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爆炸吧知識

不平凡的2020年早已過去了，打工人們已經跨過了2021年的門檻。2021年將會怎么樣，那只有到2021年結束后我們才會知道。

但我們的情緒常常毫無例外地會被“年終獎”這個關鍵詞所擾動，無論在什么時候，也無論是興奮的還是沮喪的。

當然土豪除外，因為他們不需要年終獎。?

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某聯招聘的《2020年白領年終獎調研報告》在2021年2月1日發布了。這是份直擊廣大人民群眾靈魂的報告，讓我們先看看其中的“2020年不同城市白領年終獎均值”Top35情況。

有沒有很扎心，有沒有感覺到“傷害性不強，侮辱性極大”！

對，沒錯，我知道我又屬于了那些拖后退的人之一。不說了，先去廁所里哭暈一會…

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但哭歸哭，暈歸暈，在擦干眼淚后，我仔細想了一想，然后弱弱地直接對自己說，它給我傳導了錯誤信息。也許我真的沒有那么差勁，而且怎么也得找個理由對我的父母、另一半、親朋好友好好解釋一番。

是的，“平均值”這個統計方法在有時候真的很是不靠譜（我真的不是在狡辯）。要知道在統計學中，計算“平均數“的方法可不僅僅只有”平均值“，還包括”中位數“和”眾數“。”平均值“、”中位數“和”眾數“都是對數據集中數據中心的度量，只不過計算方法和特質不一樣而已。

所謂平均值（這里是專指算術平均值，不是幾何平均值等其他計算方法），是將數據集中所有數據值的總和除以數據值的個數的方法，即設數據集中有一組n個數據{ x1，x2，…，xn}，則其平均數。

例如，我所在的部門，我和我的同事一共9個屌絲，發了如下的年終獎｛5萬,6萬, 6萬, 7萬, 8萬,9萬,8萬,10萬,11萬｝（再一次申明，這是樣例數據，我們真的沒有發這么多），按照平均數公式計算則為

(5 + 6 +6 + 7 + 8 + 9 + 8 + 10 + 11) ÷ 9 = 7.778萬

那么這組打工人的平均年終獎圖形化的情況大概是這樣的：

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當有某個熟人問我年終獎發了多少時，日常生活拮據的我為了防止被他借錢，只告訴了ta一個最小值。但ta一臉的憤怒，不屑地指出我是多么地不厚道。我只好又告訴那個平均數，ta還是繼續搖著頭。我咬咬牙，一不做二不休，無奈地說出了最高的那個年終獎錢數。這倒ta徹底地怒了：“據我所知應該至少是七位數吧，你這么的不真誠。”what？平均百萬的年終獎，為什么我才拿了6位數還沒到的鈔票，現在該輪到我憤怒了。

這是怎么回事？原來隔壁部門有一位大神級人物突然加入我們屌絲團隊，一起計算了平均值，那么效果就不一樣了。大神的年終獎為1000萬，按照最新的數據計算年終獎平均值則為

(5 + 6 +6 + 7 + 8 + 9 + 8 + 10 + 11 + 1000) ÷ 10= 107萬

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哎喲喂，原來我們都是平均年終獎過百萬的人群了，這樣氣氛就不一樣了！

但這樣科學嗎？當然不科學！

這就是我們經常詬病的統計學“平均值陷阱”：我家年收入2萬，隔壁家年收入為3萬元，而對面別墅區一家的年收入是2995萬，大家一平均，全是年收入千萬的富裕家庭了。

平均值是人類數學智慧的結晶，要知道人類僅僅從“三只老虎“、”三棵樹“、”三座山“抽象出”3“這個數量就花費了幾十萬年（或上百萬年）的時間。平均值曾經破解了古代統計學上著名時間難題。

比如，據印度史詩《摩訶婆羅多》(Mahabharata)記載﹐在公元前四世紀，古印度部落首領帕納通過平均值估算了一棵尾避多伽(vibhitaka)果樹兩個枝干上的葉子和果實的數量。他的具體方法是先統計某一根樹枝上的葉子和果實的數量，然后乘以兩個樹干上的樹枝數。

帕納用這種方法計算的結果是那棵樹總共結了2095個水果和 50 000 000 片葉子。最后他發動了自己的族人，經過一個晚上的詳細統計，發現他的平均值估算結果與真實情況非常接近。

但在很多場景下，平均值對數據集的集中性進行考量是有問題的，特別在一組統計樣本中出現了極端數值的時候。

于是，由于平均值在現實世界中各種問題，所謂數量統計學中的“中位數”計算就漸漸浮出水面了。

人類最早有文本記錄的“中位數”出現在大航海時代的1599年，航海家愛德華·賴特在他所著的一本關于航海的書模糊地提到了“中位數”。

愛德華·賴特繪制的航海圖（1599-1600）

在變化無常的海浪中，愛德華·賴特和他的同事需要使用各類測量儀器在大海上進行導航和定位。通過長期對航海數據（例如方位和距離等）觀測、記錄和分析，他發現最中間的測量數據是最有可能是接近描述真相的測量結果。但從賴特的那本書來看，他是否真的發現中位數還不確定。

人類社會進化到科學爆炸式的十九世紀。在整個十九世紀，很多科學家因為不同的理由使用了中位數作為平均值的替代計算。

1874年，德國心里物理學家費希納（Gustav TheodorFechner,1801年4月19日-1887年11月18日）使用了中位數試圖描述許多社會學和心理學現象。這種統計學的研究方法之前在天文學中被證明是有用的。于是，費大神主張用中位數去度量不規則的非對稱數據中心位置。

1882年，現代數理統計的奠基人、英國維多利亞時期百科全書式的科學家、探險家高爾頓(FrancisGalton,1822年2月16日-1911年1月17日)第一次使用英語術語“中位數(Median)”，正式開啟了對這一統計概念的認知。高爾登通過對大量的數據進行歸納分析，發現中位數很重要，因為它易于計算，并且表達直觀清晰又準確。于是，高爾頓的精心設計，在1889年公布了較為復雜的四分位數法來表達中位數。

所謂的四分位數就是把數據集中的數據按數值大小長序排列后，分成4個部分，每個部分包括全部數據的四分之一即25%。每個部分劃分的臨界值就是所謂的四分位數。就像一個線段需要三點把它分為四段，四分位數有三個，分別是下四分位數、中位數和上四分位數，用Q1、Q2、Q3來表示。

設數據集中有序數據的個數為n，則Q1、Q2、Q3的位置計算公式為：

a

例如，使用上面用Q1、Q2、Q3三個公式對7個有序數值的數據集{2, 4, 4, 5, 6, 7, 8}進行四分位數計算則有：

不過，盡管有古諾（Antoine Augustin Cournot，1801年8月28日-1877年3月31日）、費希納、高爾頓等大佬們的力挺，但在19世紀，“中位數“大多被科學家所忽視，而用平均數度量去數據的趨勢則被普遍看好。

到20世紀，中位數越來越多應用于順序數據的分析統計，因為使用平均值分析存在極端數據的數據集是存在很多缺點的。中位數比較平均值來說，分析大數據的中心趨勢更加穩健（1953年，統計學界開始使用術語“穩健”來表示統計方法對異常值的不敏感性）。

隨著21世紀大數據時代的到來，統計應用于越來越多的不規則數據的領域，統計方法的應用越來越廣泛，而中位數已經變得越來越流行。

當然現在的中位數計算方法比高爾頓朝代要更加完整了。

其具體計算方法為：對于一組升序排列（從小到大）的數據集{}，有中位數計算公式為：

?

例如，對于一個有n=15（奇數）個數據的數據集｛3, 13,7, 5, 21, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29｝，根據以上公式計算中位數則有：

例如，對于有n=14（偶數）個數據的數據集｛3, 5,7, 12, 13, 14, 21, 23, 23, 23, 23, 29, 40, 56｝，根據以上公式計算中位數則有：

回到上面那個9個打工人再加一個大佬年終獎問題｛5萬,6萬, 6萬, 7萬, 8萬,9萬,8萬,10萬,11萬,1000萬｝，排序后為｛5萬,6萬, 6萬, 7萬, 8萬,8萬,9萬,10萬,11萬,1000萬｝，用中位值對其進行“平均數”的計算，則有

圖形化分析結果為：

?

而所謂的“眾數”就是一組數據中出現次數最多的數值（可能為零個、一個或多個），這個概念比較簡單，比如數據集｛1，2，3，3，4，5，6｝的“眾數”為3，而上面這個年終獎的例子中“眾數”應為6萬和8萬。

因此，摒棄不靠譜的年終獎“平均值“107萬，用”中位數“8萬來考量所有樣本年終獎情況。

如果能夠這樣公布年終獎的中位數，大家心里就會舒坦多了，不再淚流如河。

對于我們打工人來說，要時刻記住打工人的那句語錄“生活中有80%的痛苦來源于打工，但不打工就會有100%的痛苦來源于沒錢。”無論如何，我們還是要在2021年繼續努力的，該搬磚的還得繼續搬磚，雖然它已經只剩下不到十個月了。

最后，打工人已經開始了新的一年打工生涯。無論有沒有年終獎，有多少年終獎，打工人們日子還是繼續的！如果仍有人對你嘰嘰歪歪，那么你就把篇文章發到ta的眼前，然后請ta好好地認真讀一遍，并且告訴ta在數據統計中種種陷阱里，有許多看似客觀的數據分析隱藏著諸多不易察覺的謊言。

寫在最后

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作者簡介：晨星，湖北武漢人，副高職稱，理學博士，高級程序員，IAMG（國際數學地質協會）會員，省級醫學人工智能與大數據專委會委員。

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參考文獻：

智聯招聘.《2020年白領年終獎調研報告》. 2021

StephenM. The history ofstatistics : the measurement of uncertainty before 1900[M]. Belknap Press ofHarvard University Press, 1987.

Plackett R L . Studies in theHistory of Probability and Statistics: VII. The Principle of the ArithmeticMean[J]. Biometrika(1-2):130-135.

Porter T M . The Rise of StatisticalThinking, 1820–1900[M]. 2020.

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的拿了年终奖后，发现自己又拖后腿了？对不起，可能事实并没有那么糟糕...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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