详解全排列算法
簡介
給定 {1, 2, 3, , , n}，其全排列為 n! 個，這是最基礎的高中組合數學知識。我們以 n=4 為例，其全部排列如下圖（以字典序樹形式來呈現）：
我們很容易想到用遞歸來求出它的所有全排列。
仔細觀察上圖，
以 1 開頭，下面跟著 {2, 3, 4} 的全排列；
以 2 開頭，下面跟著 {1, 3, 4} 的全排列；
以 3 開頭，下面跟著 {1, 2, 4} 的全排列；
以 4 開頭，下面跟著 {1, 2, 3} 的全排列。
代碼如下：
/**
*
* author : 劉毅（Limer）
* date?? : 2017-05-31
* mode?? : C++
*/
?
#include?<iostream>
#include?<algorithm>
?
using?namespace?std;
?
void?FullPermutation(int?array[],?int?left,?int?right)
{
????if?(left?==?right)
????{
????????for?(int?i?=?0;?i?<?4;?i++)
????????????cout?<<?array[i]?<<?" ";
????????cout?<<?endl;
????}
????else
????{
????????for?(int?i?=?left;?i?<=?right;?i++)
????????{
????????????swap(array[i],?array[left]);
????????????FullPermutation(array,?left?+?1,?right);
????????????swap(array[i],?array[left]);
????????}
????}
}
?
int?main()
{
?
????int?array[4]?=?{?1,2,3,4?};
?
????FullPermutation(array,?0,?3);
?
????return?0;
}
運行如下：
咦~ 遞歸寫出的全排列有點不完美，它并不嚴格遵循字典序。但是熟悉 C++ 的朋友肯定知道另一種更簡單，更完美的全排列方法。
定義于文件 <algorithm> 內的兩個算法函數：
1、next_permutation，對于當前的排列，如果在字典序中還存在下一個排列，返回真，并且把當前排列調整為下一個排列；如果不存在，就把當前排列調整為字典序中的第一個排列（即遞增排列），返回假。
2、prev_permutation，對于當前的排列，如果在字典序中還存在上一個排列，返回真，并且把當前排列調整為上一個排列；如果不存在，就把當前排列調整為字典序中的最后一個排列（即遞減排列），返回假。
/**
*
* author : 劉毅（Limer）
* date?? : 2017-05-31
* mode?? : C++
*/
?
#include?<iostream>??
#include?<algorithm>??
?
using?namespace?std;
?
void?FullPermutation(int?array[])
{
????do
????{
????????for?(int?i?=?0;?i?<?4;?i++)
????????????cout?<<?array[i]?<<?" ";
????????cout?<<?endl;
????}?while?(next_permutation(array,?array?+?4));
}
?
int?main()
{
?
????int?array[4]?=?{?1,2,3,4?};
?
????FullPermutation(array);
?
????return?0;
}
運行截圖省略。輸出結果正好符合字典序。
那這個 “輪子” 是怎么做的呢？（摘自侯捷的《STL 源碼剖析》）
1、next_permutation，首先，從最尾端開始往前尋找兩個相鄰元素，令第一元素為*i，第二元素為*ii，且滿足*i < *ii，找到這樣一組相鄰元素后，再從最尾端開始往前檢驗，找出第一個大于*i的元素，令為*j，將 i，j 元素對調，再將 ii 之后的所有元素顛倒排列，此即所求之 “下一個” 排列組合。
2、prev_permutation，首先，從最尾端開始往前尋找兩個相鄰元素，令第一元素為*i，第二元素為*ii，且滿足*i > *ii，找到這樣一組相鄰元素后，再從最尾端開始往前檢驗，找出第一個小于*i的元素，令為*j，將 i，j 元素對調，再將 ii 之后的所有元素顛倒排列，此即所求之 “上一個” 排列組合。
代碼如下：
bool?next_permutation(int?*?first,?int?*?last)
{
????if?(first?==?last)?return?false;??// 空區間
????int?*?i?=?first;
????++i;
????if?(i?==?last)?return?false;??// 只有一個元素
????i?=?last;
????--i;
?
????for?(;;)
????{
????????int?*?ii?=?i;
????????--i;
????????if?(*i?< *ii)
????????{
????????????int?*?j?=?last;
????????????while?(!(*i?< *--j))??// 由尾端往前找，直到遇上比 *i 大的元素
????????????????;
????????????swap(*i,?*j);
????????????reverse(ii,?last);
????????????return?true;
????????}
????}
?
????if?(i?==?first)??// 當前排列為字典序的最后一個排列
????{
????????reverse(first,?last);??// 全部逆向排列，即為升序
????????return?false;
????}
}
?
bool?prev_premutation(int?*?first,?int?*?last)
{
????if?(first?==?last)?return?false;??// 空區間
????int?*?i?=?first;
????++i;
????if?(i?==?last)?return?false;??// 只有一個元素
????i?=?last;
????--i;
?
????for?(;;)
????{
????????int?*?ii?=?i;
????????--i;
????????if?(*i?> *ii)
????????{
????????????int?*?j?=?last;
????????????while?(!(*i?> *--j))??// 由尾端往前找，直到遇上比 *i 大的元素
????????????????;
????????????swap(*i,?*j);
????????????reverse(ii,?last);
????????????return?true;
????????}
????}
?
????if?(i?==?first)??// 當前排列為字典序的第一個排列
????{
????????reverse(first,?last);??// 全部逆向排列，即為降序
????????return?false;
????}
}
結后語
這篇文章主要介紹了解決不重復序列的全排列問題的兩個方法：遞歸和字典序法。
轉自：劉毅
https://61mon.com/index.php/archives/197/
總結
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