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數(shù)據(jù)與算法之美

如果你問(wèn)蘋(píng)果手機(jī)上的Siri，“零除以零等于多少”，它會(huì)顯示：

但是，英文版的Siri還會(huì)用語(yǔ)音說(shuō)這一段話(huà)：

“假如你有0塊餅干，要分給0個(gè)朋友，每個(gè)人能分到幾塊？你看，這個(gè)問(wèn)題沒(méi)有任何意義吧？甜餅怪會(huì)難過(guò)，因?yàn)闆](méi)有餅干吃，而你也會(huì)難過(guò)，因?yàn)槟阋粋€(gè)朋友都沒(méi)有?！?/span>

（中文版也會(huì)，但言辭就沒(méi)那么傷人了……）

拋開(kāi)這個(gè)傷人的回答不論（有朋友誰(shuí)特么會(huì)跟你聊天啊喂！），除以零確實(shí)是個(gè)困擾很多人的問(wèn)題。

十除以二等于五，六除以三等于二，一除以零是多少？小學(xué)數(shù)學(xué)就會(huì)告訴你，答案是不能除。但是為什么？零也是個(gè)數(shù)字，它到底哪里特殊了？

?小學(xué)篇?

小學(xué)算術(shù)里，這個(gè)問(wèn)題很簡(jiǎn)單。那時(shí)我們把除法定義成“把一個(gè)東西分成幾份”，分成一二三四五六七份都很容易想象，但是你要怎么把10個(gè)餅干分給0個(gè)人呢？想象不出來(lái)嘛！所以不能除。

敏銳的同學(xué)可能會(huì)想到，要是0個(gè)餅干分給0個(gè)人的話(huà)，本來(lái)無(wú)一物，好像就沒(méi)關(guān)系了。但既然無(wú)物也無(wú)人，每個(gè)人分得多少都是可能的呀，根本無(wú)法給出一個(gè)單一確定的數(shù)值。

這結(jié)論沒(méi)錯(cuò)，但這都是憑直覺(jué)而得到的東西。你想象不出來(lái)，不一定意味著它沒(méi)有。遠(yuǎn)古時(shí)代的數(shù)學(xué)是建立在直覺(jué)上的，買(mǎi)菜是夠用了，但要進(jìn)一步發(fā)展，就必須要有定義和證明——所以，我們上了中學(xué)。

?初中篇?

現(xiàn)在我們開(kāi)始接觸最最基本的代數(shù)學(xué)——也就是解方程。我們發(fā)現(xiàn)，除法和乘法互為逆運(yùn)算，所以問(wèn)

1 / 0 = ?

就等于是解方程

0 * x = 1

好了，按照定義，0乘以任何數(shù)都是0，不可能等于1，所以滿(mǎn)足x的數(shù)字不存在，所以不能除。

同樣，如果問(wèn)

0 / 0 = ?

就等于是解方程

0 * x = 0

同理，任何數(shù)字都可以滿(mǎn)足x，所以也不能除——無(wú)法確定一個(gè)單一的答案。

?高中篇?

等到接觸了基本的形式邏輯，我們又會(huì)發(fā)現(xiàn)另一種證明方式：反證法。

一堆真的表述，不能推出一個(gè)假的表述，所以如果我們用“能夠正常地除以零”加上別的一堆真表述，最后推出假的來(lái)，那只能說(shuō)明“除以零”這件事情不成立了。

所以，已知

0 * 1 = 0 ?

0 * 2 = 0 ?

推出

?0 * 1 = 0 * 2

兩邊同時(shí)除以零，得到

?( 0 / 0 ) * 1 = ( 0 / 0 ) * 2

化簡(jiǎn)得到 1 = 2。這顯然是錯(cuò)的啦。

那么，問(wèn)題解決了吧！其實(shí)還沒(méi)有。想想另一個(gè)問(wèn)題：-1的平方根是多少？

你可能會(huì)說(shuō)，-1不能開(kāi)平方根，因?yàn)樗袛?shù)的平方都是非負(fù)的。但是這說(shuō)的是實(shí)數(shù)，我要是增加一個(gè)定義呢？定義i^2=-1，這就創(chuàng)造出了虛數(shù)，于是-1也能開(kāi)平方根了。

那么，為何不能定義一個(gè)“新”的數(shù)，讓 1 / 0 也等于它，并為這個(gè)數(shù)設(shè)立一套運(yùn)算法則呢？這就得去大學(xué)里回答了。

?大一篇?

剛學(xué)微積分課程就會(huì)立刻接觸到∞這個(gè)符號(hào)。咦，這不就是“無(wú)限”嘛。我們都學(xué)了極限的概念了，那么我令b趨向于0，然后把a(bǔ)/b的極限定義為無(wú)窮，不行嗎？

這就立刻遇到一個(gè)問(wèn)題，它的左極限和右極限不一樣啊。b是從負(fù)的那頭靠近0，還是正的那頭？這一個(gè)是越來(lái)越負(fù)，一個(gè)是越來(lái)越正，碰不到一起去。這樣的極限是沒(méi)法定義的。

因此，微積分課程里會(huì)反復(fù)說(shuō)，雖然用到了∞這個(gè)符號(hào)，但是這只是代表一個(gè)趨勢(shì)，絕對(duì)不是一個(gè)真正的數(shù)，不可參與運(yùn)算。

?大二篇?

那么吸取教訓(xùn)，我不用現(xiàn)成符號(hào)了，我直接定義 ?1 / 0 ?= w，w是個(gè)“無(wú)限大”的數(shù)，不碰什么極限，你總沒(méi)話(huà)說(shuō)了吧！

然而，定義不是說(shuō)來(lái)就來(lái)的，你雖然可以隨便定義東西，但定義完了如果和現(xiàn)有的其他系統(tǒng)矛盾，那就不能用，或者很不好用。

而我們面對(duì)w立刻就遇到了問(wèn)題。首先，w要怎么放入基本的加減乘除體系里？1 + w等于多少？w - w等于多少？如果你造了一個(gè)數(shù)，卻連加減乘除都不能做，那就不是很有用對(duì)吧。

比如直覺(jué)上，1 + w 應(yīng)該等于 w，它都無(wú)限了嘛！ 而 w - w 則等于0，自己減自己嘛！

但這樣立刻會(huì)和加法里極其重要的“結(jié)合律”產(chǎn)生矛盾： 1 + ( w - w ) = 1 + 0 = 1，可是( 1 + w ) - w = w - w = 0。結(jié)合律是加法里非?；镜臇|西，為了一個(gè)w，連結(jié)合律都不要了，這成本有點(diǎn)大——不光是結(jié)合律本身，多少數(shù)學(xué)定理證明過(guò)程中不自覺(jué)都用了它，扔了它就都得重來(lái)，建立新體系。新體系不是不能建，但是費(fèi)心費(fèi)力又（暫時(shí)）無(wú)卵用，所以大家還是在老實(shí)用舊的——而舊的里面，為了保住結(jié)合律，就不能這么玩。

歡迎讀者們發(fā)揮自己的想象力，嘗試為 w 給出運(yùn)算方式。但是你會(huì)發(fā)現(xiàn)，無(wú)論怎么規(guī)定w和別的數(shù)字之間的關(guān)系，只要你還堅(jiān)持 1 / 0 = w，你就沒(méi)法讓它和你從小學(xué)習(xí)的基本數(shù)學(xué)不矛盾。還是那句話(huà)，你可以另立門(mén)戶(hù)，在w的基礎(chǔ)上建立起你的新數(shù)學(xué)，但它和大部分傳統(tǒng)數(shù)學(xué)是不相容的，而且肯定會(huì)非常不好用，所以我們用了一個(gè)不能除以零的體系是非常合理的。

?大三篇?

你可能會(huì)提出反對(duì)：有那么多的定義方式，我都試過(guò)？要是沒(méi)試過(guò)，我怎么知道不會(huì)某一天冒出來(lái)一個(gè)能夠自洽的辦法？

“新發(fā)現(xiàn)推翻舊結(jié)論”這種事情，在生物里可以有，化學(xué)里可以有，物理里可以有，唯獨(dú)數(shù)學(xué)里沒(méi)有。因?yàn)閿?shù)學(xué)建立在邏輯上，個(gè)案有例外，邏輯沒(méi)有例外。當(dāng)然我們的數(shù)學(xué)還沒(méi)有完成最終公理化，還要面對(duì)哥德?tīng)柕挠撵`，但至少在這個(gè)例子里，如果w是一個(gè)真正的數(shù)，那它就違反了一些非常重要的公理，而這些公理的地位可是非常之深。解析直覺(jué)，推薦閱讀《數(shù)學(xué)思考法》

比如有一組基本的公理叫“皮亞諾公理”，其中有一條說(shuō)，每一個(gè)確定的自然數(shù)都有一個(gè)確定的后繼，后繼也是自然數(shù)；另一條說(shuō)，自然數(shù) b=c，當(dāng)且僅當(dāng) b 的后繼 =c 的后繼。

那w是誰(shuí)的后繼呢——或者說(shuō)，誰(shuí)加上1能得到 w 呢？顯然所有其他的數(shù)字都已經(jīng)有了自己的后繼，w 在其中沒(méi)有位置，沒(méi)有任何其他的數(shù)加上1能成為 w。那么就只能是1+w=w了，可那就直接和第二句話(huà)矛盾。而沒(méi)有皮亞諾公理，整個(gè)自然數(shù)的體系都不能成立。

這里假定w是自然數(shù)。其他情況會(huì)略微復(fù)雜一些，但無(wú)論如何，類(lèi)似的事情發(fā)生在w的各種定義里。如果你想把 w 當(dāng)成一個(gè)數(shù)，那就沒(méi)法和我們現(xiàn)有的實(shí)數(shù)兼容。所以我們?cè)趲缀跛袌?chǎng)合下都只能宣布，不能除以 0。

?大四以上篇?

既然我們之前說(shuō)了個(gè)“幾乎”，那就是有例外的——在個(gè)別奇葩場(chǎng)合下，可以。

比如有一個(gè)東西叫做“復(fù)無(wú)窮”，它是擴(kuò)充復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)，真的是有定義的一個(gè)點(diǎn)。在這個(gè)特殊的規(guī)則下你可以寫(xiě)下 1 / 0 = ∞ 這樣一個(gè)表達(dá)式。這么做的原因就說(shuō)來(lái)話(huà)長(zhǎng)了，但它不是平常意義上的運(yùn)算——比如你不能把0拿回來(lái)，不能寫(xiě) 1 = 0 * ∞。

另外，“無(wú)窮”二字在一些別的場(chǎng)合下是可以當(dāng)成一個(gè)“東西”去對(duì)待的。比如當(dāng)你衡量一個(gè)集合的大小的時(shí)候，它可以是無(wú)窮大的。但這就有很多種不同的無(wú)窮大了——自然數(shù)是無(wú)窮多的，有理數(shù)是無(wú)窮多的，實(shí)數(shù)也是無(wú)窮多的，可是奇數(shù)和偶數(shù)和正整數(shù)和負(fù)整數(shù)和自然數(shù)和有理數(shù)都一樣多，而實(shí)數(shù)卻比它們都多！同樣是無(wú)窮，有的無(wú)窮比別的無(wú)窮更無(wú)窮。但這就是另一個(gè)話(huà)題了，打住。學(xué)會(huì)像數(shù)學(xué)家一樣思考，推薦閱讀《數(shù)學(xué)思維導(dǎo)論》。

?總結(jié)篇?

所以，當(dāng)我們說(shuō)不能除以零的時(shí)候，理由……竟然出乎意料地充足。有許多直覺(jué)在數(shù)學(xué)里被推翻了，但是這一條沒(méi)有。我們有種種數(shù)學(xué)上的方式去證明它無(wú)法成立的原因，雖然也許聽(tīng)起來(lái)不如Siri的回答那么心暖（或者心寒），但這些理性的愉悅也是一種美麗，對(duì)吧？

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數(shù)據(jù)與算法之美

用數(shù)據(jù)解決不可能

長(zhǎng)按掃碼關(guān)注

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的为什么不能除以零？的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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