1.問題描述：

求一個正整數(shù)序列的最長單調(diào)自增子序列，子序列不要求是連續(xù)的。例如

Input：5

5 2 4 3 1

Output：2

2.?算法復(fù)雜度是O(N*N)

f[i]是以a[i]為最大值的子序列，那么f[]的最大值就是要的結(jié)果。

int f[],a[];

f[0] = 1;

for(i = 1 ; i < n ; i++ )

{

　　f[i] = 1;

　　for(j = 0 ; j < i ; j++)

　　{

　　　　If(a[j] < a[i] && f[j]+1 > f[i])//等號有沒有要視題目而定

　　　　{

　　　　　　f[i] = f[j] +1;

　　　　}

　　}

}

很顯然實踐復(fù)雜度是O(N*N)，那么有沒有更快的算法呢？按照正常的思路更快的復(fù)雜度應(yīng)該就是O(N*logN)，那么就要涉及到二分了。

?

3.?算法復(fù)雜度是O(N*logN)

可是話又說回來，那個logN到底怎么實現(xiàn)的呢？上網(wǎng)搜了搜說的都有點抽象，捉摸了一下，是這個樣子滴！建立一個輔助數(shù)組c[n]，c[i]存儲的是子序列長度為i的序列最后一個值（實際上子序列長度為i的子序列有多個，要的是子序列最后一個值最小的。后面解釋后什么！！！）。這時要遍歷要處理的數(shù)組a[n]，for(i=1;i<n;i++)//從第二值開始，因為第一個值用來初始化了

{

　　j=find(c,n+1,a[i]);//find是一個二分查找

　　c[j]=a[i];

　　b[i]=j;

}

請看一下上面的例子實際執(zhí)行的情況：C數(shù)組變化的情況

-1 5

-1 2

-1 2 4

-1 1 2

-1 1 4

-1 1 3

A數(shù)組遍歷是從前往后的，處理a[i-1]時a[i]以及后面的值肯定還沒有處理，前面的值都處理過了，看c數(shù)組，每個a數(shù)組中的值和c數(shù)組中值進行比較，找到合適的位置插入（若插入到c數(shù)組的末尾，那么就屬于最長遞增子序列長度加1，實際上c數(shù)組的長度就是最后的最長單調(diào)遞增子序列的長度。），否則這就替換掉了c數(shù)組中原來位置存儲的值，這種替換時有意義的，主要是為了后來的a數(shù)組中的值計算b用（b[i]中保存的是以a[i]為最后一個元素的最長單調(diào)遞增子序列。）好處是若a[i] <a[j],b[i]=b[j]，那么在c中肯定要保存a[i]呀！！（注意c數(shù)組的下標(biāo)代表的是子序列的長度，c數(shù)組中的值也是按遞增順序排列的。這才可能用二分呢，親）。和O(N*N)的主要區(qū)別就是巧妙的借用了c數(shù)組，本題的關(guān)鍵就是理解c數(shù)組的意義。可以手動模擬一下算法執(zhí)行的步驟，重要模擬c和b數(shù)組的變化情況。下面給出完整的算法。

?

#include <iostream>

using namespace std;

?

int find(int *a,int len,int n)//二分find

{

　　int left=0,right=len,mid=(left+right)/2;

　　while(left<=right)

　　{

　　　　if(n>a[mid]) left=mid+1;

　　　　else if(n<a[mid]) right=mid-1;

　　　　else return mid;

　　　　mid=(left+right)/2;

　　}

　　return left;

}

void fill(int *a,int n)

{

　　for(int i=0;i<=n;i++)

　　　　a[i]=1000;//這就是一個初始化，無所謂!!

}

int main()

{

　　int max,i,j,n,a[100],b[100],c[100];

　　while(cin>>n)

　　{

　　　　fill(c,n+1);

　　　　for(i=0;i<n;i++)

　　　　　　cin>>a[i];

　　　　c[0]=-1;//要懂得用這種天然的最小值

　　　　c[1]=a[0];//初始化

　　　　b[0]=1;//b[i]表示以a[i]結(jié)尾的最長單調(diào)遞增子序列

　　　　for(i=1;i<n;i++)//復(fù)雜度是N的

　　　　{

　　　　　　j=find(c,n+1,a[i]);//復(fù)雜度是logN的

　　　　　　c[j]=a[i];

　　　　　　b[i]=j;

　　　　}

?　　　　for(max=i=0;i<n;i++)//遍歷一遍找到最大值

　　　　　　if(b[i]>max)

　　　　　　　　max=b[i];

　　　　cout<<max<<endl;

　　}

　　return 0;

}

轉(zhuǎn)載于:https://blog.51cto.com/liuyuanxing/1926375

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的最长单调递增子序列的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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