寫(xiě)在前面：

本文適合初三學(xué)生；

本文所講的方法，可供平時(shí)的學(xué)習(xí)開(kāi)拓思維，考試時(shí)也許可以幫你得分，但請(qǐng)慎用！

創(chuàng)作不易，喜歡的話不要只收藏呀，雙擊屏幕有驚喜哦~

2019.6.2 更新了一道例題&知識(shí)補(bǔ)充

2019.6.3 修正部分錯(cuò)誤

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一、什么是解析幾何？

平面幾何是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容之一，也是最大的學(xué)習(xí)難點(diǎn)之一，尤其是面對(duì)圓或平行四邊形的壓軸題時(shí)，不少優(yōu)等生也會(huì)望而卻步，因?yàn)椴捎脗鹘y(tǒng)平面幾何解題的思維難度太大了。在歷史上，就連數(shù)學(xué)家們的想法也是類似的：

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)工具對(duì)某些運(yùn)動(dòng)問(wèn)題已經(jīng)無(wú)能為力，這就迫切地需要一種新的數(shù)學(xué)工具，從而導(dǎo)致了變量數(shù)學(xué)即近代數(shù)學(xué)的誕生. 變量數(shù)學(xué)的第一個(gè)標(biāo)志就是解析幾何的發(fā)明，解析幾何學(xué)的誕生改變了整個(gè)數(shù)學(xué)的面貌，是數(shù)學(xué)發(fā)展史上重要的里程碑。（出自人教版高中數(shù)學(xué)《選修3-1：數(shù)學(xué)史選講》）

于是，聰明的數(shù)學(xué)家們想出了一種新的研究幾何問(wèn)題的方法——解析幾何。

解析是利用解析式來(lái)研究幾何對(duì)象之間的關(guān)系和性質(zhì)的一門(mén)幾何學(xué)分支，亦叫坐標(biāo)幾何。（百度百科）

解析幾何的這一段定義、甚至是這個(gè)名字本身聽(tīng)起來(lái)就很高大上。但其實(shí)，我們已經(jīng)接觸過(guò)解析幾何中最關(guān)鍵的一部分了——解析式。一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，這是大家再熟悉不過(guò)的。

有了解析式，我們就可以把平面幾何問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求解方程的問(wèn)題了。例如，求平面上兩條直線的交點(diǎn)，我們可以聯(lián)立兩條直線的解析式得到方程組進(jìn)而解出交點(diǎn)。

說(shuō)了這么多，還沒(méi)有一點(diǎn)實(shí)際的，那就放一個(gè)例子：

例1 （2019·某高中月考題改編，有刪節(jié)）如圖，在

中， ， ， ， . 求 的長(zhǎng).

這道題思路其實(shí)不難，但是計(jì)算量并不小。用傳統(tǒng)的平面幾何方法要寫(xiě)這么多：

解：如圖，作 交 于點(diǎn) .
∵在 中，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
那么 ， .
∴
由勾股定理， .

好，做完題目了，我們來(lái)反思一下有沒(méi)有可以改進(jìn)的地方。

這道題目的核心，其實(shí)就是利用勾股定理計(jì)算線段長(zhǎng)度。進(jìn)一步說(shuō)，最為關(guān)鍵的，就是要找到

點(diǎn)與 點(diǎn)水平距離以及豎直距離。

數(shù)學(xué)敏感的同學(xué)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了：放在平面直角坐標(biāo)系里，兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差就是它們水平方向上的距離，縱坐標(biāo)之差就是它們豎直方向上的距離。

可是題目里沒(méi)有直角坐標(biāo)系啊？

沒(méi)關(guān)系，我們自己建系！

如圖，以

為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系 .

根據(jù)題目的條件，我們很容易觀察出圖中幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：

（想一想，C點(diǎn)的坐標(biāo)是怎么求出來(lái)的？想不到的話，可以看評(píng)論區(qū)）

有些老師可能已經(jīng)教過(guò)平面直角坐標(biāo)系里兩點(diǎn)之間距離的公式了，但如果沒(méi)有，也別擔(dān)心：

設(shè) 是平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)，那么 之間的距離（常記作 ）為 .

這個(gè)公式不難推導(dǎo)，請(qǐng)你嘗試用勾股定理完成對(duì)它的證明。

由于

兩點(diǎn)坐標(biāo)已知，直接套用公式，就可以求出 了，答案和常規(guī)方法完全一樣。

看到這里，你可能還沒(méi)覺(jué)得解析幾何（通俗了說(shuō)就是建系法）有多好用。沒(méi)關(guān)系，精彩在后面呢。

二、解析幾何中必備的一些基礎(chǔ)知識(shí)

兩點(diǎn)間距離公式（上文已經(jīng)給出，此處略去）。

平面中直線的表示：

我們已經(jīng)知道，任意一次函數(shù)的解析式 都能代表直線。但有兩種直線是不能這樣表示的：平行于 軸和平行于 軸的直線。因此，我們用 來(lái)表示任意一條平行于 軸的直線，這條直線上任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為 ；用 來(lái)表示任意一條平行于 軸的直線，這條直線上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為 。
這樣，平面中任意一條直線的方程都可以用一個(gè)方程表示出來(lái)，我們把這些表示直線的方程稱為直線方程。

3. 斜率：

對(duì)任意一條直線 ，其斜率即為 ，表示直線的傾斜程度。 的絕對(duì)值越大，直線越陡峭。特別地，對(duì)于 型的直線方程，我們稱其斜率不存在。

4. 兩條直線平行或垂直的判定：

已知直線 和 則：當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，兩條直線平行； 時(shí)，兩條直線垂直。（很重要！）

※5. 圓的方程

重點(diǎn)來(lái)了。圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 中，有三個(gè)參數(shù) ，即圓心坐標(biāo)為 ，半徑為 ；只要求出 ，這時(shí)圓的方程就被確定，因此確定圓方程，須三個(gè)獨(dú)立條件，其中圓心坐標(biāo)是圓的定位條件，半徑是圓的定形條件。理解：直線方程是 ，代表一條直線，這條直線上的任意一點(diǎn) 都滿足這個(gè)方程；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ，代表圓上的任意一點(diǎn) 也都滿足這個(gè)方程。
推導(dǎo)過(guò)程：根據(jù)圓的定義：圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離等于半徑以及兩點(diǎn)間距離公式得出。

6. 求任意直線與直線、圓與直線、圓與圓的交點(diǎn)

有了上面的知識(shí)儲(chǔ)備，這就很簡(jiǎn)單了。我們只要把兩個(gè)代表直線或曲線的方程聯(lián)立，解出所得到的二元方程組，就能求出交點(diǎn)坐標(biāo)了。

7. 三角函數(shù)進(jìn)階

上文中提到了斜率 ，那么這個(gè)東西有什么實(shí)際用途呢？
有的！除了平行于 軸的直線，任意一條直線都一定會(huì)與 軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)。并且，這條直線與 軸正半軸的夾角（稱之為傾斜角）的正切值，就是這條直線的斜率。
例如，直線 的斜率是 ，那么這條直線與 軸的夾角就是 .
可是問(wèn)題來(lái)了，如果一條直線的傾斜角是鈍角，斜率，也就是鈍角的正切值如何計(jì)算呢？
這就需要一些三角函數(shù)的進(jìn)階知識(shí)——
· 初中學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，但其實(shí)，對(duì)于任意的角，無(wú)論是正是負(fù)，都有它的三角函數(shù)值，這個(gè)值可正可負(fù)；
· 對(duì)于任意的的角 來(lái)說(shuō)，我們有公式（高中稱誘導(dǎo)公式）：——利用這些公式，可以把非銳角轉(zhuǎn)化為銳角從而計(jì)算三角函數(shù)值。
· 同角三角函數(shù)有以下兩個(gè)關(guān)系： （ 表示角 的正弦值的平方）
（對(duì)于任意一個(gè)角，已知其正弦或余弦或正切，都可以用這些關(guān)系算出另外兩個(gè)三角函數(shù)值，即“知一得二”）
· 三角函數(shù)的和角公式（差角公式只要把正號(hào)變成負(fù)號(hào)，負(fù)號(hào)變成正號(hào)）：

三、實(shí)戰(zhàn)講解

看到這里，你可能還覺(jué)得上面的知識(shí)點(diǎn)看起來(lái)云里霧里。沒(méi)關(guān)系，用一道中考?jí)狠S題來(lái)為你撥開(kāi)迷障（是的，建系法可以秒壓軸題！）：

例2 （2018·廣東中考·24）如圖，四邊形

中， ，以 為直徑的經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，連接 、 交于點(diǎn) .

（1）證明：

；

（2）若

，證明： 與相切；

（3）在（2）條件下，連接

交于點(diǎn) ，連接 ，若 ，求 的長(zhǎng).

第（1）（2）問(wèn)難度不大，只講第（3）問(wèn).

這題的標(biāo)準(zhǔn)解法是做輔助線構(gòu)造相似三角形，但我們完全可以用上面講的建系方法來(lái)做。

建系時(shí)，可以把任何點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，但原點(diǎn)所在的直線最好有較多直線與之平行、垂直，以方便求出其他點(diǎn)的坐標(biāo)。

在這道題中，以

點(diǎn)為原點(diǎn)顯然是一個(gè)很好的選擇，因?yàn)? 與 垂直，與 平行，且已知 是 的中點(diǎn)，可以快速求出點(diǎn) 的坐標(biāo)。

建系之后得到這樣一個(gè)圖：

原創(chuàng)圖片講解

這道題如果用平面幾何方法做，至少要幾十分鐘；建系的話，五分鐘之內(nèi)就可以搞定。

就是這么簡(jiǎn)單粗暴。

2019.6.2更新 感謝 @用手指戳他鼻孔 提供的題目~

例3 （2015·湖北荊門(mén)）已知，如圖，

是 的直徑，點(diǎn) 為 上一點(diǎn)， 于點(diǎn) ，交 于點(diǎn) ， 與 交于點(diǎn) ，點(diǎn) 為 的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 .

（1）求證：

是 的切線；

（2）求證：

；

（3）若

的半徑為 ， ，求 的長(zhǎng).

第（1）（2）問(wèn)比較簡(jiǎn)單，適合用平幾方法做，這里講如何用建系法解第（3）問(wèn)。

很顯然，我們以

點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系是最方便的：

連接

，易知

而

的正弦值已知，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系與和角公式，

，

,

.

而

就是直線 的斜率，又由于 過(guò)原點(diǎn)，故 的直線方程為： .

因?yàn)?

，所以兩直線斜率之積為-1，又易知 ，可求出 .

聯(lián)立

與圓 的方程 ，解得交點(diǎn)坐標(biāo) ；

又因?yàn)?

點(diǎn)坐標(biāo)為 ，所以 .

聯(lián)立

與 的方程，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為 .

所以

.

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的合流超几何函数_【初中数学大招流】从平面几何到解析几何的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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