作者：枕邊書來源：https://zhenbianshu.github.io/2019/01/charming_alg_permutation_and_combination.html

需求

最近工作中碰到一個需求：我們的數(shù)據(jù)表有多個維度，任意多個維度組合后進行 group by 可能會產(chǎn)生一些”奇妙”的反應(yīng)，由于不確定怎么組合，就需要將所有的組合都列出來進行嘗試。

抽象一下就是從一個集合中取出任意元素，形成唯一的組合。如 [a,b,c] 可組合為 [a]、[b]、[c]、[ab]、[bc]、[ac]、[abc]。

要求如下：

• 組合內(nèi)的元素數(shù)大于 0 小于等于 數(shù)組大小；
• 組合內(nèi)不能有重復(fù)元素，如 [aab] 是不符合要求的組合；
• 組合內(nèi)元素的位置隨意，即 [ab] 和 [ba] 視為同一種組合；

看到這里，就應(yīng)該想到高中所學(xué)習(xí)的排列組合了，同樣是從集合中取出元素形成一個另一個集合，如果集合內(nèi)元素位置隨意，就是組合，從 b 個元素中取 a 個元素的組合有 種。而如果要求元素順序不同也視為不同集合的話，就是排列，從 m 個元素取 n 個元素的排列有 種。

我遇到的這個需求就是典型的組合，用公式來表示就是從元素個數(shù)為 n 的集合中列出 種組合。

文中算法用Java實現(xiàn)。

從排列到組合-窮舉

對于這種需求，首先想到的當(dāng)然是窮舉。由于排列的要求較少，實現(xiàn)更簡單一些，如果我先找出所有排列，再剔除由于位置不同而重復(fù)的元素，即可實現(xiàn)需求。假設(shè)需要從 [A B C D E] 五個元素中取出所有組合，那么我們先找出所有元素的全排列，然后再將類似 [A B] 和 [B A] 兩種集合去重即可。

我們又知道 ，那么我們先考慮一種情況 ，假設(shè)是 ，從 5 個元素中選出三個進行全排列。

被選取的三個元素，每一個都可以是 ABCDE 之一，然后再排除掉形成的集合中有重復(fù)元素的，就是 5 選 3 的全排列了。

代碼是這樣：

對于結(jié)果組合的排重，我借用了 Java 中 HashSet 的兩個特性：

元素唯一性，選取三個元素放到 Set 內(nèi)，重復(fù)的會被過濾掉，那么就可以通過集合的大小來判斷是否有重復(fù)元素了，

元素?zé)o序性，Set[A B] 和 Set[B A] 都會被表示成 Set[A B]。另外又由于元素唯一性，被同時表示為 Set[A B] 的多個集合只會保留一個，這樣就可以幫助將全排列轉(zhuǎn)為組合。可以注意得到，上面程序中 count 參數(shù)是寫死的，如果需要取出 4 個元素的話就需要四層循環(huán)嵌套了，如果取的元素個取是可變的話，普通的編碼方式就不適合了。

注: 可變層數(shù)的循環(huán)可以用 遞歸 來實現(xiàn)。

從排列到組合-分治

窮舉畢竟太過暴力，我們來通過分治思想來重新考慮一下這個問題：

分治思想

分治的思想總的來說就是”大事化小，小事化了”，它將復(fù)雜的問題往簡單劃分，直到劃分為可直接解決的問題，再從這個直接可以解決的問題向上聚合，最后解決問題。

從 M 個元素中取出 N 個元素整個問題很復(fù)雜，用分治思想就可以理解為：

首先，如果我們已經(jīng)從 M 中元素取出了一個元素，那么集合中還剩下 M-1 個，需要取的元素就剩下 N-1 個。還不好解決的話，我們假設(shè)又從 M-1 中取出了一個元素，集合中還剩下 M-2 個，需要取的元素只剩下 N-2 個。直到我們可能取了有 M-N+1 次，需要取的元素只剩下一個了，再從剩余集合中取，就是一個簡單問題了，很簡單，取法有 M-N+1 種。如果我們解決了這個問題，已經(jīng)取完最后一次了產(chǎn)生了 M-N+1 種臨時集合，再考慮從 M-N+2 個元素中取一個元素呢，又有 M-N+2 種可能。將這些可能聚合到一塊，直到取到了 N 個元素，這個問題也就解決了。

還是從 5 個元素中取 3 個元素的示例：

從 5 個元素中取 3 個元素是一個復(fù)雜問題，為了簡化它，我們認為已經(jīng)取出了一個元素，還要再從剩余的 4 個元素中取出 2 個，求解公式為：。從 4 個元素中取出 2 個依舊不易解決，那我們再假設(shè)又取出了一個元素，接下來的問題是如何從 3 個元素中取一個，公式為 。從 3 個元素中取 1 個已經(jīng)是個簡單問題了，有三種可能，再向上追溯，與四取一、五取一的可能性做乘，從而解決這個問題。代碼實現(xiàn)

用代碼實現(xiàn)如下：

其實就是 遞歸。

直擊本質(zhì)-位運算

從元素的全排列找全組合，比窮舉略好，但還不是最好的方法，畢竟它”繞了一次道”。

很多算法都能通過位運算巧秒地解決，其優(yōu)勢主要有兩點：一者位運算在計算機中執(zhí)行效率超高，再者由于位運算語義簡單，算法大多直指本質(zhì)。

組合算法也能通過位運算實現(xiàn)。

思想

再次考慮全組合的需求，從 M 個元素中取任意個元素形成組合，組合內(nèi)元素不能重復(fù)、元素位置無關(guān)。

之前的方法都是從結(jié)果組合是否滿足要求來考慮問題，考慮組合是否有重復(fù)元素、是否已有同樣的組合等條件。如果換種思路，從待選元素上來考慮呢？

對于每個元素來說，它的狀態(tài)就簡單得多了，要么被放進組合，要么不放進組合。每個元素都有這么兩種狀態(tài)。如果從 5 個元素中任意取 N 個元素形成組合的話，用二進制位來表示每個元素是否被放到組合里，就是：

看到這里，應(yīng)該就非常清楚了吧，每種組合都可以拆解為 N 個二進制位的表達形式，而每個二進制組合同時代表著一個十進制數(shù)字，所以每個十進制數(shù)字都就能代表著一種組合。

十進制數(shù)字的數(shù)目我們很簡單就能算出來，從00000... 到 11111... 一共有 種，排除掉全都不被放進組合這種可能，結(jié)果有種。

代碼實現(xiàn)

下面是 Java 代碼的實現(xiàn)：

小結(jié)

排列和組合算法在實際應(yīng)用中很常見，而且他們的實現(xiàn)方法也非常具有參考意義。總的來說：排列用遞歸、組合用位運算。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的二进制全排列 java_排列组合算法真厉害，傻瓜都能学会的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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