全世界只有3.14 %?的人關(guān)注了

爆炸吧知識(shí)

用高等數(shù)學(xué)

清掃腳下路

前幾天，北京下了2021年的第一場(chǎng)雪。這讓生活在廣州的超模君羨慕不已，原本打算春節(jié)前去哈爾濱看個(gè)冰雕，結(jié)果由于各種原因一直都沒(méi)成行。

一個(gè)月前被關(guān)進(jìn)小黑屋的設(shè)計(jì)師妹子剛好來(lái)自哈爾濱。她聽(tīng)見(jiàn)超模君竟然想看雪，雙眼在流露出0.3秒鐘的不屑后（她可能還以為我沒(méi)發(fā)現(xiàn)），說(shuō)出了一句讓我覺(jué)得她整個(gè)人都在發(fā)光的話(huà)。

她說(shuō)：“下大雪看著確實(shí)挺好看的，可對(duì)那些無(wú)家可歸的人，還有天沒(méi)亮就起來(lái)掃街的環(huán)衛(wèi)工來(lái)說(shuō)，尤其是老人，下雪會(huì)讓他們本來(lái)就困難的生活更加艱難。”

超模君當(dāng)時(shí)就下決定，她下次要是再被關(guān)小黑屋，一定要替她求情！

也就是因?yàn)樗@句話(huà)，超模君突然想到了一個(gè)關(guān)于雪還有清掃馬路的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

看完以后，誰(shuí)再問(wèn)你數(shù)學(xué)有什么用，可以直接把這篇文章轉(zhuǎn)給他。

數(shù)學(xué)清掃馬路？

在上面這張圖中，很明顯，地面被白雪覆蓋，公路上卻干干凈凈。這肯定不是雪花故意繞開(kāi)的選擇，也不能是靠環(huán)衛(wèi)工純?nèi)肆θ叱摹?br />

沒(méi)見(jiàn)過(guò)雪的南方孩子或許知道向積雪路面“撒鹽”可以融雪，但他們一定沒(méi)有見(jiàn)過(guò)這個(gè)東西。

不好意思，放錯(cuò)了，是下面這個(gè)。

組合鏟雪車(chē)

當(dāng)然，在國(guó)內(nèi)，北方孩子最常見(jiàn)的還是下面這種鏟雪車(chē)：

那為啥說(shuō)它跟數(shù)學(xué)有關(guān)呢？這就要說(shuō)到路線(xiàn)規(guī)劃問(wèn)題。

學(xué)過(guò)數(shù)學(xué)的人一輩子都不會(huì)忘記的知識(shí)點(diǎn)中，一定有一句“兩點(diǎn)之間直線(xiàn)最短”。可公路并不總是直線(xiàn)連接的，而且也不只有一個(gè)“鏟”那么寬。

雖然鏟雪車(chē)出現(xiàn)的目的就是為了鏟雪，但也不能隨心所欲地開(kāi)，能夠找到一條省時(shí)、省油又能清掃干凈的路線(xiàn)，可以省一大筆錢(qián)。

好比，加拿大的多倫多用“圖論原理”對(duì)鏟雪線(xiàn)路進(jìn)行規(guī)劃后，鏟雪費(fèi)用比之前減少了三分之一，每年節(jié)省了大約300萬(wàn)美金（約合2千萬(wàn)人民幣）。

怎么用數(shù)學(xué)清掃馬路？

一條最短鏟雪路線(xiàn)是鏟雪車(chē)橫穿所有所需的過(guò)道，而不會(huì)回溯路線(xiàn)的任何部分。如果存在這樣的路徑，則稱(chēng)為歐拉路徑；如果該路徑在同一位置開(kāi)始和結(jié)束，則稱(chēng)為歐拉回路。

經(jīng)過(guò)一個(gè)圖中每條邊且僅經(jīng)過(guò)一次，并且經(jīng)過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)的路徑，叫做這個(gè)圖的一條歐拉路徑（Euler Path），如果歐拉路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)則這條歐拉路徑為歐拉回路（Euler circuit）。

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)：

數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，表示此問(wèn)題的簡(jiǎn)便方法是使用圖形。圖形只是邊緣和頂點(diǎn)交叉的集合。對(duì)于掃雪車(chē)路線(xiàn)，邊緣代表掃雪車(chē)必須走的街道，并且頂點(diǎn)是交叉點(diǎn)。

例如，對(duì)于世界上最簡(jiǎn)單的城市（如下左圖所示），該圖由四個(gè)邊和四個(gè)頂點(diǎn)（如下右圖所示）組成。

數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，確定歐拉路徑是否存在的關(guān)鍵是奇數(shù)頂點(diǎn)的數(shù)量。即使頂點(diǎn)連接偶數(shù)個(gè)邊，也將其視為頂點(diǎn)；如果頂點(diǎn)連接奇數(shù)個(gè)頂點(diǎn)，則將其視為奇數(shù)，反之則為偶數(shù)。上面的圖形有四個(gè)偶數(shù)頂點(diǎn)，下面的城市有四個(gè)偶數(shù)頂點(diǎn)和兩個(gè)奇數(shù)頂點(diǎn)。

?通過(guò)多次試驗(yàn)，你很容易就會(huì)發(fā)現(xiàn)：

但現(xiàn)實(shí)并不像理想中的那么簡(jiǎn)單，問(wèn)題很快就出現(xiàn)了：如果有兩個(gè)以上的奇數(shù)頂點(diǎn)，該怎么辦？

一種答案是使用更多的鏟雪車(chē)，這一看就知道不是最佳選擇。

在這種情況下，實(shí)際上可以將圖形分成“邊緣分離的路徑”，它們是沒(méi)有任何公共邊的簡(jiǎn)單路徑。對(duì)于具有?奇數(shù)個(gè)頂點(diǎn)的任何一組連通的頂點(diǎn)，該圖可能會(huì)覆蓋n個(gè)邊不相交的路徑。

比如，如果我們的城市變大了一點(diǎn)，隨之我們就添加了另一條途徑，則對(duì)應(yīng)的圖形將如下圖所示。

請(qǐng)注意，它具有個(gè)奇數(shù)頂點(diǎn)，因此可以用2條邊緣分離的路徑覆蓋，如下所示。

（虛線(xiàn)為1條，實(shí)線(xiàn)為另1條）

這種情況下，如果你是想找到一條最少重復(fù)的路徑，而不是嘗試去找一條不相交的路徑，該怎么辦？

一種非常簡(jiǎn)單的辦法就是加邊，通過(guò)添加“邊”，就可以使奇數(shù)頂點(diǎn)的數(shù)量減少2個(gè)，這樣就能找到一條歐拉路徑。而且，如果把奇數(shù)頂點(diǎn)的數(shù)量減少到0（如下圖），就可以找到一個(gè)歐拉回路。

?所以，如果你看到鏟雪車(chē)在街道上來(lái)回開(kāi)兩次，這可不代表效率低，實(shí)際上可能非常高效。?灑水車(chē)和垃圾掃地車(chē)也是這個(gè)原理。

七橋問(wèn)題與中國(guó)郵差問(wèn)題

然而實(shí)際上，公路可能七扭八拐，這要怎么找奇偶數(shù)頂點(diǎn)？如果不能應(yīng)用到實(shí)際生活中，那么從這個(gè)角度來(lái)看，“歐拉途徑”這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題確實(shí)“沒(méi)什么用”。

但是，隨著科技的發(fā)展，衛(wèi)星定位技術(shù)已經(jīng)可以把“世界”放在地圖上。

又得益于計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步，一些軟件能夠把城市的交通網(wǎng)進(jìn)行分割分析，然后再分別進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而規(guī)劃出路徑，歐拉途徑就這樣被應(yīng)用到了“鏟雪”一事上。

但是，計(jì)算機(jī)并不是直接在歐拉問(wèn)題的基礎(chǔ)上開(kāi)始的，而是先從中國(guó)郵差問(wèn)題。

1962年，我國(guó)數(shù)學(xué)家管梅谷提出過(guò)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：一名郵差從郵局出發(fā)送信，要求對(duì)轄區(qū)內(nèi)每條街，都至少通過(guò)一次，再回郵局。在此條件下，怎樣選擇一條最短路線(xiàn)？后來(lái)，美國(guó)數(shù)學(xué)家 Alan J. Goldman 把這個(gè)問(wèn)題命名為“中國(guó)郵差問(wèn)題”。

這個(gè)問(wèn)題同理可以套用掃水車(chē)、路面清理......

不過(guò)最后還是得繞回歐拉身上，因?yàn)闅W拉在1735年就研究過(guò)一個(gè)和管梅谷類(lèi)似的問(wèn)題——七橋問(wèn)題，并得到了一些重要的結(jié)論。

七橋問(wèn)題 圖片來(lái)源：wikipedia

在普魯士的柯尼斯堡有兩個(gè)小島，兩個(gè)小島和附近一共有7座橋連通。怎樣規(guī)劃路線(xiàn)才能恰好經(jīng)過(guò)每一座橋一次？

可是。歐拉雖然提出了七橋問(wèn)題，但他給出的能解的一般條件是每塊地都必須有偶數(shù)座橋，而七橋問(wèn)題不符合這種情況，也就是說(shuō)七橋問(wèn)題不可解。

歐拉證明，只有當(dāng)奇頂點(diǎn)的數(shù)量等于0或2時(shí)，才存在一筆畫(huà)。七橋問(wèn)題的奇頂點(diǎn)（藍(lán)點(diǎn)）的數(shù)量等于4，因此無(wú)法一筆畫(huà)。

后來(lái)，類(lèi)似七橋問(wèn)題、中國(guó)郵差問(wèn)題的問(wèn)題在數(shù)學(xué)上發(fā)展成了圖論和拓?fù)鋵W(xué)。因?yàn)闅W拉的開(kāi)創(chuàng)性貢獻(xiàn)，一筆畫(huà)的圖被叫做歐拉圖，一筆畫(huà)的路徑被叫做歐拉路徑。

串的奇頂點(diǎn)有2個(gè)（最上和最下）

把歐拉證明的結(jié)論用到到中國(guó)郵差問(wèn)題上，遇到三岔路口、五岔路口時(shí)就不得不回頭。

于是計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)家們就把奇數(shù)路口單獨(dú)另算，再找到這些路口間的最短路徑；又因?yàn)榕紨?shù)岔路口一定存在只走一次的方法，最后把這兩部分拼起來(lái)就找到了“最短路徑”。

也就是：

就這樣，北方的孩子再也不用滑雪橇上學(xué)了。

寫(xiě)在最后

所以，如果有一天你聽(tīng)見(jiàn)有人說(shuō)博士生“掃大街”，千萬(wàn)不要再驚訝了！

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在這個(gè)浮躁的時(shí)代，一些人覺(jué)得研究純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)家要名難出名，要利難獲利，他們應(yīng)該把自己的聰明才智用在搞金融上。

數(shù)學(xué)研究是一個(gè)功在后世的學(xué)科，正如200多年前歐拉的一個(gè)數(shù)學(xué)證明，可以在今天方便我們的生活一樣。偉大的數(shù)學(xué)家看的不是眼前，而是未來(lái)。

然而，科學(xué)的發(fā)展不能只靠數(shù)學(xué)家來(lái)推動(dòng)！每一位數(shù)理愛(ài)好者的出現(xiàn)，都是科學(xué)長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展的推動(dòng)力。

為了紀(jì)念偉大的數(shù)學(xué)家們，也為了讓更多的人可以通俗易懂地領(lǐng)略數(shù)理之美，我們特別推出了《數(shù)學(xué)之旅·閃耀人類(lèi)的54個(gè)數(shù)學(xué)家》

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作者簡(jiǎn)介：超模君，數(shù)學(xué)教育與生活自媒體博主，新晉理工科奶爸。出版過(guò)《芥子須彌 · 大科學(xué)家的小故事》；《數(shù)學(xué)之旅·閃耀人類(lèi)的54個(gè)數(shù)學(xué)家》。后續(xù)數(shù)學(xué)文化創(chuàng)意多多，歡迎關(guān)注認(rèn)識(shí)！

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的用高等数学“铲雪”！这个200多年前的证明太厉害了，有城市用它省了2000多万..........的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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