小智最近由于項目需要，經常要接觸到一些規劃類的問題。那今天就給大家講一講旅行商問題及其解法吧。

旅行商問題，即TSP問題（Travelling Salesman Problem）。問題是，有一個旅行商人要拜訪n個城市，每個城市只能拜訪一次，而且最后要回到原來出發的城市。這位商人如何設計拜訪順序，使走過的路徑最短？?

這種求最短距離問題有非常多實際場景會涉及到，比如，快遞公司為了使城市A到城市B的快遞件運輸速度達到最快，他們會選擇城市A到城市B的最短路徑來進行運輸。再比如，游戲當中的角色移動時，需要尋找到一條最短路徑進行移動，這樣游戲中的角色才不會失真。又比如，網絡當中需要有路由算法，用于計算最短的信息跳轉路徑。

一款RPG游戲的角色移動演示，你會發現角色走路沿最短路徑。如果不這樣設計，游戲的體驗感則會非常糟糕

這么多實際的精彩案例，旅行商問題確實值得研究，而且學習完說不定能派上用場。

對于這類問題，我個人這次傾向使用動態規劃算法來解這道問題，得到他的精確解。

動態規劃這種技術也是有非常多實際場景會涉及到，比如，以動態規劃為基礎原理的維特比算法，現今常用于語音識別這個領域。再比如，生物信息學中需要進行DNA之間的比對，找出最長的公共DNA部分。

語音識別技術使得人機交互的難度不斷下降，其背后離不開數學

這里首先講解一下動態規劃的步驟：

1、分段：將原問題分解為若干個相互重疊的子問題。

2、分析：分析問題，找出遞推式。

3、求解：利用遞推式自底向上計算，實現動態規劃過程。

其實，動態規劃的精妙之處在于，每個子問題只求解一次，并將解保存在一個表格中，當需要再次求解此子問題時，只是簡單地通過查表獲得該子問題的解，避免大量的重復計算。

為了更好地在旅行商問題上講解動態規劃算法，這里講一個簡單的例子，隔壁村的老王要去這4座城市拜訪，城市之間的距離如下圖。

四座城市之間的距離示意圖

圖中一共有4座城市，城市0、城市1、城市2、城市3。小智目測走完這幾個城市的最短路程為10（城市0→城市1→城市2→城市3→城市0）。

人總是有直覺，而且有時會非常準。

當然，我們要用科學而完整的方法而得到最短的拜訪路徑，不能總是依賴直覺，盡管直覺經常是對的。我們先用窮舉法列一下所有路徑：

這是暴力的窮舉法，一共需要運算3!×4=24次加法。

暴力法是能得到結果，但是時間復雜度是階乘階O（n!），是算法當中復雜度極高的等級。

常見的算法時間復雜度由小到大依次為：

常數階Ο(1)＜對數階Ο(logn)＜線性階Ο(n)＜線性對數階Ο(nlogn)＜平方Ο(n^2)＜立方階Ο(n^3)＜…＜指數階Ο(2^n)＜階乘階Ο(n!)。

?

從動態規劃的角度看，假如我們找到一條最短的路徑：城市0→城市1→城市2→城市3→城市0

那么，城市1→城市2→城市3→城市0必然是城市1到城市0的一條最短路徑。

假設該路徑不是城市1到城市0的一條最短路徑，設該路徑的總路程為d，那么會有一條新的路徑作為城市1到城市0的最短路徑d’, d > d’，那么城市0→新路徑→城市0為完成拜訪的最短路徑，與原假設”找到一條最短路徑：城市0→城市1→城市2→城市3→城市0”矛盾。

按照上述結論，可以將路徑進行分解。設最短路徑的符號標記為?L。那么：

L(城市0→城市0) = L(城市0→城市1) + L(城市1到城市0)

請注意，城市0是起點城市和終點城市。

假如已經獲知各座城市到城市0的最短路徑，那么從城市0到城市0歸結起來一共有三種路徑：

L(城市0→城市1) + L(城市1到城市0)

L(城市0→城市2) + L(城市2到城市0)

L(城市0→城市3) + L(城市3到城市0)

在上述路徑找到最短的路徑，即為拜訪所有城市的最短路徑。

上述路徑可以繼續分解。比如，以第1條路徑為例：

L(城市1到城市0) = L(城市1→城市2) + L(城市2到城市0)

就這樣，路徑一直可以被分解，到什么時候結束呢？假設繼續以上述的L(城市1到城市0)為例，繼續對L(城市2到城市0)進行分解：

L(城市2到城市0) = L(城市2→城市3) + L(城市3到城市0)

由于城市1、城市2之前已經出現過了，因此L(城市3到城市0)只能等于L(城市3→城市0)

至此，城市間的路徑全部可以被分解。

我們以符號來表達上述的過程。假設?d(i, V)?表示從城市 i經過城市集合 V各點一次后返回到出發點的最短距離。d(i, V)?可以按照一下方式分解：

其中，C_ki?為城市?k?到城市i?的距離。

這樣，動態規劃的遞推式出來了。

從城市0出發，經過城市1、2、3后回到城市0的最短路徑長度為：

這個是最后一個階段的決策，它必須依據?d(1, {2,3})、d(2, {1,3})?和?d(3, {1,2})的計算結果，繼續分解：

當然，還可以繼續進行分解：

上述過程可以發現，在計算的時候，可以不斷引用先前的計算結果，這就是動態規劃的特點。我們將上述過程在表格中把填寫一下：

至此，發現拜訪完所有城市的最短距離為10，印證了小智原來的想法。

上述執行加法的次數：

時間復雜度為O(2ⁿ)。動態規劃相比起窮舉法下降了一個等級，這個算法起到了重要的價值。

完成原理闡述，是時候寫代碼了，先整理一下偽代碼：

1、初始化一個表格d，用于記錄計算結果。并以距離初始化第0列

2、循環j=1:2^n-1-1

循環 i=(1:n，且不包含在V[j]）

? ? ? ? 循環 V[j]中的所有元素

? ? ? ? ?d[i][j] = min(c[i,k], d[k][V[j]去掉k元素后對應的序號])

3、計算d[0][2^n-1-1] = min(c[0,k] +d[k][2^n-1-2]，此為最短路徑長度

這里需要注意的是，集合V是從小變大，要先算V較小的部分，因此要找一個方式來表達集合V，然后對計算進行順序。

這里將數字轉換為二進制序列，以表示集合V擁有的元素，比如：[1,0,0]，可表示集合V只包含元素1，[0,1,1]，可表示集合V包含元素2和元素3。

二進制數可以映射到自然數區，比如：

0 →[0,0,0]、1 → [1,0,0]、2 → [0,1,0]、3 → [1,1,0]

4 →[0,0,1]、5 → [1,0,1]、6 → [0,1,1]、7 → [1,1,1]

為了實現集合從小到大的計算順序，對二進制序列進行特別的排序，其中第一排序條件是序列的總和，升序。第二排序條件是序列代表的數字，升序，轉換為以下排序。

這樣，按照上述表格中的序號作為順序進行計算即可。

可以動手編程了。我們挑一道更難的題目，有10座城市的TSP問題：

另一道題目：10座城市之間的距離矩陣

有了想法很快就可以付諸實踐了（回復“TSP程序”可以獲得程序），這是最美妙的地方。按照上述流程，最短路徑距離為284，最短路線：

0→3→1→5→7→6→2→8→4→9→0

當然，這個并不是一個完美的解法，隨著城市數量的增加，計算難度呈指數增長，目前關于TSP在多項式時間內的解法目前還沒出現，但我相信未來一定會誕生。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的递推与储存，是动态规划的关键的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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