文章目錄

• 一、圖的基本概念
• 二、圖的儲存
• • 鄰接矩陣
  • 鄰接表
  • 十字鏈表
  • 鄰接多重表
• 三、圖的基本操作
• 四、圖的遍歷
• • 廣度優(yōu)先搜索（BFS）
  • 深度優(yōu)先搜索（DFS）
  • 圖的遍歷和圖的連通性
• 五、最小生成樹
• • Prim算法
  • Kruskal算法
• 六、最短路徑
• • Dijkstra求單源最短路徑
  • Floyd算法求解各頂點間的最短路徑問題
• 七、有向無環(huán)圖（DAG圖）描述表達式
• 八、拓撲排序
• 九、關(guān)鍵路徑

一、圖的基本概念

圖G有定點集V和邊集E組成，記為G=（V，E），其中V（G）表示圖G中頂點的有限非空集；E（G）表示圖G中頂點之間的關(guān)系（邊）集合。用$|V|$表示圖G中頂點個數(shù)，用$|E|$表示圖G中邊的條數(shù)。圖不能是空圖，最少要有一個頂點。

對于無向圖，|E|的取值范圍為0到$n(n?1)/2$，有$n(n?1)/2$條邊的無向圖稱為完全圖。
對于有向圖，|E|的取值范圍為0到$n(n?1)$，有$n(n?1)$條弧的有向圖稱為完全圖。

若圖G和圖G’頂點相同，E(G’)是E(G)的子集，則成G’是G的生成子圖。

無向圖中，任意兩個頂點都是連通的。稱為連通圖。無向圖中的極大連通子圖稱為連通分量。假設(shè)一個圖有n個頂點，如果邊數(shù)小于n-1，其必定是非連通圖。

有向圖中，如果有一對頂點v、w，從v到w和從w到v之間都有路徑，稱這兩個頂點是強連通的。若圖中任何一對頂點都是強連通的，稱此圖為前連通圖。有向圖的極大強連通子圖稱為強連通分量。假設(shè)一個圖有n個頂點，至少需要n-1條邊，構(gòu)成強連通分量，此時為一個環(huán)路。

連通圖的生成樹是包含圖中全部頂點的一個極小連通子圖。若圖中頂點數(shù)為n，則它的生成樹有n-1條邊。

無向圖的全部頂點度之和等于邊數(shù)的兩倍，；
有向圖全部頂點的入度之和與出度之和相等，并且等于邊數(shù)。有向圖頂點的度為入度和出度之和。

一個頂點的入度為0、其余頂點入度均為1的有向圖，稱為有向樹。

二、圖的儲存

鄰接矩陣

用一個一維數(shù)組儲存圖中頂點的信息，有一個二維數(shù)組（鄰接矩陣）儲存圖中邊的信息。
無向圖的鄰接矩陣是對稱矩陣，實際儲存時只需儲存三角矩陣元素。

鄰接矩陣的空間復(fù)雜度為$O(|V{|}^2)$

可以很方便地確定兩個頂點之間是否有邊相連，但要確定圖中有多少條邊，必須遍歷每個元素。

適合表示稠密圖。

鄰接矩陣儲存結(jié)構(gòu)定義如下

typedef struct{vertexType vex[MaxVertexNum]; // 頂點表edgeType edge[MaxVertexNum][MaxVertexNum]; // 鄰接矩陣（邊表）int vexNum, edgeNum; // 當前頂點數(shù)和邊數(shù) }MGraph;

鄰接表

對圖中每個頂點建立一個單鏈表（邊表、出邊表），每個單鏈表中的結(jié)點表示依附與該頂點的邊（對于有向圖，表示以該頂點為尾的弧）。邊表的頭指針和頂點的數(shù)據(jù)采用順序存儲（頂點表）。

對于無向圖，所需儲存空間為$O(2|E|+|V|)$；
對于有向圖，所需存儲空間為$O(|E|+|V|)$。

可以很方便找到一個頂點的所有臨邊。
在有向圖中，求頂點的出度只需計算鄰接表的結(jié)點個數(shù)，但求入度需要遍歷所有鄰接表。

適合表示稀疏圖，能極大節(jié)省存儲空間。

鄰接表儲存結(jié)構(gòu)定義如下

typedef struct{ // 頂點結(jié)點vertexType data;ArcNode *first; // 指向第一個依附該頂點的弧 }VerNode, VerList[MaxVertexNum];struct ArcNode{ // 邊結(jié)點int vertex; // 該邊指向的頂點序號edgeType data;struct ArcNode *next; // 指向下一個邊 }typedef struct{VerList VerList; // 鄰接表int vexNum, edgeNum; }AlGraph;

十字鏈表

是有向圖的一種鏈式儲存結(jié)構(gòu)。每條弧和每個頂點都有一個結(jié)點表示。頂點結(jié)點順序存儲。

弧結(jié)點結(jié)構(gòu)tailvexheadveshlinktlinkinfo

作用	尾域，標識弧尾頂點	頭域，標識弧頭頂點	指向弧頭相同的下一條弧	指向弧尾相同的下一條弧	攜帶弧的相關(guān)信息

頂點結(jié)點結(jié)構(gòu)datafirstinfirstout

作用	存放頂?shù)讛?shù)據(jù)信息	指向以該頂點為弧頭的第一個弧結(jié)點	指向以該頂點為弧尾的第一個弧結(jié)點

在十字鏈表中，既容易找到以一個頂點為尾的弧，又容易找到以一個頂點尾頭的弧，因而容易求得入度和出度。

鄰接多重表

是無向圖的一種鏈式存儲結(jié)構(gòu)。每條邊和每個頂點也各用一個結(jié)點表示。

頂點結(jié)點結(jié)構(gòu)markivexilinkjvexjlinkinfo

作用	標志域，記錄該邊是否被搜索過	標識邊依附的第一個頂點	指向下一條依附ivex的邊	標識邊依附的另一個頂點	指向下一條依附j(luò)vex的邊	攜帶相關(guān)信息

在鄰接多重表中，所有依附域同一頂點的邊串聯(lián)在同一鏈表中。由于每條邊依附于兩個頂點，所以每個邊結(jié)點同時鏈接在兩個鏈表中。
對于無向圖，其鄰接多重表和鄰接表的差別僅在于，同一條表在鄰接表中用兩個結(jié)點表示，而在鄰接多重表中只有一個結(jié)點。

三、圖的基本操作

• adjacent(G, x, y)：判斷圖G中是否存在邊<x, y>
• neighbor(G, x)：列出圖G中于頂點x相鄰的邊
• insertVertex(G, x)：在圖中插入頂點x
• deleteVertex(G, x)：在圖中刪除頂點x
• addEdge(G, x, y)：在圖中添加邊<x, y>
• removeEdge(G, x, y)：在圖中刪除邊<x, y>
• firstNerghbor(G, x)：求頂點x的第一個鄰接點
• nextNerghbor(G, x, y)：返回除y以外的頂點x的下一個鄰接點
• getEdgeValue(G, x, y)
• setEdgeValue(G, x, y, v)

四、圖的遍歷

在遍歷圖的過程中，必須記下每個已訪問過的頂點。

廣度優(yōu)先搜索（BFS）

類似樹的層序遍歷，廣度優(yōu)先搜索是一個分層的查找過程，沒有回退的過程，必須借助一個輔助隊列，記憶正在訪問的頂點的下一層頂點。

int visited[MAX_VERTEX_NUM];void BFSTraverse(Graph G){for(int i=0; i<G.vexNum; i++)visited[i] = 0;for(int i=0; i<G.vexNum; i++)if( !visit[i] )BFS(G, i); }void BFS(Graph G, int v){initQueue(Q);visit(v);visited[v] = 1;enQueue(Q, v);while( !isEmpty(Q) ){deQueue(Q, v);for(w=firstNeighbor(G, v); w>=0; w=nextNeighbor(G, v, w)){if(!visited[w]){visit(w);visited[w] = 1;enQueue(Q, w);}}}}

無論采用鄰接表還是鄰接矩陣，BFS都需要借助一個輔助隊列，所有頂點均需入隊一次。最壞情況下，空間復(fù)雜度為$O(|V|)$。
采用鄰接表存儲時，每個頂點均需被搜索依次，時間復(fù)雜度為$O(|V|)$；在搜索任一頂點的邊時，每一條邊至少訪問依次，總時間復(fù)雜度為$O(|E|)$。算法總的時間復(fù)雜度為$O(|V|+|E|)$
采用鄰接矩陣存儲時，查找每個頂點的所有鄰接點的時間為$O(V)$，算法總的時間復(fù)雜度為$O(|V{|}^2)$。

借助BFS，可以求解非帶權(quán)圖的單源最短路徑問題。

在廣度遍歷中，可以得到一棵遍歷樹，稱為廣度優(yōu)先生成樹。鄰接矩陣產(chǎn)生的生成樹是唯一的，而鄰接表產(chǎn)生的生成樹不唯一。

深度優(yōu)先搜索（DFS）

類似樹的先序遍歷，先盡可能“深”的搜索一個圖，當不能繼續(xù)向下訪問時，依次退回最近被訪問的頂點，若其還有未被訪問的鄰接頂點，則從這個鄰接頂點繼續(xù)該搜索過程。

DFS是一個遞歸的過程，需要借助一個遞歸工作棧，空間復(fù)雜度為$O(|V|)$。
采用鄰接表存儲時，訪問所有頂點的時間復(fù)雜度為$O(|V|)$，查找所有頂點的鄰接點的總時間復(fù)雜度為$O(|E|)$，故算法總的時間復(fù)雜度為$O(|V|+|E|)$。
采用鄰接表存儲是，查找一個頂點的所有鄰接點所需時間為O(|V|)，故總的時間復(fù)雜度為$O(|V{|}^2)$。

借助DFS，可以求解有向無環(huán)圖的拓撲排序問題。

在深度遍歷中，可以得到一棵遍歷樹，稱為深度優(yōu)先生成樹。鄰接矩陣產(chǎn)生的生成樹是唯一的，而鄰接表產(chǎn)生的生成樹不唯一。

圖的遍歷和圖的連通性

對于無向圖，若圖是連通的，則從任一頂點出發(fā)，僅需一次遍歷就可以訪問圖中的所有頂點。
對于有向圖，若從初始頂點到圖中每個頂點都有路徑，則能訪問到圖中的所有頂點。一個有向圖的連通子圖分為強連通分量和非強連通分量，非強連通分量調(diào)用一次搜索過程無法訪問到所有頂點。

五、最小生成樹

最小生成樹具有如下特征：

• 最小生成樹不是唯一的。但圖中各邊的權(quán)值互不相等是，生成樹唯一。
• 若無向連通圖的邊數(shù)比頂點數(shù)少1，它本身就是其的最小生成樹。
• 最小生成樹邊的權(quán)值之和總是唯一的，且是最小的。

Prim算法

初始時從圖中任取一頂點加入樹T，此時樹中只含有一個頂點。之后選擇一個與T中頂點距離最近的頂點，將頂點和相應(yīng)的邊加入T中。每次操作，T中的頂點數(shù)和邊數(shù)都增加1，直到所有頂點都加入T。
prim算法基于貪心策略，其簡單實現(xiàn)如下

def prim(G):T = set() # 初始化空邊集U = {w} # 初始化頂點集，添加任一頂點w# 若樹中未包含全部頂點，選擇一個加入while not (V - U): # （u，v）是u∈U，v∈（V-U）且權(quán)值最小的邊# 此處最壞情況需要遍歷所有n個頂點，時間復(fù)雜度為O（n）find a edge (u, v) U.add(v) # 將選定的點加入頂點集T.add((u, v)) # 將選定的邊加入邊集

算法的時間復(fù)雜度為$O(|V{|}^2)$，適合求解稠密圖的最小生成樹。

Kruskal算法

初始時只有n個頂點而無邊的非連通圖T={ V，{ } }，每個頂點自成一個連通分量。然后按邊權(quán)值從小到大的順序，查看當前為被選取且權(quán)值最小的邊，若該邊依附的兩個頂點落在T中不同的連通分量中，則將此邊加入T。
kruskal算法基于貪心策略，其簡單實現(xiàn)如下

def kruskal(G):T = V # 初始化樹，僅含所有頂點numS = n # 連通分量數(shù)while numS > 1:# 從邊集中找到權(quán)值最小的邊pop a edge with shortest length (u, v)if (u ,v) belong to different connected components:T.add((u, v)) # 將此邊加入生成樹中numS = numS - 1

通常在kruskal算法中，采用堆來存放邊的集合，每次選擇邊只需$O(\log |E|)$的時間。此外，由于生成樹T中的所有邊可視為一個等價類，每次添加新邊的過程類似求解等價類的過程，可以采用并查集的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來描述T，構(gòu)造T總的時間復(fù)雜度為$O(|E|\log |E|)$。適合求解稀疏圖的最小生成樹。

六、最短路徑

把帶權(quán)路徑長度最短的那條路徑稱為最短路徑。
重要性質(zhì)：兩點之間的最短路徑也包含了路徑上其他點間的最短路徑。

Dijkstra求單源最短路徑

設(shè)置一個集合S，記錄已求得的最短路徑的頂點。初始時把源點$v_0$放入$S$。集合S每并入一個新頂點$v_i$，都要修改$v_0$到集合$V?S$中頂點的當前最短路徑長度。
設(shè)置兩個輔助數(shù)組：

• dist[]：記錄從源點$v_0$到其他各頂點當前的最短路徑長度。它的初態(tài)為：若從$v_0$到$v_i$有弧，則dist[i]設(shè)為弧上權(quán)值，否則置為$\infty$。
• path[]：path[i]表示從源點到頂點i最短路徑的前驅(qū)結(jié)點。在算法結(jié)束時，可根據(jù)其值追溯到源點的最短路徑。

假設(shè)從頂點0出發(fā)，即$v_0=0$，集合$S$最初只包含頂點0，鄰接矩陣arcs表示帶權(quán)有向圖，arcs[i][j]表示有向邊<i, j>的權(quán)值。若不存在有向邊，arcs[i][j]置為$\infty$。

Dijkstra算法基于貪心策略，步驟如下：

初始化：集合S初始為{0}，dist[]初始值為dist[i] = arcs[0][i]。

從頂點集合$V?S$中選出$v_j$，$v_j$是集合$V?S$中到$v_0$距離最短的頂點，即滿足$dist[j]=min\{dist[i]\mid v_i\in V?S\}$，此時 $v_j$就是當前求得的一條從$v_0$出發(fā)的最短路徑的終點。再令$S=S\cup \{j\}$。

修改從$v_0$到集合$V?S$上所有頂點$v_k$可達的最短路徑長度：
若dist[j] + arcs[j][k] ＜dist[k]， 更新dist[k] = dist[j] + arcs[j][k]。

重復(fù)二、三步n-1次，直到所有頂點都包含在S中。

Djkstra算法并不適用于帶負權(quán)值的有向圖。

算法時間復(fù)雜度為$O(|V{|}^2)$。

Floyd算法求解各頂點間的最短路徑問題

遞推產(chǎn)生一個n階方陣序列$A^{(?1)},A^{(0)},...,A^{(k)},...,A^{(n?1)}$，其中$A^{(k)}[i][j]$表示從頂點$v_i$到$v_j$的路徑長度，k表示繞行第k個頂點的運算步驟。
初始時，對于任意兩個頂點，若它們之間存在弧，則以此邊上的權(quán)值作為它們之間的最短路徑長度；若它們不存在有向邊，則置為$\infty$。
以后逐步嘗試在原路徑中加入頂點k作為中間頂點，若增加中間頂點后，它們之間的路徑長度比原來的路徑減少了，則以此新路徑代替原路徑。

算法描述如下：
定義一個n階反正序列$A^{(?1)},A^{(0)},...,A^{(n?1)}$，其中

• $A^{(?1)}[i][j]=arcs[i][j]$
• $A^{(k)}=\min \{A^{(k?1)}[i][j],A^{(k?1)}[i][k]+A^{(k?1)}[k][j]\}$

Floyd算法是一個迭代的過程，每迭代一次，在從$v_i$到$v_j$的最短路徑上就多考慮一個頂點。經(jīng)過n次迭代后，所得到的$A^{(n?1)}[i][k]$就是$v_i$到$v_j$的最短路徑，方陣$A^{(n?1)}$保存了任意一對頂點之間的最短路徑長度。

Floyd算法允許圖中有帶負權(quán)值的邊，但不允許有包含帶負權(quán)值邊的回路。
Floyd算法同樣適合帶權(quán)無向圖，因為無向圖可視為權(quán)值相同往返二重邊的有向圖。

算法的時間復(fù)雜度為$O(|V{|}^3$)，但對于中等規(guī)模的輸入，仍然有效。

七、有向無環(huán)圖（DAG圖）描述表達式

DAG圖是描述含有公共子式的表達式的有效工具。
用二叉樹描述表達式時，相同的子式會重復(fù)出現(xiàn)，使用DAG圖可以對相同子式的共享，從而節(jié)省存儲空間。

八、拓撲排序

AOV網(wǎng)：若用DAG圖表示一個工程，其頂點表示活動，用有向邊$<v_i,v_j>$表示活動$V_i$必須先于$V_i$進行，則間這種有向圖稱為頂點表示活動的網(wǎng)絡(luò)，記為AOV網(wǎng)。
拓撲排序：由一個有向無環(huán)圖的頂點組成的序列，當且僅當滿足下列條件時：

每個頂點出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次；

若頂點A在序列中排在B的前面，則在圖中不存在從B到A的路徑。

稱這個序列為該圖的一個拓撲排序。每個AOV網(wǎng)都有一個或多個拓撲排序序列。

拓撲排序常用算法如下

從AOV網(wǎng)中選擇一個沒有前驅(qū)的頂點并輸出；

從網(wǎng)中刪除該頂點和以該頂點為起點的所有邊；

重復(fù)前面兩部直到AOV網(wǎng)為空或網(wǎng)中不存在無前驅(qū)的頂點位置。后一種情況說明有向圖中存在環(huán)。

由于輸出每個頂點的同時還有刪除以它為起點的邊，故拓撲排序的時間復(fù)雜度為$O(|V|+|E|)$。

由于AOC網(wǎng)中各頂點地位平等，每個頂點的編號都是人為的，因此可以按拓撲排序的結(jié)果重新編號，生成AOV網(wǎng)的新的鄰接存儲矩陣，這種鄰接矩陣可以時三角矩陣。對于一個圖，若其鄰接矩陣是三角矩陣，其必存在拓撲排序。

九、關(guān)鍵路徑

AOE網(wǎng)：在帶權(quán)有向無環(huán)圖中，若以頂點表示事件，以有向邊表示活動，以邊上的權(quán)值代表活動的開銷，則稱其為用邊表示活動的圖，記為AOE網(wǎng)。
在AOE網(wǎng)中僅有一個入度為0的點，稱為開始頂點（源點），表示整個工程的開始；僅有一個出度為0的點，稱為結(jié)束頂點（匯點），表示整個工程的結(jié)束。
從源點到匯點的所有路徑中，具有最大路徑長度的路徑稱為關(guān)鍵路徑，它決定了完成整個工程的最短時間。關(guān)鍵路徑上的活動稱為關(guān)鍵活動。

• 事件最早發(fā)生時間$ve(k)$
  指從源點$v_i$到頂點$v_k$的最長路徑長度，決定了所有從$v_k$開始的活動能夠開工的最早時間。可以用下面的遞推公式計算：
  $$\{\begin{array}{l}ve(源點)=0\\ ve(k)=\max \{ve(j)+weight(v_j,v_k)\},v_k為v_j的任意后繼\end{array}$$
  計算$ve()$時，按從前往后的順序進行，可以在拓撲排序的基礎(chǔ)上進行。
• 事件最遲發(fā)生時間$vl(k)$
  指在不推遲整個工程完成的前提下（即保證它的后繼事件在其最遲發(fā)生時間內(nèi)能夠發(fā)生），該事件最遲必須發(fā)生時間。可以用下面的遞推公式計算：
  $$\{\begin{array}{l}vl(匯點)=ve(匯點)\\ vl(k)=\min \{vl(j)?weight(v_k,v_j)\}，v_k為v_j的任意前驅(qū)\end{array}$$
  在計算$vl()$時，按從后往前的順序進行，可以在逆拓撲排序的基礎(chǔ)上計算（可以在計算ve()時設(shè)置一個棧記錄拓撲序列，拓撲排序結(jié)束后從棧頂至棧底變?yōu)槟嫱負渑判蛐蛄?#xff09;
• 活動最早開始時間$e(i)$
  指活動弧的起點所表示的事件的最早發(fā)生時間。若$<v_k,v_j>$表示活動$a_i$，則有$e(i)=ve(k)$。
• 活動最遲開始時間$l(i)$
  指活動弧的終點所表示的事件的最遲發(fā)生事件與該活動所需時間的差值。若$<v_k,v_j>$表示活動$a_i$，則有$l(i)=vl(j)?weight(v_k,v_j)$。
• 活動最早開始時間和最遲開始時間的差額$d(i)$
  指該活動完成的時間余量，即在不增加整個工程所需總時間的情況下，活動$a_i$可以拖延的時間。$d(i)=l(i)?e(i)$
  若一個活動的時間余量為0，即$l(i)=e(i)$，說明該活動必須要如期完成，否則就會拖延整個工程的進度，稱其為關(guān)鍵活動。

求解關(guān)鍵路徑的算法步驟如下：

從源點出發(fā)，令$ve(源點)=0$，按拓撲有序求其余頂點的最早發(fā)生時間；

從匯點出發(fā)，令$le(匯點)=ve(匯點)$，按逆拓撲有序求其余頂點的最遲發(fā)生時間；

根據(jù)各頂點的$ve()$值求所有弧的最早開始時間；

根據(jù)各頂點的$vl()$值求所有弧的最遲開始時間；

求AOE網(wǎng)中所有活動的差額，找出所有$d()=0$的活動，構(gòu)成關(guān)鍵路徑。

關(guān)鍵路徑上的所有活動都是關(guān)鍵活動，可以通過加快關(guān)鍵活動來縮短整個工程的工期。但不能任意縮短關(guān)鍵活動，因為一旦縮短到一定程度，關(guān)鍵活動就可能會變成非關(guān)鍵活動。
AOE網(wǎng)中的關(guān)鍵路徑不是唯一的，對于有多條關(guān)鍵路徑的AOE網(wǎng)，只提高一條關(guān)鍵路徑上的關(guān)鍵活動速度并不能縮短整個工期。

可以判斷一個有向圖是否有環(huán)的算法：

• 深度優(yōu)先遍歷
• 拓撲排序
• 求關(guān)鍵路徑（預(yù)先要使用拓撲排序判斷是否有環(huán)）

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的王道408数据结构——第六章 图的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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