歐拉公式是指以歐拉命名的諸多公式。其中最著名的有， 復(fù)變函數(shù)中的歐拉幅角公式--將 復(fù)數(shù)、 指數(shù)函數(shù)與 三角函數(shù)聯(lián)系起來； 拓?fù)鋵W(xué)中的歐拉 多面體公式；初等數(shù)論中的 歐拉函數(shù)公式。 此外還包括其他一些歐拉公式，比如 分式公式等等。

空間中的歐拉公式

V+F-E=X(P)，V是多面體P的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，F是多面體P的面數(shù)，E是多面體P的棱的條數(shù),X(P)是多面體P的歐拉示性數(shù)。 如果P可以同胚于一個(gè)球面（可以通俗地理解為能吹脹而繃在一個(gè)球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一個(gè)接有h個(gè)環(huán)柄的球面，那么X(P)=2-2h。 X(P)叫做P的歐拉示性數(shù)，是拓?fù)洳蛔兞?#xff0c;就是無論再怎么經(jīng)過拓?fù)渥冃我膊粫?huì)改變的量，是拓?fù)鋵W(xué)研究的范圍。 在多面體中的運(yùn)用: 簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F及棱數(shù)E間有關(guān)系 V+F-E=2 這個(gè)公式叫歐拉公式。公式描述了簡(jiǎn)單多面體頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)特有的規(guī)律。

平面上的歐拉公式

V+F-E=X(P),其中V是圖形P的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，F是圖形P內(nèi)的區(qū)域數(shù)，E是圖形的邊數(shù)。 在非簡(jiǎn)單多面體中，歐位公式的形式為： V-E+F-H=2(C-G) 其中H指的是平面上不完整的個(gè)數(shù)，而C指的是獨(dú)立的多面體的個(gè)數(shù)，G指的是多面體被貫穿的個(gè)數(shù)。 證明 （1） 把多面體（圖中①）看成表面是薄橡皮的中空立體。
　　（2） 去掉多面體的一個(gè)面，就可以完全拉開鋪在平面上而得到一個(gè)平面中的直線形，像圖中②的樣子。假設(shè)F′，E′和V′分別表示這個(gè)平面圖形的（簡(jiǎn)單）多邊形、邊和頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)，我們只須證明F′-E′+V′=1。
　　（3） 對(duì)于這個(gè)平面圖形，進(jìn)行三角形分割，也就是說，對(duì)于還不是三角形的多邊形陸續(xù)引進(jìn)對(duì)角線，一直到成為一些三角形為止，像圖中③的樣子。每引進(jìn)一條對(duì)角線，F′和E′各增加1，而V′卻不變，所以F′-E′+V′不變。因此當(dāng)完全分割成三角形的時(shí)候，F′-E′+V′的值仍然沒有變。有些三角形有一邊或兩邊在平面圖形的邊界上。
　　（4） 如果某一個(gè)三角形有一邊在邊界上，例如圖④中的△ABC，去掉這個(gè)三角形的不屬于其他三角形的邊，即AC，這樣也就去掉了△ABC。這樣F′和E′各減去1而V′不變，所以F′-E′+V′也沒有變。
　　（5） 如果某一個(gè)三角形有二邊在邊界上，例如圖⑤中的△DEF，去掉這個(gè)三角形的不屬于其他三角形的邊，即DF和EF，這樣就去掉△DEF。這樣F′減去1，E′減去2，V′減去1，因此F′-E′+V′仍沒有變。
　　（6） 這樣繼續(xù)進(jìn)行，直到只剩下一個(gè)三角形為止，像圖中⑥的樣子。這時(shí)F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。
　　（7） 因?yàn)樵瓉韴D形是連在一起的，中間引進(jìn)的各種變化也不破壞這事實(shí)，因此最后圖形還是連在一起的，所以最后不會(huì)是分散在向外的幾個(gè)三角形，像圖中⑦那樣。
　　（8） 如果最后是像圖中⑧的樣子，我們可以去掉其中的一個(gè)三角形，也就是去掉1個(gè)三角形，3個(gè)邊和2個(gè)頂點(diǎn)。因此F′-E′+V′仍然沒有變。
　　即F′-E′+V′=1^[3]
　　成立，于是歐拉公式：
　　得證。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的关于欧拉公式的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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