全局照明算法基础——从辐射亮度到渲染方程
全局照明（Global Illumination）問題上已經(jīng)有很多著名的算法，如路徑追蹤（Path Tracing），輻照度（Radiosity）等。絕大部分書籍/教材都直接介紹了做法，在理論方面有所欠缺（比如算法的正確性）。這段時(shí)間在看《Advanced Global Illumination》，大呼爽快，所以做了這些筆記。
一、方向和立體角
立體角（Solid Angle）是平面角的推廣。如上圖，考慮一塊不規(guī)則的曲面，其在單位球體（球心在原點(diǎn)，半徑）上的投影為曲面，則的面積為該曲面對(duì)應(yīng)的立體角。根據(jù)定義易知，任何包含原點(diǎn)的球體對(duì)應(yīng)的立體角都為。如果用球坐標(biāo)來刻畫立體角，那么其微分可以被表示為
此外，根據(jù)立體角的定義，可以給出任何曲面元對(duì)應(yīng)立體角的計(jì)算公式——
其示意圖如下：
二、Radiance的定義
考慮密度函數(shù)，它給出在時(shí)空坐標(biāo)處單位體積內(nèi)沿方向、波長為的光子的數(shù)量。那么給定位置、時(shí)間、方向以及波長，容易知道單位時(shí)間內(nèi)沿方向通過面元的、波長在間的光子的能量為
其中是這些光子的速度。在波長范圍、全體立體角、曲面上對(duì)積分得
這就是曲面上的輻射通量（Flux）的定義。
類似地，定義輻射照度（Irradiance）為
輻射強(qiáng)度（Intensity）為
以及輻射亮度（Radiance）——
這幾個(gè)量間有以下關(guān)系：
三、Radiance的守恒性質(zhì)
從的定義可知，Radiance是空間位置和方向的函數(shù)可以寫作，表示從空間位置出發(fā)、朝向的Radiance。（類似地，表示空間位置處朝方向的Radiance）若與間沒有遮擋，則有以下重要性質(zhì)成立：
證明：
如上圖，由Radiance的定義有
其中是從出發(fā)向發(fā)射的能量。根據(jù)能量守恒，它們必定都被接收，即
又由立體角的性質(zhì)
代入得
整理即得。
四、以Radiance來量度傳感設(shè)備響應(yīng)
攝像機(jī)、人眼等感光設(shè)備所得到的光的量度可以用Radiance來衡量，而非Flux等。由此可以得出一些結(jié)論，比如一個(gè)明亮的物體隨著觀察者距離的增加不會(huì)顯得更暗，這是因?yàn)樵诠獾膫鞑ミ^程中Radiance不隨距離改變。?
五、BRDF
一束光照射到某個(gè)表面上，反射的效果隨著表面的材質(zhì)有所不同。譬如，理想的鏡子會(huì)把所有的入射光反射到某個(gè)特定的方向，而在其他方向上的反射光為0；理想的Lambertian表面會(huì)把入射光往所有的方向均勻地反射。反射光在不同方向上的多少分布，再結(jié)合入射光的方向所構(gòu)成的函數(shù)，稱為bidirectional reflectance distribution function（BRDF），記作，表示沿方向照射到處的光在方向上的分布。準(zhǔn)確地說：
并非所有的物體表面的反射都能用BRDF來建模，譬如通透的玉石（入射光可以從某一處進(jìn)入玉石內(nèi)部，然后從另一處穿出）等。一個(gè)把透明物體的表面納入考慮的函數(shù)叫做bidirectional scattering distribution function（BSDF），它描述了所有方向的入射光和出射光的分布；Bidirectional surface scattering reflectance distribution function（BSSRDF）則更加強(qiáng)大（使用起來也更為困難），它可以描述前面提到的通透的玉石對(duì)光的作用。在這里，為了簡化問題，假設(shè)所有的物體表面都使用BRDF描述。
六、BRDF的幾個(gè)性質(zhì)
由BRDF的性質(zhì)可知，某不透明的、不發(fā)光的表面上某一點(diǎn)處朝的Radiance是此點(diǎn)反射外來光的結(jié)果，可表示為
其中是從方向來的光在方向上反射的結(jié)果。根據(jù)BRDF的定義有
于是，
該式在之后會(huì)介紹的渲染方程中扮演了重要的角色。
Reciprocity：規(guī)定任意BRDF滿足，由此，不妨將BRDF記作。
能量守恒：單位面積的入射能量為
而單位面積反射的總能量為
于是由能量守恒：
七、渲染方程（The Rendering Equation）
可以被分為兩部分：處自身向方向發(fā)出的光和點(diǎn)反射外來光產(chǎn)生的光。即
其中是自發(fā)光項(xiàng)，是反射項(xiàng)。根據(jù)6中的推導(dǎo)，反射項(xiàng)可以被表示為
代入得
這就是所謂的渲染方程?？梢钥吹皆摲匠淌沁f歸的，且包含了一個(gè)不易計(jì)算的積分（只有在某些極簡單的場(chǎng)景下才能求出解析解）。幾乎所有的全局照明算法都是在求解渲染方程，因此稱其為圖形學(xué)的理論基石之一也不為過。
轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/AirGuanZ/p/6389628.html
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的全局照明算法基础——从辐射亮度到渲染方程的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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