從頭到尾徹底理解傅里葉變換算法（上），請(qǐng)看今天第一條。

以下繼續(xù)：

第三章、復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)擴(kuò)展了我們一般所能理解的數(shù)的概念，復(fù)數(shù)包含了實(shí)數(shù)和虛數(shù)兩部分，利用復(fù)數(shù)的形式可以把由兩個(gè)變量表示的表達(dá)式變成由一個(gè)變量(復(fù)變量)來(lái)表達(dá)，使得處理起來(lái)更加自然和方便。

我們知道傅立葉變換的結(jié)果是由兩部分組成的，使用復(fù)數(shù)形式可以縮短變換表達(dá)式，使得我們可以單獨(dú)處理一個(gè)變量（這個(gè)在后面的描述中我們就可以更加確切地知道），而且快速傅立葉變換正是基于復(fù)數(shù)形式的，所以幾乎所有描述的傅立葉變換形式都是復(fù)數(shù)的形式。

但是復(fù)數(shù)的概念超過(guò)了我們?nèi)粘Ｉ钪兴芾斫獾母拍?#xff0c;要理解復(fù)數(shù)是較難的，所以我們?cè)诶斫鈴?fù)數(shù)傅立葉變換之前，先來(lái)專(zhuān)門(mén)復(fù)習(xí)一下有關(guān)復(fù)數(shù)的知識(shí)，這對(duì)后面的理解非常重要。
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一、?復(fù)數(shù)的提出
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在此，先讓我們看一個(gè)物理實(shí)驗(yàn)：把一個(gè)球從某點(diǎn)向上拋出，然后根據(jù)初速度和時(shí)間來(lái)計(jì)算球所在高度，這個(gè)方法可以根據(jù)下面的式子計(jì)算得出：

其中h表示高度，g表示重力加速度(9.8m/s2)，v表示初速度，t表示時(shí)間。現(xiàn)在反過(guò)來(lái)，假如知道了高度，要求計(jì)算到這個(gè)高度所需要的時(shí)間，這時(shí)我們又可以通過(guò)下式來(lái)計(jì)算：

??????????????

經(jīng)過(guò)計(jì)算我們可以知道，當(dāng)高度是3米時(shí)，有兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)到達(dá)該高度：球向上運(yùn)動(dòng)時(shí)的時(shí)間是0.38秒，球向下運(yùn)動(dòng)時(shí)的時(shí)間是1.62秒。但是如果高度等于10時(shí)，結(jié)果又是什么呢？根據(jù)上面的式子可以發(fā)現(xiàn)存在對(duì)負(fù)數(shù)進(jìn)行開(kāi)平方運(yùn)算，我們知道這肯定是不現(xiàn)實(shí)的。

第一次使用這個(gè)不一般的式子的人是意大利數(shù)學(xué)家Girolamo Cardano（1501-1576），兩個(gè)世紀(jì)后，德國(guó)偉大數(shù)學(xué)家Carl Friedrich Gause（1777-1855）提出了復(fù)數(shù)的概念，為后來(lái)的應(yīng)用鋪平了道路，他對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行這樣表示：復(fù)數(shù)由實(shí)數(shù)（real）和虛數(shù)(imaginary)兩部分組成，虛數(shù)中的根號(hào)負(fù)1用i來(lái)表示（在這里我們用j來(lái)表示，因?yàn)閕在電力學(xué)中表示電流的意思）。
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我們可以把橫坐標(biāo)表示成實(shí)數(shù)，縱坐標(biāo)表示成虛數(shù)，則坐標(biāo)中的每個(gè)點(diǎn)的向量就可以用復(fù)數(shù)來(lái)表示，如下圖：
???????????????
?上圖中的ABC三個(gè)向量可以表示成如下的式子：

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??????????? A = 2 + 6j
??????????? B = -4 – 1.5j
??????????? C = 3 – 7j
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這樣子來(lái)表達(dá)方便之處在于運(yùn)用一個(gè)符號(hào)就能把兩個(gè)原來(lái)難以聯(lián)系起來(lái)的數(shù)組合起來(lái)了，不方便的是我們要分辨哪個(gè)是實(shí)數(shù)和哪個(gè)是虛數(shù)，我們一般是用Re( )和Im( )來(lái)表示實(shí)數(shù)和虛數(shù)兩部分，如：
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??????????? Re A = 2????? Im A = 6
??????????? Re B = -4???? Im B = -1.5
??????????? Re C = 3????? Im C = -7?
?
?????? 復(fù)數(shù)之間也可以進(jìn)行加減乘除運(yùn)算：
????????????
??
這里有個(gè)特殊的地方是j2等于-1，上面第四個(gè)式子的計(jì)算方法是把分子和分母同時(shí)乘以c – dj，這樣就可消去分母中的j了。
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復(fù)數(shù)也符合代數(shù)運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律、分配律：
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????????????? A B = B A
????????????? (A + B) + C = A + (B + C)
??????????? ? A(B + C) = AB + AC
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?
二、?復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)表示形式
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前面提到的是運(yùn)用直角坐標(biāo)來(lái)表示復(fù)數(shù)，其實(shí)更為普遍應(yīng)用的是極坐標(biāo)的表示方法，如下圖：

??????????????
上圖中的M即是數(shù)量積(magnitude)，表示從原點(diǎn)到坐標(biāo)點(diǎn)的距離，θ是相位角(phase angle)，表示從X軸正方向到某個(gè)向量的夾角，下面四個(gè)式子是計(jì)算方法：
?????????????????????
我們還可以通過(guò)下面的式子進(jìn)行極坐標(biāo)到直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換：

a + jb = M (cosθ + j sinθ)

上面這個(gè)等式中左邊是直角坐標(biāo)表達(dá)式，右邊是極坐標(biāo)表達(dá)式。
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還有一個(gè)更為重要的等式——?dú)W拉等式（歐拉，瑞士的著名數(shù)學(xué)家，Leonhard Euler，1707-1783）：

ejx = cos x + j sin x?

這個(gè)等式可以從下面的級(jí)數(shù)變換中得到證明：

上面中右邊的兩個(gè)式子分別是cos(x)和sin(x)的泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)。
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這樣子我們又可以把復(fù)數(shù)的表達(dá)式表示成指數(shù)的形式了：
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?????????? ??a + jb = M ejθ （這便是復(fù)數(shù)的兩個(gè)表達(dá)式）
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指數(shù)形式是數(shù)字信號(hào)處理中數(shù)學(xué)方法的支柱，也許是因?yàn)橛弥笖?shù)形式進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算極為簡(jiǎn)單的緣故吧：

??????????????
三、復(fù)數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)工具
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為什么要使用復(fù)數(shù)呢？其實(shí)它只是個(gè)工具而已，就如釘子和錘子的關(guān)系，復(fù)數(shù)就象那錘子，作為一種使用的工具。我們把要解決的問(wèn)題表達(dá)成復(fù)數(shù)的形式（因?yàn)橛行﹩?wèn)題用復(fù)數(shù)的形式進(jìn)行運(yùn)算更加方便），然后對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，最后再轉(zhuǎn)換回來(lái)得到我們所需要的結(jié)果。
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有兩種方法使用復(fù)數(shù)，一種是用復(fù)數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的替換，如前面所說(shuō)的向量表達(dá)式方法和前一節(jié)中我們所討論的實(shí)域DFT，另一種是更高級(jí)的方法：數(shù)學(xué)等價(jià)(mathematical equivalence)，復(fù)數(shù)形式的傅立葉變換用的便是數(shù)學(xué)等價(jià)的方法，但在這里我們先不討論這種方法，這里我們先來(lái)看一下用復(fù)數(shù)進(jìn)行替換中的問(wèn)題。
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用復(fù)數(shù)進(jìn)行替換的基本思想是：把所要分析的物理問(wèn)題轉(zhuǎn)換成復(fù)數(shù)的形式，其中只是簡(jiǎn)單地添加一個(gè)復(fù)數(shù)的符號(hào)j，當(dāng)返回到原來(lái)的物理問(wèn)題時(shí)，則只是把符號(hào)j去掉就可以了。
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有一點(diǎn)要明白的是并不是所有問(wèn)題都可以用復(fù)數(shù)來(lái)表示，必須看用復(fù)數(shù)進(jìn)行分析是否適用，有個(gè)例子可以看出用復(fù)數(shù)來(lái)替換原來(lái)問(wèn)題的表達(dá)方式明顯是謬誤的：假設(shè)一箱的蘋(píng)果是5美元，一箱的桔子是10美元，于是我們把它表示成 5 + 10j，有一個(gè)星期你買(mǎi)了6箱蘋(píng)果和2箱桔子，我們又把它表示成6 + 2j，最后計(jì)算總共花的錢(qián)是(5 + 10j)(6 + 2j) = 10 + 70j，結(jié)果是買(mǎi)蘋(píng)果花了10美元的，買(mǎi)桔子花了70美元，這樣的結(jié)果明顯是錯(cuò)了，所以復(fù)數(shù)的形式不適合運(yùn)用于對(duì)這種問(wèn)題的解決。
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四、用復(fù)數(shù)來(lái)表示正余弦函數(shù)表達(dá)式
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對(duì)于象M cos (ωt + φ)和A cos(ωt ) + B sin(ωt )表達(dá)式，用復(fù)數(shù)來(lái)表示，可以變得非常簡(jiǎn)潔，對(duì)于直角坐標(biāo)形式可以按如下形式進(jìn)行轉(zhuǎn)換：

???????

上式中余弦幅值A(chǔ)經(jīng)變換生成a，正弦幅值B的相反數(shù)經(jīng)變換生成b：A <=> a，B<=> -b，但要注意的是，這不是個(gè)等式，只是個(gè)替換形式而已。

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對(duì)于極坐標(biāo)形式可以按如下形式進(jìn)行轉(zhuǎn)換：

???????
??????
上式中，M <=> M，θ<=>φ。

這里虛數(shù)部分采用負(fù)數(shù)的形式主要是為了跟復(fù)數(shù)傅立葉變換表達(dá)式保持一致，對(duì)于這種替換的方法來(lái)表示正余弦，符號(hào)的變換沒(méi)有什么好處，但替換時(shí)總會(huì)被改變掉符號(hào)以跟更高級(jí)的等價(jià)變換保持形式上的一致。
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在離散信號(hào)處理中，運(yùn)用復(fù)數(shù)形式來(lái)表示正余弦波是個(gè)常用的技術(shù)，這是因?yàn)槔脧?fù)數(shù)進(jìn)行各種運(yùn)算得到的結(jié)果跟原來(lái)的正余弦運(yùn)算結(jié)果是一致的，但是，我們要小心使用復(fù)數(shù)操作，如加、減、乘、除，有些操作是不能用的，如兩個(gè)正弦信號(hào)相加，采用復(fù)數(shù)形式進(jìn)行相加，得到的結(jié)果跟替換前的直接相加的結(jié)果是一樣的，但是如果兩個(gè)正弦信號(hào)相乘，則采用復(fù)數(shù)形式來(lái)相乘結(jié)果是不一樣的。幸運(yùn)的是，我們已嚴(yán)格定義了正余弦復(fù)數(shù)形式的運(yùn)算操作條件：

1、參加運(yùn)算的所有正余弦的頻率必須是一樣的；
2、運(yùn)算操作必須是線性的，如兩個(gè)正弦信號(hào)可以進(jìn)行相加減，但不能進(jìn)行乘除，象信號(hào)的放大、衰減、高低通濾波等系統(tǒng)都是線性的，象平方、縮短、取限等則不是線性的。要記住的是卷積和傅立葉分析也只有線性操作才可以進(jìn)行。

下圖是一個(gè)相量變換(我們把正弦或余弦波變成復(fù)數(shù)的形式稱(chēng)為相量變換，Phasor transform)的例子，一個(gè)連續(xù)信號(hào)波經(jīng)過(guò)一個(gè)線性處理系統(tǒng)生成另一個(gè)信號(hào)波，從計(jì)算過(guò)程我們可以看出采用復(fù)數(shù)的形式使得計(jì)算變化十分的簡(jiǎn)潔：

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在第二章中我們描述的實(shí)數(shù)形式傅立葉變換也是一種替換形式的復(fù)數(shù)變換，但要注意的是那還不是復(fù)數(shù)傅立葉變換，只是一種代替方式而已。下一章、即，第四章，我們就會(huì)知道復(fù)數(shù)傅立葉變換是一種更高級(jí)的變換，而不是這種簡(jiǎn)單的替換形式。?

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第四章、復(fù)數(shù)形式離散傅立葉變換

復(fù)數(shù)形式的離散傅立葉變換非常巧妙地運(yùn)用了復(fù)數(shù)的方法，使得傅立葉變換變換更加自然和簡(jiǎn)潔，它并不是只是簡(jiǎn)單地運(yùn)用替換的方法來(lái)運(yùn)用復(fù)數(shù)，而是完全從復(fù)數(shù)的角度來(lái)分析問(wèn)題，這一點(diǎn)跟實(shí)數(shù)DFT是完全不一樣的。
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一、? 把正余弦函數(shù)表示成復(fù)數(shù)的形式

通過(guò)歐拉等式可以把正余弦函數(shù)表示成復(fù)數(shù)的形式：

cos( x ) = 1/2 e j(-x) + 1/2 ejx?
sin( x ) = j (1/2 e j(-x) - 1/2 ejx)?

從這個(gè)等式可以看出，如果把正余弦函數(shù)表示成復(fù)數(shù)后，它們變成了由正負(fù)頻率組成的正余弦波，相反地，一個(gè)由正負(fù)頻率組成的正余弦波，可以通過(guò)復(fù)數(shù)的形式來(lái)表示。
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我們知道，在實(shí)數(shù)傅立葉變換中，它的頻譜是0 ~ π(0 ~ N/2),但無(wú)法表示-π~ 0的頻譜，可以預(yù)見(jiàn)，如果把正余弦表示成復(fù)數(shù)形式，則能夠把負(fù)頻率包含進(jìn)來(lái)。
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二、? 把變換前后的變量都看成復(fù)數(shù)的形式

復(fù)數(shù)形式傅立葉變換把原始信號(hào)x[n]當(dāng)成是一個(gè)用復(fù)數(shù)來(lái)表示的信號(hào)，其中實(shí)數(shù)部分表示原始信號(hào)值，虛數(shù)部分為0，變換結(jié)果X[k]也是個(gè)復(fù)數(shù)的形式，但這里的虛數(shù)部分是有值的。

在這里要用復(fù)數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)看原始信號(hào)，是理解復(fù)數(shù)形式傅立葉變換的關(guān)鍵（如果有學(xué)過(guò)復(fù)變函數(shù)則可能更好理解，即把x[n]看成是一個(gè)復(fù)數(shù)變量，然后象對(duì)待實(shí)數(shù)那樣對(duì)這個(gè)復(fù)數(shù)變量進(jìn)行相同的變換）。
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三、? 對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行相關(guān)性算法（正向傅立葉變換）
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從實(shí)數(shù)傅立葉變換中可以知道，我們可以通過(guò)原始信號(hào)乘以一個(gè)正交函數(shù)形式的信號(hào)，然后進(jìn)行求總和，最后就能得到這個(gè)原始信號(hào)所包含的正交函數(shù)信號(hào)的分量。

現(xiàn)在我們的原始信號(hào)變成了復(fù)數(shù)，我們要得到的當(dāng)然是復(fù)數(shù)的信號(hào)分量，我們是不是可以把它乘以一個(gè)復(fù)數(shù)形式的正交函數(shù)呢？答案是肯定的，正余弦函數(shù)都是正交函數(shù)，變成如下形式的復(fù)數(shù)后，仍舊還是正交函數(shù)（這個(gè)從正交函數(shù)的定義可以很容易得到證明）：

??????????????? ?? cos x + j sin x, cos x – j sin x，……
?
這里我們采用上面的第二個(gè)式子進(jìn)行相關(guān)性求和，為什么用第二個(gè)式子呢?，我們?cè)诤竺鏁?huì)知道，正弦函數(shù)在虛數(shù)中變換后得到的是負(fù)的正弦函數(shù)，這里我們?cè)偌由弦粋€(gè)負(fù)號(hào)，使得最后的得到的是正的正弦波，根據(jù)這個(gè)于是我們很容易就可以得到了復(fù)數(shù)形式的DFT正向變換等式：

???????
???? 這個(gè)式子很容易可以得到歐拉變換式子：

???????

其實(shí)我們是為了表達(dá)上的方便才用到歐拉變換式，在解決問(wèn)題時(shí)我們還是較多地用到正余弦表達(dá)式。
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對(duì)于上面的等式，我們要清楚如下幾個(gè)方面（也是區(qū)別于實(shí)數(shù)DFT的地方）：
1、X[k]、x[n]都是復(fù)數(shù)，但x[n]的虛數(shù)部分都是由0組成的，實(shí)數(shù)部分表示原始信號(hào)；
2、k的取值范圍是0 ~ N-1 (也可以表達(dá)成0 ~ 2π)，其中0 ~ N/2（或0 ~ π）是正頻部分，

N/2 ~ N-1（π~ 2π）是負(fù)頻部分，由于正余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，所以我們把 –π~ 0表示成π~ 2π，這是出于計(jì)算上方便的考慮。
3、其中的j是一個(gè)不可分離的組成部分，就象一個(gè)等式中的變量一樣，不能隨便去掉，去掉之后意義就完全不一樣了，但我們知道在實(shí)數(shù)DFT中，j只是個(gè)符號(hào)而已，把j去掉，整個(gè)等式的意義不變；
4、下圖是個(gè)連續(xù)信號(hào)的頻譜，但離散頻譜也是與此類(lèi)似的，所以不影響我們對(duì)問(wèn)題的分析：

??????????????

?
上面的頻譜圖把負(fù)頻率放到了左邊，是為了迎合我們的思維習(xí)慣，但在實(shí)際實(shí)

現(xiàn)中我們一般是把它移到正的頻譜后面的。

從上圖可以看出，時(shí)域中的正余弦波（用來(lái)組成原始信號(hào)的正余弦波）在復(fù)數(shù)DFT的頻譜中被分成了正、負(fù)頻率的兩個(gè)組成部分，基于此等式中前面的比例系數(shù)是1/N（或1/2π），而不是2/N，這是因?yàn)楝F(xiàn)在把頻譜延伸到了2π,但把正負(fù)兩個(gè)頻率相加即又得到了2/N,又還原到了實(shí)數(shù)DFT的形式，這個(gè)在后面的描述中可以更清楚地看到。

由于復(fù)數(shù)DFT生成的是一個(gè)完整的頻譜，原始信號(hào)中的每一個(gè)點(diǎn)都是由正、負(fù)兩個(gè)頻率組合而成的，所以頻譜中每一個(gè)點(diǎn)的帶寬是一樣的，都是1/N，相對(duì)實(shí)數(shù)DFT，兩端帶寬比其它點(diǎn)的帶寬少了一半；復(fù)數(shù)DFT的頻譜特征具有周期性：-N/2 ~ 0與N/2 ~ N-1是一樣的，實(shí)域頻譜呈偶對(duì)稱(chēng)性（表示余弦波頻譜），虛域頻譜呈奇對(duì)稱(chēng)性（表示正弦波頻譜）。
?

四、? 逆向傅立葉變換
?
假設(shè)我們已經(jīng)得到了復(fù)數(shù)形式的頻譜X[k]，現(xiàn)在要把它還原到復(fù)數(shù)形式的原始信號(hào)x[n]，當(dāng)然應(yīng)該是把X[k]乘以一個(gè)復(fù)數(shù)，然后再進(jìn)行求和，最后得到原始信號(hào)x[n]，這個(gè)跟X[k]相乘的復(fù)數(shù)首先讓我們想到的應(yīng)該是上面進(jìn)行相關(guān)性計(jì)算的復(fù)數(shù)：

cos(2πkn/N) – j si(2πkn/N)，

但其中的負(fù)號(hào)其實(shí)是為了使得進(jìn)行逆向傅立葉變換時(shí)把正弦函數(shù)變?yōu)檎姆?hào)，因?yàn)樘摂?shù)j的運(yùn)算特殊性，使得原來(lái)應(yīng)該是正的正弦函數(shù)變?yōu)榱素?fù)的正弦函數(shù)（我們從后面的推導(dǎo)會(huì)看到這一點(diǎn)），所以這里的負(fù)號(hào)只是為了糾正符號(hào)的作用，在進(jìn)行逆向DFT時(shí)，我們可以把負(fù)號(hào)去掉，于是我們便得到了這樣的逆向DFT變換等式：

x[n] = X[k] (cos(2πkn/N) + j sin(2πkn/N))

我們現(xiàn)在來(lái)分析這個(gè)式子，會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)式其實(shí)跟實(shí)數(shù)傅立葉變換是可以得到一樣結(jié)果的。我們先把X[k]變換一下：

X[k] = Re X[k] + j Im X[k]

這樣我們就可以對(duì)x[n]再次進(jìn)行變換，如：

?????? ??? x[n] = (Re X[k] + j Im X[k]) (cos(2πkn/N) + j sin(2πkn/N))

???????? ????? ?? = ( Re X[k] cos(2πkn/N) + j Im X[k] cos(2πkn/N) +j Re X[k] sin(2πkn/N) -? Im X[k] sin(2πkn/N) )

???????????? ???? = ( Re X[k] （cos(2πkn/N) + j sin(2πkn/N)） +??? ---------------------(1)

????????????????????????? ? Im X[k] （ - sin(2πkn/N) + j cos(2πkn/N))）? ---------------(2)

?

這時(shí)我們就把原來(lái)的等式分成了兩個(gè)部分，第一個(gè)部分是跟實(shí)域中的頻譜相乘，第二個(gè)部分是跟虛域中的頻譜相乘，根據(jù)頻譜圖我們可以知道，Re X[k]是個(gè)偶對(duì)稱(chēng)的變量，Im X[k]是個(gè)奇對(duì)稱(chēng)的變量，即

Re X[k] = Re X[- k]
Im X[k] = - Im X[-k]

但k的范圍是0 ~ N-1，0~N/2表示正頻率，N/2~N-1表示負(fù)頻率，為了表達(dá)方便我們把N/2~N-1用-k來(lái)表示，這樣在從0到N-1的求和過(guò)程中對(duì)于(1)和(2)式分別有N/2對(duì)的k和-k的和，對(duì)于（1）式有：

Re X[k] (cos(2πkn/N) + j sin(2πkn/N)) + Re X[- k] (cos( - 2πkn/N) + j sin( -2πkn/N))

根據(jù)偶對(duì)稱(chēng)性和三角函數(shù)的性質(zhì)，把上式化簡(jiǎn)得到：
????????????????

Re X[k] (cos(2πkn/N) + j sin(2πkn/N)) + Re X[ k] (cos( 2πkn/N) - j sin( 2πkn/N))

這個(gè)式子最后的結(jié)果是：

2 Re X[ k] cos(2πkn/N)

再考慮到求Re X[ k]等式中有個(gè)比例系數(shù)1/N，把1/N乘以2，這樣的結(jié)果不就是跟實(shí)數(shù)DFT中的式子一樣了嗎？

?
對(duì)于(2)式，用同樣的方法，我們也可以得到這樣的結(jié)果：

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? ?-2 Im X[k] sin(2πkn/N)

注意上式前面多了個(gè)負(fù)符號(hào)，這是由于虛數(shù)變換的特殊性造成的，當(dāng)然我們肯定不能把負(fù)符號(hào)的正弦函數(shù)跟余弦來(lái)相加，還好，我們前面是用cos(2πkn/N) – j sin(2πkn/N)進(jìn)行相關(guān)性計(jì)算，得到的Im X[k]中有個(gè)負(fù)的符號(hào)，這樣最后的結(jié)果中正弦函數(shù)就沒(méi)有負(fù)的符號(hào)了，這就是為什么在進(jìn)行相關(guān)性計(jì)算時(shí)虛數(shù)部分要用到負(fù)符號(hào)的原因（我覺(jué)得這也許是復(fù)數(shù)形式DFT美中不足的地方，讓人有一種拼湊的感覺(jué)）。

從上面的分析中可以看出，實(shí)數(shù)傅立葉變換跟復(fù)數(shù)傅立葉變換，在進(jìn)行逆變換時(shí)得到的結(jié)果是一樣的，只不過(guò)是殊途同歸吧。

本文完。

創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎(jiǎng)勵(lì)來(lái)咯，堅(jiān)持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎(jiǎng)

總結(jié)

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