我們知道AVL樹為了保持嚴格的平衡，所以在數據插入上會呈現過多的旋轉，影響了插入和刪除的性能，此時AVL的一個變種伸展樹（Splay）就應運而生了，我們知道萬事萬物都遵循一個“八二原則“，也就是說80%的人只會用到20%的數據，比如說我們的“QQ輸入法”，平常打的字也就那么多，或許還沒有20%呢。

一：伸展樹

1：思想

伸展樹的原理就是這樣的一個”八二原則”，比如我要查詢樹中的“節點7”，如果我們是AVL的思路，每次都查詢“節點7”，那么當這棵樹中的節點越來越多的情況下就會呈現下旋，所以復雜度只會遞增，伸展樹的想法就是在第一次查詢時樹里面會經過一陣痙攣把“節點7”頂成“根節點”，操作類似AVL的雙旋轉，比如下圖:

當我們再次查詢同樣的”數字7“時，直接在根節點處O（1）取出，當然這算是一個最理想的情況，有時痙攣過度，會出現糟糕的”鏈表“，也就退化了到O(N)，所以伸展樹講究的是”攤還時間“，意思就是說在”連續的一系列操作中的平均時間“，當然可以保證是log（N）。

2：伸展方式

不知道大家可否記得，在AVL中的旋轉要分4個情況，同樣伸展樹中的伸展需要考慮6種情況，當然不考慮鏡像的話也就是3種情況，從樹的伸展方向上來說有“自下而上”和“自上而下"的兩種方式，考慮到代碼實現簡潔，我還是說下后者。

1) 自上而下的伸展

這種伸展方式會把樹切成三份，L樹，M樹，R樹，考慮的情況有：單旋轉，“一字型”旋轉，“之字形”旋轉。

• 單旋轉

從圖中我們可以看到，要將“節點2”插入到根上，需要將接近于“節點2”的數插入到根上，也就是這里的“節點7”，首先樹被分成了3份，初始情況，L和R樹是“空節點”，M是整棵樹，現在需要我們一步一步拆分，當我們將“節點2”試插入到“節點7”的左孩子時，發現“節點7”就是父節點，滿足“單旋轉”情況，然后我們將整棵樹放到“R樹”中的left節點上，M此時是一個邏輯上的空節點，然后我們將R樹追加到M樹中。L樹追加到M的左子樹中，最后我們將“節點2”插入到根節點上。說這么多有點拗口，伸展樹比較難懂，需要大家仔細品味一下。

• 一字型

一字型旋轉方式與我們AVL中的“單旋轉”類似，首先同樣我們切成了三份，當我們"預插入20時”，發現20的“父節點”是根的右孩子，而我們要插入的數字又在父節點的右邊，此時滿足”一字型“旋轉，我們將7，10兩個節點按照”右右情況”旋轉，旋轉后“節點10"的左孩子放入到L樹的right節點，"節點10”作為中間樹M，最后將20插入根節點。

• 之字形

之字形有點類似AVL中的“雙旋轉”，不過人家采取的策略是不一樣的，當我們試插入“節點9”，同樣發現“父節點”是根的右兒子，并且“節點9”要插入到父節點的內側，根據規則，需要將“父節點10”作為M樹中的根節點，“節點7”作為L樹中的right節點，然后M拼接L和R，最后將節點9插入到根上。

3：基本操作

1) 節點定義

我們還是采用普通二叉樹中的節點定義，也就沒有了AVL那么煩人的高度信息。

public?class?BinaryNode<T>{//?Constructorspublic?BinaryNode(T?theElement)?:?this(theElement,?null,?null)?{?}public?BinaryNode(T?theElement,?BinaryNode<T>?lt,?BinaryNode<T>?rt){element?=?theElement;left?=?lt;right?=?rt;}public?T?element;public?BinaryNode<T>?left;public?BinaryNode<T>?right;}

2) 伸展

這里為了編寫代碼方便，我采用的是邏輯nullNode節點，具體伸展邏輯大家可以看上面的圖。

#region?伸展///?<summary>///?伸展///?</summary>///?<param?name="Key"></param>///?<param?name="tree"></param>///?<returns></returns>public?BinaryNode<T>?Splay(T?Key,?BinaryNode<T>?tree){BinaryNode<T>?leftTreeMax,?rightTreeMin;header.left?=?header.right?=?nullNode;leftTreeMax?=?rightTreeMin?=?header;nullNode.element?=?Key;while?(true){int?compareResult?=?Key.CompareTo(tree.element);if?(compareResult?<?0){//如果成立，說明是”一字型“旋轉if?(Key.CompareTo(tree.left.element)?<?0)tree?=?rotateWithLeftChild(tree);if?(tree.left?==?nullNode)break;//動態的將中間樹的”當前節點“追加到?R?樹中，同時備份在header中rightTreeMin.left?=?tree;rightTreeMin?=?tree;tree?=?tree.left;}else?if?(compareResult?>?0){//如果成立，說明是”一字型“旋轉if?(Key.CompareTo(tree.right.element)?>?0)tree?=?rotateWithRightChild(tree);if?(tree.right?==?nullNode)break;//動態的將中間樹的”當前節點“追加到?L?樹中，同時備份在header中leftTreeMax.right?=?tree;leftTreeMax?=?tree;tree?=?tree.right;}else{break;}}/*?剝到最后一層，來最后一次切分?*///把中間樹的左孩子給“左樹”leftTreeMax.right?=?tree.left;//把中間樹的右孩子給“右樹”rightTreeMin.left?=?tree.right;/*?合并操作?*///將頭節點的左樹作為中間樹的左孩子tree.left?=?header.right;//將頭結點的右樹作為中間樹的右孩子tree.right?=?header.left;return?tree;}#endregion

3) 插入

插入操作關鍵在于我們要找到接近于”要插入點“的節點，然后頂成“根節點”，也就是上面三分圖中的最后一分。

#region?插入///?<summary>///?插入///?</summary>///?<param?name="Key"></param>public?void?Insert(T?Key){if?(newNode?==?null)newNode?=?new?BinaryNode<T>(default(T));newNode.element?=?Key;if?(root?==?nullNode){newNode.left?=?newNode.right?=?nullNode;root?=?newNode;}else{root?=?Splay(Key,?root);int?compareResult?=?Key.CompareTo(root.element);if?(compareResult?<?0){newNode.left?=?root.left;newNode.right?=?root;root.left?=?nullNode;root?=?newNode;}elseif?(compareResult?>?0){newNode.right?=?root.right;newNode.left?=?root;root.right?=?nullNode;root?=?newNode;}elsereturn;}newNode?=?null;}#endregion

4) 刪除

刪除操作也要將節點伸展到根上，然后進行刪除，邏輯很簡單。

#region?刪除///?<summary>///?刪除///?</summary>///?<param?name="Key"></param>public?void?Remove(T?Key){BinaryNode<T>?newTree;//將刪除結點頂到根節點root?=?Splay(Key,?root);//不等于說明沒有找到if?(root.element.CompareTo(Key)?!=?0)return;//如果左邊為空，則直接用root的右孩子接上去if?(root.left?==?nullNode){newTree?=?root.right;}else{newTree?=?root.left;newTree?=?Splay(Key,?newTree);newTree.right?=?root.right;}root?=?newTree;}#endregion

伸展樹可以總結成一幅圖：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构与算法专题——第十题 输入法跳不过的坎-伸展树的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。