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引子：

盡管沒有微積分那樣如雷貫耳的名聲，也沒有相對論那般獨辟蹊徑的創新，傅立葉變換卻悄悄地潛藏在我們生活中的方方面面，默默地改變著這個世界。

對于工科出身的讀者而言，傅立葉分析的第一印象可能是這樣的：

傅立葉變換的應用之一——信號處理[1]

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在金融分析師眼里，傅立葉變換是這樣的：

傅立葉變換的應用之二——時間序列分析[2]

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而在數學家眼里，傅立葉變換則像孫猴子一般擁有七十二變：

傅立葉變換的離散版——傅立葉級數

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群的傅立葉變換——連接分析和數論的橋梁[3]

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高效的傅立葉變換算法——快速傅立葉變換（FFT）[3]

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傅立葉分析的進化版——調和分析。

圖為Littlewood-Paley理論[4]

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可見無論在理論還是應用領域，傅立葉變換都是瑰寶級的工具。事實上在信號處理、股票預測、數值模擬、微分方程、數論乃至數據壓縮，它都扮演著無可替代的角色。?

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再浩瀚的江河也必有源頭；要想深入了解傅立葉變換，得從它的來源說起。那么傅立葉到底是誰呢？

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因為“傅”也是百家姓之一，所以筆者首次見到傅立葉變換時，還以為這又是中國古代的一大發明。直到看到傅立葉具有中世紀特色的方便面發型和似毛毯外裹的穿著，才知道他并不是中國人：

傅立葉。圖片來自網絡

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傅立葉（1768-1830）出生于法國，是著名的數學家和物理學家[5]。除了傅立葉變換，著名的熱方程（Heat?equation，?最簡單的擴散方程）也出自于傅立葉之手。一個是積分變換，一個是微分方程，兩者貌似互不相關，實際上則存在著千絲萬縷的聯系，讀者們會在接下來文章中有所體會。?此外，大氣溫室效應也是他通過研究熱方程的解首次發現的（當時傅立葉錯誤地認為海洋像大氣一樣也具有溫室效應）[6-7]。

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現在我們對傅立葉變換已經有了初步的認識。那么它是怎樣從一個高冷的數學概念“下凡”到日常生活中的呢？帶著這個疑問，我們進入第二部分。

天地萬物皆循道，信號狼藉索周期

大家知道太陽光、聲音和地震波等信號，都是由不同頻率的波（周期函數）混雜而成。

書架上書太多就得分類，那么有沒有方法也把這些雜亂無章的信號分個類，比如把波按頻率分類出來呢？用數學的語言表述，給定一個函數f（x）（x為實數），我們能不能把f（x）變成另一個和頻率k有關的函數，并且用來表示

的各個頻率成分的表現呢？這就是傅立葉變換的主要任務，而就稱之為的傅立葉變換（不同地方的定義可能稍有不同，但本質上都是一回事）：

在實際應用中，我們一般要求具有一些“良好性質”，例如平方可積這樣和之間滿足Parseval恒等式。這個恒等式非常美妙，具體細節可參考[3]的第三章）。

然而在理論領域，這些函數通常不愿再“從良”，傅立葉分析就進化成了更加一般的調和分析（Harmonic Analysis），以對付這些不聽話的函數。

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為簡單起見，我們先考慮聽話的函數（平方可積函數）。為什么（1）式積分號下會出現項呢？這一項里還有個虛數符號，看起來如少女心一般讓人難以捉摸，實際上歐拉恒等式可以告訴我們答案：

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這樣一看就清楚多了——正弦和余弦都是具有周期性的！那么（1）式必然同周期性存在著某種聯系！如果讀者們還不太相信，下面的動圖更加清晰地表現了和兩兄弟間的關系：

f（x）（紅色曲線）被分解為不同頻率，然后這些不同頻率又重新組合成

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當然傅立葉變換周期性還有很多其他應用，下表是一個總結：

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具體實例	傅立葉變換的作用
光譜分析	本質上就是提取電磁波的頻率成分，可以用傅立葉變換完成。
? 時間序列分析	時間序列是和時間有關的隨機變量，人們通常關注這些隨機變量之間的相關性，所謂的譜分析正是因此而生（時間序列“譜”包含了隨機變量的相關性信息，和光譜有區別）。譜分析的關鍵就是對時間的傅立葉變換。
CT掃描（x光）	這類問題是已知波方程的解，要倒回去推導原來的方程長什么樣（也就是估計原來方程的參數），數學上又稱為反問題（Inverse Problem）或參數估計（Parameter Estimation）問題。傅立葉變換在計算中起到關鍵作用。
雷達測距（無線電波）
地震測量（地震波）

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微分積分各行事，傅式變換穿針線

在上一部分中，我們知道了傅立葉變換是如何與周期性，或者函數的頻率產生聯系的。事實上傅立葉變換的另一個重要作用在于解微分方程。傅立葉變換是積分變換，怎么運用到微分運算當中去呢？一切都源于傅立葉變換的一個重要性質：

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這里表示對作傅立葉變換。大事化小小事化了，上面（3）式提示我們，傅立葉變換可以把復雜的偏微分方程轉化為簡單的常微分方程，也可以把常微分方程轉化更加簡單的代數方程！例如考慮同出自傅立葉之手的熱方程：

通常情況下只需要轉換為常微分方程就足夠了，沒有必要進一步轉換

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解一階常微分方程是非常容易的。不過不要高興太早，我們得到的解只是

關于x的傅立葉變換，還得想辦法把給還原出來。其實數學上我們可以證明和它的傅立葉變換具有一一對應的關系，因此只要知道了，熱方程的解也就呼之欲出！這個結論可以參考文獻[3]的第四章。

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因為（3）中美妙的性質（把微分變成指數），傅立葉變換在微分方程領域大顯身手。不過隨著自然科學領域各種問題的復雜化，方程也開始變得多種多樣（例如初邊值條件的差異和方程系數光滑性發生變化等等），方程的解也越發地奇形怪狀。上有政策下有對策，調和分析這一新興領域隨之破殼而出；盡管身份似已改頭換面，其核心思想仍然是傅立葉分析。本文第六部分還會對此展開進一步討論。

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抽象代數示玄機，解析數論展天威

相信現在讀者們已經了解到傅立葉變換的強大威力了：從光譜分析到CT成像，再到微分方程的解，可以說只要和自然科學有關，傅立葉分析就無處不在。

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然而這就是傅立葉變換的全部威力了嗎？非也！令很多人意外的是，在晦澀難懂的數論領域，傅立葉變換也發揮著至關重要的啟發性作用。

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傅立葉變換不是定義在實數上的嗎，怎么能運用到離散的數論上去呢？這就要靠數學家們的偉大創造力了——既然實數上可以定義傅立葉變換，那么我們也可以在代數群上定義傅立葉變換。

這種定義的難點在于代數群和實數不同，一般說來前者是沒有“連續性”的概念的（這里不考慮連續群），所以不能通過積分來定義群的傅立葉變換。不過群表示理論里面的一個重要概念——特征標（Character）為傅立葉變換的定義鋪好了道路。一個群G的特征標定義為G上的某種函數：

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其中“”表示群里面的抽象“乘法”運算，不一定是實數的乘法。表示一個圓圈，可以用

來表示（下圖是一個例子）。這樣，G中元素a的傅立葉變換就是?[3]。

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把傅立葉變換移植到那么抽象的代數群上面干什么呢？事實上，用這個概念可以證明數論中一個非常美妙而簡潔的結論：如果a和d是互素的整數，那么數列

中有無窮多個素數。這個結論又稱作狄利克雷定理[11]。

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有高等數學背景的讀者也許對“狄利克雷”這個名字并不陌生。狄利克雷是德國數學家，比傅立葉晚幾十年出生，并且在解析數論（用復分析的方法研究數論）領域有很多杰出貢獻[12]。粗略地講，為了證明上面這個結論，狄利克雷對循環群（也就是正整數的同余類）定義了一種特殊的特征標——狄利克雷特征標，并利用這個特征標引入了L函數的概念：

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通過研究這個函數的斂散性，就能證明狄利克雷定理，有興趣的讀者可以參考文獻[3]的最后一章。

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砍瓜切菜破概率，化零為整道極限

眼看著傅立葉變換在工程、微分方程和數論等不同領域大顯身手，統計學家們坐不住了：“有沒有辦法把傅立葉變換應用到概率統計中呢？”答案是肯定的，這就是概率論中著名的特征函數（Character Function）。對于一個實值隨機變量X，概率分布函數為, 它的特征函數（傅立葉變換）被定義為：

特征函數是概率論和數理統計中一個極為強大的工具，很多著名的結論都是通過特征函數來證明的。例如中心極限定理，強大數律等。傅立葉變換之所以能在概率統計也能自成一派，究其根底，是源于它的另一個性質（把兩個測度或函數的卷積變為常規乘法）：

其中?

表示和的卷積（Convolution）。卷積在概率統計中是非常重要的——假設X和Y是獨立隨機變量，?分別是對應的概率分布函數，那么新隨機變量Z := X+Y的概率分布函數就是?。

以此類推，假設是n個獨立隨機變量（不要求同分布），那么的分布函數就是。卷積涉及到積分運算，很麻煩，有沒有辦法把卷積化簡稱為一般的乘積呢？

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也許一些聰明的讀者已經看出來了，如果對進行傅立葉變換，不就變成了n個函數的乘積么！

這樣一來，的分布函數似乎就沒有那么復雜了。這便是概率統計領域許多經典結論的思想精髓所在。

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純理論的分析總是抽象的，那么我們來實戰一下。以中心極限定理為例：

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摘選自文獻[13]

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這個定理是說，當隨機變量個數增加以后，?漸進服從正態分布。這個定理的核心思想，就是求出?的特征函數（傅立葉變換），然后證明這個特征函數趨近于正態分布的特征函數即可（用泰勒展開可證）。

在本文第三部分中，筆者提到傅立葉變換是可逆的，因此特征函數可以完全決定概率分布函數。具體證明可參考文獻[14]（這本書從三級數定理出發，推導出了更普遍的中心極限定理和相關估計，但核心思想都是特征函數）。

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不僅僅是傳統

到此為止，傅立葉分析這個上天入地上無所不能、無孔不入、無處不在的數學工具，已經讓不少讀者大開眼界了。不過這還滿足不了數學工作者們的胃口——上文介紹的內容，大都屬于經典范疇，數學系老司機們對此都已經耳熟能詳了。

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然而對于這么一個強有力的工具，傅立葉分析的野心絕不僅限于經典數學。除了上文提到的這些“元配”，傅立葉分析和現代數學之間也有著千絲萬縷的聯系。例如：

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周期性與信號處理：

基于傅立葉變換和函數周期性的關系，人們發展出了小波分析（Wavelet Analysis）和壓縮感知（CompressionSensing）等新興數學領域。

例如小波分析，本質上就是把把模擬（連續）或數字（離散）信號從時空域轉換到頻域，用以提取信號的頻率特征，因而是信號處理過程的關鍵。著名的香農采樣定理（Shannon samplingtheorem）給出了信號最小采樣點個數和信號頻率間的關系，成為小波分析領域的關鍵定理。

壓縮感知則是一種信號采樣的技巧，目的在于通過盡可能少的采樣點恢復出原有信號。壓縮感知產生于上世紀90年代，其核心算法就是在當時紅頭一邊天的Lasso方法（這種方法是統計學家發明的，能夠減少數學模型中參數的個數）。壓縮感知最引人注目之處在于，它很好地利用了信號的頻率特點，甚至突破香農采樣定理中的最小采樣點個數限制[16]。

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微分方程的解：

由于傅立葉分析只能對付性質良好的函數（如L2函數），無法滿足許多實際問題，于是人們逐漸發展出了武藝更為高強的調和分析（Harmonic Analysis），有興趣的讀者可以參考這一領域的經典著作[8]。

至于調和分析如何運用于微分方程，則可以參考苗長興教授的兩本著作[4]和[9]。調和分析的最新應用之一，則是陶哲軒于2014年用證明了某種弱化版三維Navier-Stokes方程（千禧年七大數學難題之一）解的存在性和爆破性[10]（Finite-time blowup），其中的關鍵就是運用了傅立葉變換中的思想（具體說來叫做Fourier Multiplier，可參考[8]）。

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數論與組合：

筆者在第五部分末提到了L函數的概念。事實上L函數是解析數論中的核心課題之一，黎曼猜想（另一個千禧年七大數學難題）中出現的zeta函數就是L函數的特例。

此外，陶哲軒在2008年證明了“素數集合中包含任意長度的等差數列”這一結論（稱作Green-Tao定理），算是狄利克雷定理的某種推廣，有興趣的讀者可以參考[15]；而這篇文章中一個重要思想，便是把傅立葉分析的思想運用到拓撲群（既有群結構又有拓撲結構，因此可以同時用分析和代數兩種手段研究它）上[17]。作為數學界中罕見的全能手，傅立葉分析或許正是陶哲軒最重要的思想源泉。

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概率論：

自從用特征函數法證明了中心極限定理以后，人們感受到了傅立葉分析在概率統計中的神奇功效。

概率論一大分支——概率極限理論（Asymptotic Theory）中的許多結論就是通過特征函數的方法證明的，例如Berry-Essen中心極限定理。該定理可視作中心極限定理的某種加強，因為它給出了中心極限定理中漸進正態的速度（隨著隨機變量個數當增加，這些變量會以怎樣的速度近似于正態分布）。具體證明可參考文獻[14]。

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結語

到此為止我們已經強烈感受到，傅立葉變換在不同領域都有著非凡的價值。為加深讀者們的印象，最后對本文大體內容做一總結：

應用領域	所涉及的傅立葉變換性質
頻率分析及譜分析	提取對應函數的頻率（周期）信息，或者通過函數的頻率信息推導出原函數的表達式。
微分方程	把微分轉化為指數，并且這一轉化是可逆的。
數理統計	把卷積轉化為普通乘積，并且這一轉化是可逆的。
解析數論	把離散的代數群轉換到連續的復平面上，把數論問題轉化為分析問題。這一轉化也是可逆的。

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從以上總結不難看出，盡管傅立葉變換的應用領域看似毫不相關，實際上它們都有一個共同點——即都運用到了傅立葉變換的可逆性。正是這個原因，傅立葉變換才能作為一條暗藏的主線，把各行各業都串聯了起來。表面上抽象難懂實際上簡潔普適，這正是數學的魅力和精髓所在。

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其實數學上的積分變換還有很多，例如拉普拉斯變換（實數版的傅立葉變換），希爾伯特變換（把正弦變成余弦，在相位分析中很有用）以及更一般的蓋爾范德變換（通過算子代數的觀點看傅立葉變換）等等。它們在自然科學界中獨領風騷，各有風采，相互間又有千絲萬縷的聯系。因此只要抓住了傅立葉變換的基本思想和特點，其它的積分變換也都變成了囊中之物。

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從19世紀初的法國誕生到現在，傅立葉變換依然是科研界非?；钴S的話題?；蛟S今后傅立葉變換會有更多用武之地，但這不僅僅要依靠數學家的獨特創造力，還要靠整個科學界的共同努力合作，畢竟科學是不存在嚴格分界線的。

盡管分支眾多，不同學科之間都是緊密相連的

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寫在最后

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作者簡介：楊夕歌，浙江大學本科和美國俄亥俄州立大學數學博士畢業，現在成為了一名光榮的打工仔。雖然已經離開學術圈，但和其他棄筆從戎的打工仔不一樣，我不太關注去哪搬磚工資更高，怎樣升職為包工頭等等——我依然喜歡在搬磚之余瀏覽各種有趣的學術文章，同朋友交流各種各樣有趣的科技點子。希望能和大家有更多學術上的交流?^_^

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參考文獻：

[1]?https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_analysis.

[2]http://traders.com/Documentation/FEEDbk_docs/2007/01/TradersTips/TradersTips.html.

[3] E.M. Stein, Fourier Analysis – an Introduction.

[4] 苗長興，《調和分析及其在偏微分方程中的應用(第二版)》。

[5]?https://en.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier.

[6] Jheni Osman, 100 Ideas that Changed the World.

[7] J.J. Fourier, On the Temperatures of the TerrestrialSphereand Interplanetary Space.

[8] LoukasGrafakos, Classical and Modern FourierAnalysis.

[9] 苗長興，張波，《偏微分方程的調和分析方法》。

[10] T. Tao, Finite time blowup for an averagedthree-dimensional Navier-Stokes equation.

[11]??https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet%27s_theorem_on_arithmetic_progressions.

[12]?https://en.wikipedia.org/wiki/Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet.

[13] 陳希孺，《概率論與數理統計》。

[14] J. Durrett Probability: Theory and Examples.

[15] B. Green andT. Tao, The primes contain arbitrarilylong arithmetic progressions.

[16] EmmanuelCandes, Justin Romberg, and Terence Tao, RobustUncertainty Principles: Exact Signal Reconstruction from Highly IncompleteFrequency Information.

[17] Bump. Daniel,Lie groups, Springer 2004.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的傅立叶变换是如何改变我们生活的？ ——四个角度告诉你答案的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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