Nyquist–Shannon sampling theorem

總結(jié)自:采樣定理

Nyquist–Shannon(奈奎斯特-香農(nóng))采樣定理是數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域中的一個(gè)定理，它是連接連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)的基本橋梁。

定理內(nèi)容 :如果一個(gè)系統(tǒng)以超過(guò)信號(hào)最高頻率至少兩倍的速率對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行均勻采樣，那么原始模擬信號(hào)就能從采樣產(chǎn)生的離散值中完全恢復(fù)。

為了防止由于混疊引起的信號(hào)被破壞，需要以奈奎斯特速率或更高的速率進(jìn)行采樣。如果不遵守這個(gè)基本要求，就無(wú)法消除混疊(混疊永久與原始頻譜混合，兩者無(wú)法區(qū)分)。

下面是解釋采樣定理的時(shí)域/空域采樣具體流程:

給定一個(gè)信號(hào):

時(shí)域采樣:原始時(shí)域函數(shù)波形乘以一系列增量函數(shù)，間隔為$T_s(1/f_s)$。
結(jié)果使得采樣信號(hào)在與增量函數(shù)重合處保留原始信號(hào)的值，其余處值為$0$；

頻域采樣：時(shí)域相乘=頻域卷積

增量函數(shù)的傅立葉變換是一個(gè)增量函數(shù)序列。而不同之處則在于，增量函數(shù)是被與采樣頻率相對(duì)應(yīng)的水平距離分隔的，而不是采樣周期(時(shí)域頻域周期發(fā)生了變化)。如下圖:

卷積操作的意義?復(fù)制+移位

這樣，如果滿足采樣定理的話，因?yàn)榫矸e后的數(shù)據(jù)中仍存有原始頻譜且沒(méi)有被重疊污染，所以我們可以選取合適的低通濾波來(lái)消除其他子頻譜。

混疊 當(dāng)采用低于奈奎斯特速率的采樣頻率時(shí)，子頻譜會(huì)發(fā)生重疊，若強(qiáng)行使用低通濾波器分離原始頻譜，那么重疊波段的頻率含量會(huì)發(fā)生變換，轉(zhuǎn)化到時(shí)域里就還原不出原信號(hào)值。混疊在頻率域如下圖所示：

濾波重建過(guò)程:

以滿足采樣定理的頻率進(jìn)行采樣，理論上無(wú)混疊，現(xiàn)實(shí)中是仍然存在混疊的。

我們可以選取合適的低通濾波器來(lái)恢復(fù)原始信號(hào)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的浅谈 Nyquist–Shannon(奈奎斯特-香农)采样定理的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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