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1827 年，英國植物學(xué)家布朗（Brown）用顯微鏡觀察懸浮在液體中的花粉微粒時(shí)，發(fā)現(xiàn)花粉微粒總是在做無規(guī)則運(yùn)動。后來人們發(fā)現(xiàn)，這是一種廣泛存在于自然界、工程技術(shù)和社會經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中的隨機(jī)現(xiàn)象，如空氣污染擴(kuò)散、陀螺隨機(jī)游走和股票價(jià)格波動等，因此這類隨機(jī)運(yùn)動現(xiàn)象被稱為“布朗運(yùn)動”。

1905年，愛因斯坦首先使用概率方法對一維布朗運(yùn)動進(jìn)行了定量研究，并從熱分子運(yùn)動擴(kuò)散方程推導(dǎo)出了大量布朗粒子在任意時(shí)刻的位置服從正態(tài)分布的性質(zhì)。

1908年，法國物理學(xué)家朗之萬（Langevin）依據(jù)牛頓運(yùn)動定律，建立了單個(gè)布朗粒子的動力學(xué)方程，并對大量布朗粒子的位移求平均，得出了與愛因斯坦布朗運(yùn)動理論相同的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，但是并未給出揭示單個(gè)布朗粒子運(yùn)動規(guī)律的運(yùn)動學(xué)方程。

1923年，維納（Wiener）將單個(gè)布朗粒子的位移假設(shè)為隨機(jī)變量，建立了描述單個(gè)布朗粒子位移與時(shí)間之間數(shù)量關(guān)系的運(yùn)動學(xué)數(shù)學(xué)模型，得出了布朗粒子運(yùn)動路徑的一系列數(shù)學(xué)性質(zhì)，從而為現(xiàn)代隨機(jī)過程理論的建立奠定了概念、方法和理論基礎(chǔ)，因此布朗運(yùn)動在《隨機(jī)過程》教科書中也被稱為“維納過程”。

一維布朗運(yùn)動物理現(xiàn)象及統(tǒng)計(jì)規(guī)律

假設(shè)一個(gè)布朗粒子從x軸的原點(diǎn)出發(fā)，則布朗粒子在t時(shí)刻的位移x(t)是時(shí)間t的函數(shù)，x(t)的函數(shù)圖像（質(zhì)點(diǎn)位移軌跡）見圖1（b）。

圖1一維布朗粒子位移曲線

圖2（a）和圖2（b）分別為MEMS微機(jī)械陀螺的隨機(jī)游走誤差曲線和特斯拉（Tesla）股票價(jià)格收盤價(jià)曲線，均與圖1（b）所示的布朗粒子位移曲線相似。

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圖2陀螺隨機(jī)游走與股票價(jià)格曲線

美國愛達(dá)荷大學(xué)的哈蒙（Harmon）教授在《Phylogenetic ComparativeMethods》一書中描述了同時(shí)觀察100個(gè)布朗粒子位移的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果。哈蒙教授分別做了時(shí)間周期為10s、50s和100s時(shí)的三個(gè)實(shí)驗(yàn)，得到圖3中A、B、C所示的三組實(shí)驗(yàn)結(jié)果曲線。

圖3布朗粒子位移曲線（100個(gè)）

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哈蒙教授對100個(gè)布朗粒子在t=10s、50s和100s時(shí)的位置進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，對應(yīng)的頻率直方圖分別列于實(shí)驗(yàn)結(jié)果的右邊。

從頻率直方圖可以看出，直方圖輪廓與正態(tài)分布的鐘形曲線相似，呈現(xiàn)中間高，兩端逐漸下降且完全對稱的狀態(tài)。

愛因斯坦在1905年根據(jù)擴(kuò)散方程推導(dǎo)出了大量布朗粒子在t時(shí)刻空間位置的概率分布函數(shù)

式中D為擴(kuò)散系數(shù)。

顯然，所有布朗粒子在t時(shí)刻的位置服從數(shù)學(xué)期望為零、方差為2Dt的正態(tài)分布。圖4給出了t=0.1秒、0.2秒、0.5秒和2秒時(shí)的正態(tài)分布曲線。

圖4 布朗運(yùn)動正態(tài)分布曲線

維納過程數(shù)學(xué)性質(zhì)

維納將圖1所示的單個(gè)布朗粒子作為研究對象，并假設(shè)布朗粒子在t時(shí)刻的位移X(t)為隨機(jī)變量，得出了布朗粒子位移X(t)的兩個(gè)重要性質(zhì)：

（1）布朗粒子位移X(t)服從（0，σ2t）正態(tài)分布；

（2）布朗粒子路徑處處不可導(dǎo)（瞬時(shí)速度無窮大或不存在）。

維納過程反常問題

1、正態(tài)分布性質(zhì)與經(jīng)驗(yàn)事實(shí)不符

如果布朗粒子在t時(shí)刻的位移X(t)服從正態(tài)分布，則圖1（b）所示的布朗粒子位移曲線應(yīng)具有如下正態(tài)分布的兩個(gè)特點(diǎn)：

（1）對稱性。在每一時(shí)刻t，絕對值相等的正、負(fù)位移出現(xiàn)的次數(shù)大致相等。

（2）集中性。布朗粒子在0點(diǎn)附近出現(xiàn)的次數(shù)最多。

但是從圖1（b）所示的布朗粒子位移曲線可以看出，布朗粒子隨時(shí)間遠(yuǎn)離原點(diǎn)，其位移曲線x(t)既不符合正態(tài)分布的對稱性，也不符合正態(tài)分布的集中性。

事實(shí)上，服從（0，σ2t）正態(tài)分布的質(zhì)點(diǎn)位移曲線如圖5所示，是均值為零、方差與時(shí)間成正比的高斯噪聲。高斯噪聲與圖1（b）所示的布朗粒子位移曲線有天壤之別，因此，實(shí)際的布朗粒子位移X(t)不服從正態(tài)分布。

圖5 服從正態(tài)分布的質(zhì)點(diǎn)位移曲線

維納顯然誤解了愛因斯坦“布朗運(yùn)動服從正態(tài)分布”的結(jié)論，愛因斯坦布朗運(yùn)動理論描述的是大量布朗粒子在t時(shí)刻的位置服從正態(tài)分布（圖2），而不是指一個(gè)布朗粒子的位移服從正態(tài)分布。

維納將單個(gè)布朗粒子的位移假設(shè)為隨機(jī)變量，因而只能用刻畫大量布朗粒子集體行為的正態(tài)分布，來描述單個(gè)布朗粒子的個(gè)體行為，從而得出了與事實(shí)完全不符的錯(cuò)誤結(jié)論。

2、處處不可導(dǎo)性質(zhì)與物理學(xué)理論和實(shí)驗(yàn)不符

根據(jù)愛因斯坦“同一個(gè)布朗粒子在不同時(shí)間間隔中的運(yùn)動相互獨(dú)立”假設(shè)，可知單個(gè)布朗粒子的瞬時(shí)速度v(t)在不同時(shí)刻互不相關(guān)，因此單個(gè)布朗粒子瞬時(shí)速度v(t)的自相關(guān)函數(shù)可表示為

Rv(τ)=N0δ(τ)

式中τ為時(shí)間間隔，N0為正實(shí)常數(shù)，δ(τ)為單位沖擊函數(shù)。

根據(jù)維納-辛欽定理，平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度是其自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換，可得單個(gè)布朗粒子瞬時(shí)速度v(t)的功率譜密度

Sv(f)=N0

即v(t)的功率譜密度在整個(gè)頻率軸上均勻分布，表明v(t)為平均功率為N0的白噪聲。

2010年，美國得克薩斯大學(xué)的李統(tǒng)藏成功地用激光光鑷技術(shù)首次實(shí)驗(yàn)測量到了懸浮布朗粒子的瞬時(shí)速度（圖6），實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了布朗粒子的瞬時(shí)速度波形為白噪聲，表明布朗運(yùn)動的導(dǎo)數(shù)（瞬時(shí)速度）不僅存在，而且可觀測。

圖6布朗粒子瞬時(shí)速度測量實(shí)驗(yàn)及結(jié)果

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李統(tǒng)藏的研究論文“Measurement of the Instantaneous Velocity of a Brownian Particle”在《科學(xué)（Science）》雜志上發(fā)表后，在全球引起了極大的轟動。《科學(xué)》雜志專門為李統(tǒng)藏的論文配發(fā)了錄音采訪，《自然》雜志也迅速報(bào)道了該實(shí)驗(yàn)。

李統(tǒng)藏的布朗粒子瞬時(shí)速度測量實(shí)驗(yàn)被《科學(xué)》雜志推薦為大學(xué)及高中教學(xué)內(nèi)容，美國明尼蘇達(dá)大學(xué)等學(xué)校的相關(guān)課程已經(jīng)將該實(shí)驗(yàn)作為教學(xué)內(nèi)容。

維納過程對數(shù)理金融學(xué)的影響

維納將單個(gè)布朗粒子位移抽象為隨機(jī)變量的研究方法及結(jié)論，給數(shù)理金融學(xué)及華爾街金融市場帶來了災(zāi)難性的影響。

股票價(jià)格（對數(shù)）隨時(shí)間的變化過程與一個(gè)布朗粒子的運(yùn)動過程在數(shù)學(xué)形式上完全相同，因此數(shù)理金融學(xué)也將股票價(jià)格假設(shè)為隨機(jī)變量，并根據(jù)“布朗粒子位移X(t)服從（0，σ2t）正態(tài)分布”的性質(zhì)，認(rèn)為股票價(jià)格也服從正態(tài)分布，并用未來T時(shí)刻正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差來描述未來T時(shí)刻的股票價(jià)格波動程度，因此建立的股票價(jià)格模型必然與事實(shí)不符，無法正確描述并預(yù)測股票價(jià)格的波動趨勢。

數(shù)理金融學(xué)基于維納過程建立的股票價(jià)格模型和BS期權(quán)定價(jià)公式在大規(guī)模應(yīng)用于金融市場時(shí)，竟成為直接導(dǎo)致 1987、1997 和 2007 年三次重大金融危機(jī)的罪魁禍?zhǔn)住｛溈淆R（Mackenzie）在《無言的宇宙（隱藏在24個(gè)數(shù)學(xué)公式背后的故事）》書中總結(jié)到：1987、1998和2007年三次重大金融危機(jī)的一般共性是股票價(jià)格布朗運(yùn)動模型未能預(yù)期市場波動。

被譽(yù)為“中國金融數(shù)學(xué)開創(chuàng)者”、獲得2020未來科學(xué)大獎(jiǎng)“數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)獎(jiǎng)”的彭實(shí)戈院士，在《中國基礎(chǔ)研究發(fā)展報(bào)告》第二章中國數(shù)學(xué)前沿進(jìn)展中也明確指出：BS 期權(quán)定價(jià)理論是造成以前歷次重大金融危機(jī)的關(guān)鍵性原因。

暢銷書《黑天鵝》作者塔勒布（Taleb）在《金融時(shí)報(bào)》上發(fā)表了題為“破壞市場的偽科學(xué)”專欄文章，對數(shù)理金融學(xué)進(jìn)行了嚴(yán)厲的批判。塔勒布在文章中指出：人們從一次又一次的金融危機(jī)中得出了“數(shù)理金融學(xué)的有效性與占星術(shù)一樣不靠譜”和“數(shù)理金融學(xué)通過創(chuàng)造風(fēng)險(xiǎn)來危害金融系統(tǒng)”的結(jié)論。塔勒布痛斥數(shù)理金融學(xué)是破壞市場的偽科學(xué)，數(shù)理金融學(xué)理論獲得諾貝爾獎(jiǎng)不僅是對科學(xué)的侮辱，數(shù)理金融學(xué)一直使金融體系面臨崩潰的風(fēng)險(xiǎn)。

結(jié)論

“與實(shí)際結(jié)合，問題驅(qū)動”是隨機(jī)過程等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的不竭動力和重要特征。隨機(jī)過程布朗運(yùn)動理論出現(xiàn)上述反常現(xiàn)象，表示現(xiàn)有《隨機(jī)過程》教科書內(nèi)容與經(jīng)驗(yàn)事實(shí)不符，無法用來描述并解決實(shí)際問題，意味著《隨機(jī)過程》教科書內(nèi)容將面臨重大范式變革，新的布朗運(yùn)動概念、方法及理論將會推翻并替代現(xiàn)有教科書內(nèi)容，從而把人類對布朗運(yùn)動的認(rèn)識提高到一個(gè)嶄新的水平。

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作者簡介

高宏，畢業(yè)于清華大學(xué)精密儀器系，分別獲工學(xué)學(xué)士、碩士和博士學(xué)位，留校任教從事測試信號分析與處理的教學(xué)與科研工作，現(xiàn)任紫光股份有限公司CTO，北京市科協(xié)委員。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的《随机过程》布朗运动理论中的两个反常问题的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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