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爆炸吧知識(shí)

負(fù)負(fù)得正

怎么證明？

放假了，8歲表妹又來我家打算好好學(xué)習(xí)。今天聊著聊著，超模君差點(diǎn)被她給繞進(jìn)去。

她：“老師說負(fù)負(fù)得正，所以，所以所有的負(fù)數(shù)乘以負(fù)數(shù)都是正數(shù)，對嗎？”

我：“負(fù)負(fù)得正，沒錯(cuò)！”

她：“那你再借我5塊錢唄，這樣你就掙了25塊錢了~”。

超模君當(dāng)時(shí)那個(gè)眼睛真的是直愣愣地看著她，這到底是什么小機(jī)靈鬼，早上剛從我手機(jī)殼里抽出5塊大洋給她，現(xiàn)在又要5塊......

我：“哈哈，你可別胡說，我可不放高利貸！咱倆誰跟誰，把那5塊還我就行了！”

她一副恨其不爭的模樣，對著超模君一邊搖頭一邊說：“你剛剛還說負(fù)負(fù)得正呢，這樣下去你真的有機(jī)會(huì)暴富嗎？唉~”

當(dāng)哥的怎么能打小孩呢？超模君決定好好給他上上數(shù)學(xué)課，負(fù)負(fù)得正可不能這么用啊！

不是所有的“-”都能“x”

上課要有儀式感，絕對不能少黑板！

超模君想著這下她怎么著也說不出口106分吧？

萬萬沒想到！她居然一臉堅(jiān)定說：“不對！假設(shè)不成立，我才不會(huì)做錯(cuò)這么多！”

那行！算你厲害！咱再換個(gè)角度！

這下總該行了吧？按照她做選擇題的正確率，難道還能選A？

終于，8歲表妹低下了她驕傲的小腦袋，咬牙說了一句“選B”！

Amazing！這場勝利來的好快！

超模君絕對不能錯(cuò)過這個(gè)高光時(shí)刻，趕緊對她說：

8歲表妹馬上抬頭說：“但是從經(jīng)濟(jì)學(xué)上講......”

我：“Stop！咱今天只談數(shù)學(xué)！小孩子知道太多容易影響智力發(fā)育！”

她：“唉！好吧，本來想還你25塊錢的，你距離暴富又遠(yuǎn)了一步。”

我：“要不你先把早上的5塊錢還我？”

她：“呀！我的網(wǎng)課開始了，不跟你聊了，耽誤我考大學(xué)！”

負(fù)負(fù)得正

8歲表妹被說服了，超模君松了一口氣，總算保住了兜里的5塊錢，真的不敢讓她再長大了！

不過，等表妹上了大學(xué)，她終究難逃一個(gè)疑問：為什么負(fù)負(fù)得正？

然后她會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)，在她8歲那年，把負(fù)負(fù)得正的邏輯用在借錢上是多么的天真和睿智。

早在12世紀(jì)，印度天文學(xué)家巴斯卡拉就曾說過：“財(cái)產(chǎn)和財(cái)產(chǎn)的乘積，債金和債金的乘積均為財(cái)產(chǎn)，財(cái)產(chǎn)和債金的乘積則是債金。”按照他的說法，就是“債金x債金=財(cái)產(chǎn)”。

也就是說，如果你一天借10萬，借個(gè)100天就成了擁有1000萬財(cái)產(chǎn)的富翁。是不是覺得有點(diǎn)好笑？（但好像現(xiàn)實(shí)中確實(shí)有富翁是“負(fù)翁”）

然而，18世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)家歐拉在他的著作《代數(shù)學(xué)入門》中也采用過同樣的說明。這下是不是不僅覺得不應(yīng)該笑，還覺得這是一個(gè)十分高深的數(shù)學(xué)問題？

可是，如果按照他們的邏輯，8歲表妹借5元，再借5元后，（-5）x（-5)=?

不在同一個(gè)世界后，借的錢不用還了，債金確實(shí)成財(cái)產(chǎn)了！邏輯沒問題！

好了，作為一個(gè)正經(jīng)學(xué)數(shù)學(xué)的，超模君下面不開玩笑了......

美國數(shù)學(xué)家M·克萊因?qū)ｉT研究過上面這個(gè)”債金、財(cái)產(chǎn)與負(fù)負(fù)得正“的問題。

我們?nèi)耘f以8歲表妹借錢為例：

她借得5元，同時(shí)意味著欠債5元，可以記作-5元。如果她每天借得5元，那么5天后，即“欠債5天”后，用數(shù)學(xué)來表達(dá)：

（-5）Ⅹ5=-25

但是，相對于5天前來說，用-5來表示“5天前”，她在5天后的財(cái)產(chǎn)情況就是：

（-5）Ⅹ（-5）=25

這個(gè)數(shù)學(xué)思想也被應(yīng)用在試卷分?jǐn)?shù)的評定上：

還是以8歲表妹為例：

站在學(xué)生的角度，如果她錯(cuò)了1道題，扣了2分，記作-2，用數(shù)學(xué)表達(dá)就是：

（-2）Ⅹ1=-2

這個(gè)1實(shí)際是指1道錯(cuò)題。

站在老師的角度，8歲表妹唯一被扣分的那道題是被老師批錯(cuò)了。原來的“1”表示的是批對，即+1，那么現(xiàn)在批錯(cuò)了就是“-1”，而原來扣掉的-2分就要加回去，用數(shù)學(xué)表達(dá)就是：

（-2）Ⅹ（-1）=2

這個(gè)“-1”實(shí)際指1道被批改錯(cuò)的題。

或者換個(gè)說法，即大前提是所有的題都被老師打了?，8歲表妹最后能得多少分，就看老師改錯(cuò)了多少道題，這樣就符合了“負(fù)負(fù)得正”。

為什么負(fù)負(fù)得正？

但是，說了那么多，到底為什么負(fù)負(fù)得正呢？

我們都知道0乘以任何數(shù)都等于0，這當(dāng)然就意味著-1Ⅹ0=0

關(guān)于1+（-1）=0想必也沒人有異議。（有異議的可以在評論區(qū)留下你的證據(jù)）

在這兩個(gè)前提成立情況下，（-1）Ⅹ[1+（-1）]=0

又因?yàn)槌朔ǚ峙渎?#xff1a;a(?+?)=a?+a?

所以：（-1）Ⅹ1+（-1）Ⅹ（-1）=0

到了這一步，如果（-1）Ⅹ（-1）不等于1，那到底是“0乘以任何數(shù)都等于0”錯(cuò)了，還是1+（-1）=0錯(cuò)了，抑或是乘法分配律錯(cuò)了？

他們?nèi)齻€(gè)中任何一個(gè)錯(cuò)了，數(shù)學(xué)大廈的地基都要抖三抖，所以負(fù)負(fù)必須得正！至于還有沒有其他原因，鑒于目前確實(shí)沒有數(shù)學(xué)家給出嚴(yán)格證明，那只能說一句數(shù)學(xué)的發(fā)展需要它！

事實(shí)上，早在19世紀(jì)，德國數(shù)學(xué)漢克爾就說過：形式化的算術(shù)中，“負(fù)負(fù)得正”是不能夠被證明的。數(shù)學(xué)家克萊因也說過：不要試圖證明符號法則的邏輯必然性。

所以，你現(xiàn)在明白了為什么學(xué)“負(fù)負(fù)得正”時(shí)老師只讓你記住，卻不告訴你為什么了嗎？

還好8歲表妹還小，要是她追根究底，超模君只能說雙層否定表肯定了。

寫在最后

為了探尋趣味數(shù)學(xué)奧秘，真切感知理性之美，超模君精心打造了一款數(shù)學(xué)文化圈藝術(shù)收藏品——《數(shù)學(xué)之旅.閃耀人類的54個(gè)數(shù)學(xué)家》。

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作者簡介：超模君，數(shù)學(xué)教育與生活自媒體博主，新晉理工科奶爸。出版過《芥子須彌 · 大科學(xué)家的小故事》；《數(shù)學(xué)之旅·閃耀人類的54個(gè)數(shù)學(xué)家》。后續(xù)數(shù)學(xué)文化創(chuàng)意多多，歡迎關(guān)注認(rèn)識(shí)！

本文系網(wǎng)易新聞·網(wǎng)易號“各有態(tài)度”特色內(nèi)容

參考資料：

菲利克斯·克萊因.高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)（第一卷）——算術(shù) 代數(shù) 分析[M].舒湘芹等譯.復(fù)旦大學(xué)出版社，2008.

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總結(jié)

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