数学学得好，才可以发现别人发现不了的挣钱良机
全世界有3.14 %?的人已經(jīng)關(guān)注了
數(shù)據(jù)與算法之美
2011年，美國波士頓地區(qū)的一種彩票 “Cash WinFal”爆出了一個存在已久的漏洞。讓人驚奇的是，一對 73 歲的夫婦已經(jīng)利用這個漏洞賺了超過 600 萬美元 。一時間風(fēng)雨滿城，馬薩諸塞州也宣布要開始調(diào)查這件事情。
這個已銷售多年的彩票究竟哪里出了問題？而對于彩票這樣一種幾乎是完全看運氣的游戲，又真的有穩(wěn)賺不賠的方法嗎？那就來看看這對夫婦是怎么撿漏發(fā)大財?shù)陌伞?/span>
“Cash WinFal”彩票是怎么玩的？
這個叫做“Cash WinFal”的彩票游戲的 基本規(guī)則 很簡單，和國內(nèi)常見的“ X 選 X ”類似：每注彩票的價格為 2 美元，包含 1 – 46 中 6 個不重復(fù)的正整數(shù)。在普通的開獎周期（通常為一個星期）中，中獎情況為：
選擇 2 個和開獎號碼相同的數(shù)字，贏 2 美元。選擇 3 個和開獎號碼相同的數(shù)字，贏 5 美元。選擇 4 個和開獎號碼相同的數(shù)字，贏 150 美元。選擇 5 個和開獎號碼相同的數(shù)字，贏 4,000 美元。當(dāng)選擇的 6 個數(shù)字和開獎號碼完全相同時，則獲得頭獎（JACKPOT）。頭獎是一個滾動的獎池，也就是說，頭獎的金額是不固定的，初始金額為 50 萬美元。如果某一期沒有人中頭獎，那么獎金將在下一次開獎時增加，增加的數(shù)量和銷售額有關(guān)，大約是這期銷售額的 60%。
如果連續(xù)數(shù)期都沒有人能中頭獎，經(jīng)過這幾期的積累，頭獎（JACKPOT）金額會到達一個很龐大的數(shù)字，通常超過 200 萬美元。
這時候彩票的銷售商就會啟動一個特殊的開獎周期，這個周期被稱作“ROLLDOWN”。ROLLDOWN周期結(jié)束后，不管有沒有人贏得頭獎，頭獎的獎金都會重新變?yōu)?50 萬美元。
這個周期有另一個重大的變化，那就是小獎的獎金會相應(yīng)地變高：
選擇 2 個和開獎號碼相同的數(shù)字，獎金仍然是 2 美元。選擇 3 個和開獎號碼相同的數(shù)字，贏 50美元。選擇 4 個和開獎號碼相同的數(shù)字，贏 1,500 美元。選擇 5 個和開獎號碼相同的數(shù)字，贏 40,000 美元。當(dāng) 6 個數(shù)字和開獎號碼完全相同時，就能獲得至少 200 萬美元的超級大獎。表面上看，這個規(guī)則非常合理和人性化：當(dāng)由于無人能中頭獎導(dǎo)致獎金積累過多時，把獎金分配給其它小獎，讓大多數(shù)人受益。但就是這樣的一個規(guī)則，存在一個天大的漏洞，恰巧被那對夫婦發(fā)現(xiàn)，從而發(fā)了大財。
這個漏洞到底在哪里呢？
超級大獎背后的秘密
如果除去 ROLLDOWN，這個彩票和我們平時看到的彩票沒有任何區(qū)別。所以，問題一定出在ROLLDOWN上。
ROLLDOWN的特點是：最小的獎金和最大的獎金依然按照普通規(guī)則沒有變化，但是另外三個獎級的獎金和之前相比翻了 10 倍。
我們不妨分別算一下在普通規(guī)則和ROLLDOWN規(guī)則中中獎金額的期望。
對于最小的獎來說，要求獎券上的數(shù)字恰好有兩個號碼和開獎號碼相同。如果中了這個獎，說明獎券上有兩個號碼是 6 個開獎號碼之一，且有四個號碼是剩余 40 個沒有開出的號碼之一。
此時中獎的概率為：
此類推，我們還可以算出中其它幾個等級獎金的概率：
而除去這些中獎的情況，不中獎的概率為：
設(shè)某個普通的開獎周期中JACKPOT的獎金為 100 萬美元，此時每張彩票獲得獎金的期望為：
也就是說，彩票銷售商平均每張彩票可以賺到 1.20美元 。但是對于 ROLLDOWN 周期，按頭獎為 200 萬美元計，每張彩票的獎金期望就是：
此時購買彩票的人每張彩票平均可以賺得 2.46 美元！
對于每次只買一張或少數(shù)幾張彩票的彩民，這樣的改變其實沒有什么影響：購買一張彩票命中 3 個號碼或以上的概率實在太低，即使期望上升了，大部分此類彩民依然贏不到獎金。
但是對于那些留意到這個規(guī)律的“有心人”來說，事情就變得不一樣了。他們的做法是，在每個 ROLLDOWN 的周期，一口氣購買 10 萬美元以上的彩票。
這樣的購買行為就具有了統(tǒng)計學(xué)意義——此時可以用每張彩票的期望乘以彩票的數(shù)量來近似地表示他們獲得的利益：?以 10 萬美元計，每個 ROLLDOWN 周期他們平均能夠獲得 12.3 萬美元的獎金。
彩票銷售商在做什么？
既然有人可以用這個漏洞賺錢，那么一定有人因為這個漏洞而賠錢，很顯然賠錢的是彩票銷售商。
查閱資料可以發(fā)現(xiàn)，WinFal 從 2004 年 9 月 13 日開始銷售，前文提到的那對夫婦已經(jīng)利用這個漏洞賺了 600 萬美元的獎金，順便提一句，他們不止自己因此“受益”多年，還開了博彩公司將此方式推廣，在今年五月的一個 ROLLDOWN 周期中，共開出 1605 個獎項，其中 1105 個獎項為這家博彩公司所得。
一般情況下，每年都會出現(xiàn)幾個 ROLLDOWN 周期。從 2004 年到 2011 年這么長的時間，為什么銷售商沒有發(fā)覺呢？
首先是因為在很大程度上，這個漏洞還沒有被普及。 從目前了解到的信息 來看，利用這個漏洞來賺錢的，也只有新聞中的這一對夫婦而已。調(diào)查以往的記錄可以發(fā)現(xiàn)，大約 20 個開獎周期中才會有一個ROLLDOWN周期。
另一方面，對彩票銷售商來說，其實也并沒有造成多大損失。這個彩票發(fā)售的區(qū)域馬薩諸塞州，這個州總共有 600 萬人，假設(shè)其中 10% 的人在參與這個彩票游戲，即 60 萬人，那么每個普通周期彩票銷售商的平均收入為 600,000 × 1.20 = 720,000 美元。這樣在每個 ROLLDOWN 周期的前 19 個周期，可以獲得的收入就是 720,000 × 19 = 13,680,000 美元。
而在ROLLDOWN周期，如果沒有這對夫婦的參與，銷售商也會賠 600,000 × 2.46 = 1,476,000 美元。相比之下，這對夫婦所賺走的只是一個零頭了罷了。
換句話說，在沒有“撿漏者”參與的情況下，WinFal 的彩票銷售商每 20 個周期可以賺得13,680,000 - 1,476,000 = 12,204,000 美元。
既然一直在賺錢，他們自然想不到這個彩票有漏洞了，更別說有人利用它發(fā)了財。
這是穩(wěn)賺不賠的嗎？
不過要說的是，彩票是一個非常依賴運氣的游戲。即使找到了漏洞，這也不是一個穩(wěn)賺不賠的交易——只要不能幾乎把所有可能的號碼都買光，就依然有賠錢的風(fēng)險。
問題是這個風(fēng)險有多大呢？
我們可以把這對夫婦在每次 ROLLDOWN 周期買的每一張彩票的凈利益作為一個隨機變量，這樣假設(shè)他們每次隨機地購買 10 萬美元的彩票（即 5 萬張），就可以獲得一系列隨機變量 X1、 X2、 …、 X50000，它們相互獨立且服從同一分布。
根據(jù)中心極限定理，我們可以知道，它們相加所得的隨機變量服從如下的正態(tài)分布：
經(jīng)計算可知：
這樣，我們就能算出賠錢的概率為：
所以即使利用了這個漏洞，每次投入10 萬美元，仍然有 21.1% 的可能會賠錢。
不過一次性購買更多的彩票可以減少賠錢的可能性——如果一次購買 100 萬張彩票，賠錢的概率就僅剩 0.02%！
但是這需要許多的初始資金，而且如此大規(guī)模的動作也很容易就被發(fā)現(xiàn)，因此這對夫婦選擇的 10 萬美元應(yīng)該是比較適當(dāng)?shù)馁徺I額了，由此推斷，他們一定研究了很久，非常仔細地考慮了每個細節(jié)。
彩票——概率的游戲
在中國，體育彩票和福利彩票這兩大彩票是最廣為人知的。而它們的獎池金額都設(shè)有上限，這也是為了防止獲得獎金的期望大于 0 后出現(xiàn)漏洞。
而且，包括之前提到的 WinFal 在內(nèi)，所有這些彩票的獎池金額累計都與銷售額有關(guān)。還有就是，如果有多個人同時中了大獎，獎金一般都會被平分。
這些在一定程度上，都防止了賠本情況的出現(xiàn)——獎池的資金來自銷售所得，銷售商總會留下一部分利潤，只是多少問題而已。 WinFal 出現(xiàn)的漏洞，其實正是因為盲目地提高了不被平分的小獎獎金導(dǎo)致的。
總而言之，無論什么彩票，都是一種概率的游戲。如果能掌握了其中的原理，并多多加以琢磨，發(fā)現(xiàn)其中的漏洞也不是什么難事。實際上確實存在許多博彩組織，專門尋找彩票中的這種漏洞，以此獲利。
由此看來，僅僅把彩票當(dāng)做投機者的游戲，或許并不準(zhǔn)確，很多概率學(xué)家也在虎視眈眈呢！
看來，數(shù)學(xué)學(xué)得好，才可以發(fā)現(xiàn)別人發(fā)現(xiàn)不了的掙錢良機。新聞來源： U.S. 73-year-old wife exploited by researchers in the calculation of Massachusetts 6 million employed
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