歐拉函數φ(N)表示小于或等于N的正整數中與N互質的數的個數。又稱φ函數、歐拉商數。

下面介紹歐拉函數的幾個性質：

我們根據這幾個性質就可以求出歐拉函數。

基本思路是首先置φ(N)=N，然后再枚舉素數p，將p的整數倍的歐拉函數φ(kp)進行如下操作。

代碼如下：

#include

using?namespace?std;

const?int?MAX?=?1024;

int?N;

int?p[MAX],?phi[MAX];

int?main()

{

????cin?>>?N;

????for(int?i?=?1;?i?<=?N;?i++) // 初始化

????{?p[i]?=?1;?phi[i]?=?i;?}

????p[1]?=?0; // 1不是素數

????for(int?i?=?2;?i?<=?N;?i++) // 篩素數

????{

????????if(p[i])

????????{

????????????for(int?j?=?i?*?i;?j?<=?N;?j?+=?i)

????????????{?p[j]?=?0;?}

????????}

????}

????for(int?i?=?2;?i?<=?N;?i++) // 求歐拉函數

????{

????????if(p[i])

????????{

????????????for(int?j?=?i;?j?<=?N;?j?+=?i) // 處理素因子p[i]

????????????{

????????????????phi[j]?=?phi[j]?/?i?*?(i?-?1); // 先除后乘，防止中間過程超出范圍

????????????}

????????}

????}

????cout?<<?"Primes: "?<<?endl;

????for(int?i?=?1;?i?<=?N;?i++)

????{?if(p[i])?{?cout?<<?i?<<?" ";?}?}

????cout?<<?endl;

????cout?<<?"Euler Phi Function: "?<<?endl;

????for(int?i?=?1;?i?<=?N;?i++)

????{?cout?<<?phi[i]?<<?" ";?}

????return?0;

}

以上是關于歐拉函數的求法，對于它的應用，這里暫且介紹一個——求解原根的個數。

對于原根的定義，我們可以這樣來敘述：

若存在一個實數a，使得( a^i ) mod N,a∈{1,2,3,?,N}的結果各不相同，我們就成實數a為N的一個原根。

原根的個數等于φ(φ(N))。這樣我們就可以很方便的求出原根的個數。

代碼如下：

#include

#include

using?namespace?std;

typedef?unsigned?long?long?ull;

ull?N;

ull phi(ull?x);

int?main()

{

????cin?>>?N;

????cout?<<?phi(phi(N))?<<?endl;

????return?0;

}

ull phi(ull?x)

{

????ull?ans?=?x;

????ull?m?=?(ull)sqrt(x);

????for(ull?i?=?2;?i?<<=?m;?i++)

????{

????????if(x?%?i?==?0) // 求素因子

????????{

????????????ans?=?ans?/?i?*?(i?-?1); // 運用通項求解歐拉函數

????????????while(x?%?i?==?0) // 每個素因子只計算一次

????????????{?x?/=?i;?}

????????}

????}

????if(x?>?1) // 防質數

????{?ans?=?ans?/?x?*?(x?-?1);?}

????return?ans;

}

轉自：ivy-end

http://www.ivy-end.com/archives/1021

總結

以上是生活随笔為你收集整理的一文读懂欧拉函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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