元素放在任意的存儲單元里，這組存儲單元可以是連續的，也可以是不連續的。此時存儲關系不能反映邏輯關系，因此需要用指針存放數據元素的地址。

03.算法

算法：解決特定問題求解步驟的描述，在計算機中表現為指令的有限序列，并且每條指令表示一個或者多個操作。

算法的五個基本特征：輸入、輸出、有窮性、確定性、可行性

算法效率的度量方法：

算法采用的策略、方案

編譯產生的代碼質量

問題的輸入規模

機器執行指令的速度

04.算法的時間復雜度

定義：在進行算法分析的時候，語句總的執行次數T(n)是關于問題規模 n 的函數，進而分析T(n)隨 n 的變化情況并確定T(n)的數量級。

算法的時間復雜度，也就是算法的時間度量，記作：

T(n)=? O(f(n))。

它表示隨問題規模n的增長，算法執行時間的增長率和f(n)的增長率相同，稱作算法的漸近時間復雜度，簡稱為時間復雜度。其中f(n)表示問題規模 n 的某個函數。

一般情況下，隨著輸入規模 n 的增大，T(n)增長最慢的是最優算法。

大O記法：用O( )來體現算法時間復雜度的記法。

推導大O階的算法：

用常數1取代運行時間中的所有加法常數。

在修改后的運行次數函數中，只保留最高階項。

如果最高階項存在且不為1，則去除這個項的系數。

線性階——一般含有非嵌套循環。線性階就是隨著問題規模 n 的擴大，對應計算次數呈直線增長。

平方階——嵌套循環，包括不嚴格的嵌套循環。循環的時間復雜度等于循環體的復雜度乘以該循環運行的次數。

對數階——需要應用數列知識。

常用的時間復雜度所耗的時間從小到大依次是：

O(1)< O(logn)< O(n)< O(nlogn)< O(n^2)< O(n^3)< O(2^n)< O(n!)< O(n^n)

最壞情況：查找一個有n個隨機數字數組中的某個數字，最好的情況是第一個數字就是，那么算法的時間復雜度是O(1)；但也有可能這個數字在最后位置，此時的時間復雜度是O(n)。

平均運行時間——期望運行的時間。

05.算法的空間復雜度

算法的空間復雜度通過計算算法所需的存儲空間實現。

算法空間復雜度的計算公式記作：

S(n)= O(f(n))

其中，n為問題規模，f(n)為語句關于n所占存儲空間的函數。

通常，我們都是用 “ 時間復雜度 ” 來指運行的時間需求，用 “ 空間復雜度 ” 指空間需求。

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總結

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