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爆炸吧知識

用高等數學

清掃腳下路

前幾天，北京下了2021年的第一場雪。這讓生活在廣州的超模君羨慕不已，原本打算春節前去哈爾濱看個冰雕，結果由于各種原因一直都沒成行。

一個月前被關進小黑屋的設計師妹子剛好來自哈爾濱。她聽見超模君竟然想看雪，雙眼在流露出0.3秒鐘的不屑后（她可能還以為我沒發現），說出了一句讓我覺得她整個人都在發光的話。

她說：“下大雪看著確實挺好看的，可對那些無家可歸的人，還有天沒亮就起來掃街的環衛工來說，尤其是老人，下雪會讓他們本來就困難的生活更加艱難。”

超模君當時就下決定，她下次要是再被關小黑屋，一定要替她求情！

也就是因為她這句話，超模君突然想到了一個關于雪還有清掃馬路的數學問題。

看完以后，誰再問你數學有什么用，可以直接把這篇文章轉給他。

數學清掃馬路？

在上面這張圖中，很明顯，地面被白雪覆蓋，公路上卻干干凈凈。這肯定不是雪花故意繞開的選擇，也不能是靠環衛工純人力去掃除的。

沒見過雪的南方孩子或許知道向積雪路面“撒鹽”可以融雪，但他們一定沒有見過這個東西。

不好意思，放錯了，是下面這個。

組合鏟雪車

當然，在國內，北方孩子最常見的還是下面這種鏟雪車：

那為啥說它跟數學有關呢？這就要說到路線規劃問題。

學過數學的人一輩子都不會忘記的知識點中，一定有一句“兩點之間直線最短”。可公路并不總是直線連接的，而且也不只有一個“鏟”那么寬。

雖然鏟雪車出現的目的就是為了鏟雪，但也不能隨心所欲地開，能夠找到一條省時、省油又能清掃干凈的路線，可以省一大筆錢。

好比，加拿大的多倫多用“圖論原理”對鏟雪線路進行規劃后，鏟雪費用比之前減少了三分之一，每年節省了大約300萬美金（約合2千萬人民幣）。

怎么用數學清掃馬路？

一條最短鏟雪路線是鏟雪車橫穿所有所需的過道，而不會回溯路線的任何部分。如果存在這樣的路徑，則稱為歐拉路徑；如果該路徑在同一位置開始和結束，則稱為歐拉回路。

經過一個圖中每條邊且僅經過一次，并且經過每個頂點的路徑，叫做這個圖的一條歐拉路徑（Euler Path），如果歐拉路徑的起點和終點是同一個點則這條歐拉路徑為歐拉回路（Euler circuit）。

簡單來說：

數學家發現，表示此問題的簡便方法是使用圖形。圖形只是邊緣和頂點交叉的集合。對于掃雪車路線，邊緣代表掃雪車必須走的街道，并且頂點是交叉點。

例如，對于世界上最簡單的城市（如下左圖所示），該圖由四個邊和四個頂點（如下右圖所示）組成。

數學家發現，確定歐拉路徑是否存在的關鍵是奇數頂點的數量。即使頂點連接偶數個邊，也將其視為頂點；如果頂點連接奇數個頂點，則將其視為奇數，反之則為偶數。上面的圖形有四個偶數頂點，下面的城市有四個偶數頂點和兩個奇數頂點。

?通過多次試驗，你很容易就會發現：

但現實并不像理想中的那么簡單，問題很快就出現了：如果有兩個以上的奇數頂點，該怎么辦？

一種答案是使用更多的鏟雪車，這一看就知道不是最佳選擇。

在這種情況下，實際上可以將圖形分成“邊緣分離的路徑”，它們是沒有任何公共邊的簡單路徑。對于具有?奇數個頂點的任何一組連通的頂點，該圖可能會覆蓋n個邊不相交的路徑。

比如，如果我們的城市變大了一點，隨之我們就添加了另一條途徑，則對應的圖形將如下圖所示。

請注意，它具有個奇數頂點，因此可以用2條邊緣分離的路徑覆蓋，如下所示。

（虛線為1條，實線為另1條）

這種情況下，如果你是想找到一條最少重復的路徑，而不是嘗試去找一條不相交的路徑，該怎么辦？

一種非常簡單的辦法就是加邊，通過添加“邊”，就可以使奇數頂點的數量減少2個，這樣就能找到一條歐拉路徑。而且，如果把奇數頂點的數量減少到0（如下圖），就可以找到一個歐拉回路。

?所以，如果你看到鏟雪車在街道上來回開兩次，這可不代表效率低，實際上可能非常高效。?灑水車和垃圾掃地車也是這個原理。

七橋問題與中國郵差問題

然而實際上，公路可能七扭八拐，這要怎么找奇偶數頂點？如果不能應用到實際生活中，那么從這個角度來看，“歐拉途徑”這個數學問題確實“沒什么用”。

但是，隨著科技的發展，衛星定位技術已經可以把“世界”放在地圖上。

又得益于計算機技術的進步，一些軟件能夠把城市的交通網進行分割分析，然后再分別進行計算，進而規劃出路徑，歐拉途徑就這樣被應用到了“鏟雪”一事上。

但是，計算機并不是直接在歐拉問題的基礎上開始的，而是先從中國郵差問題。

1962年，我國數學家管梅谷提出過一個數學問題：一名郵差從郵局出發送信，要求對轄區內每條街，都至少通過一次，再回郵局。在此條件下，怎樣選擇一條最短路線？后來，美國數學家 Alan J. Goldman 把這個問題命名為“中國郵差問題”。

這個問題同理可以套用掃水車、路面清理......

不過最后還是得繞回歐拉身上，因為歐拉在1735年就研究過一個和管梅谷類似的問題——七橋問題，并得到了一些重要的結論。

七橋問題 圖片來源：wikipedia

在普魯士的柯尼斯堡有兩個小島，兩個小島和附近一共有7座橋連通。怎樣規劃路線才能恰好經過每一座橋一次？

可是。歐拉雖然提出了七橋問題，但他給出的能解的一般條件是每塊地都必須有偶數座橋，而七橋問題不符合這種情況，也就是說七橋問題不可解。

歐拉證明，只有當奇頂點的數量等于0或2時，才存在一筆畫。七橋問題的奇頂點（藍點）的數量等于4，因此無法一筆畫。

后來，類似七橋問題、中國郵差問題的問題在數學上發展成了圖論和拓撲學。因為歐拉的開創性貢獻，一筆畫的圖被叫做歐拉圖，一筆畫的路徑被叫做歐拉路徑。

串的奇頂點有2個（最上和最下）

把歐拉證明的結論用到到中國郵差問題上，遇到三岔路口、五岔路口時就不得不回頭。

于是計算機數學家們就把奇數路口單獨另算，再找到這些路口間的最短路徑；又因為偶數岔路口一定存在只走一次的方法，最后把這兩部分拼起來就找到了“最短路徑”。

也就是：

就這樣，北方的孩子再也不用滑雪橇上學了。

寫在最后

所以，如果有一天你聽見有人說博士生“掃大街”，千萬不要再驚訝了！

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在這個浮躁的時代，一些人覺得研究純數學和應用數學的數學家要名難出名，要利難獲利，他們應該把自己的聰明才智用在搞金融上。

數學研究是一個功在后世的學科，正如200多年前歐拉的一個數學證明，可以在今天方便我們的生活一樣。偉大的數學家看的不是眼前，而是未來。

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作者簡介：超模君，數學教育與生活自媒體博主，新晉理工科奶爸。出版過《芥子須彌 · 大科學家的小故事》；《數學之旅·閃耀人類的54個數學家》。后續數學文化創意多多，歡迎關注認識！

本文系網易新聞·網易號“各有態度”特色內容

部分資料來源于網絡

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超模君每周分享來襲

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的用高等数学“铲雪”！这个200多年前的证明太厉害了，有城市用它省了2000多万..........的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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